Косвенные измерения при линейной зависимости

Искомое значение A связано с m измеряемыми аргументами a₁, a₂, …, a_m уравнением

A = b₁ · a₁ + b₂ · a₂, + … + b_m · a_m, (2)

где b₁, b₂, …, b_m - постоянные коэффициенты при аргументах a₁, a₂ …, a_m соответственно.

Корреляция между погрешностями измерений аргументов отсутствует.

Примечание. Если коэффициенты b₁, b₂, …, b_m определяют экспериментально, то задача определения результата измерения величины решается поэтапно: сначала оценивают каждое слагаемое b_i·a_i; как косвенно измеряемую величину, полученную в результате произведения двух измеряемых величин, а потом находят оценку измеряемой величины A.

Результат косвенного измерения вычисляют по формуле

, (3)

где - результат измерения аргумента а_i; m - число аргументов.

Среднее квадратическое отклонение результата косвенного измерения вычисляют по формуле

(4)

где - среднее квадратическое отклонение результата измерения аргумента a_i.

Доверительные границы случайной погрешности результата косвенного измерения при условии, что распределения погрешностей результатов измерений аргументов не противоречат нормальным распределениям, вычисляют (без учета знака) по формуле

(5)

где t_q - коэффициент Стьюдента, соответствующий доверительной вероятности P = 1 - q и числу степеней свободы f_эф, вычисляемому по формуле

(6)

где n_i - число измерений при определении аргумента a_i.

Границы неисключенной систематической погрешности результата косвенного измерения вычисляют следующим образом.

Если неисключенные систематические погрешности результатов измерений аргументов заданы границами q_i; то доверительные границы неисключенной систематической погрешности результата косвенного измерения Q(p) (без учета знака) при вероятности P вычисляют по формуле

(7)

где k - поправочный коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью и числом m составляющих Q_i.

При доверительной вероятности Р = 0,95 поправочный коэффициент k принимают равным 1,1.

При доверительной вероятности Р = 0,99 поправочный коэффициент принимают равным 1,4, если число суммируемых составляющих m > 4. Если же число составляющих m £ 4, то поправочный коэффициент k £ 1,4; более точное значение k можно найти с помощью графика зависимости

k = k (l, m),

где m - число суммируемых составляющих (аргументов); l - параметр, зависящий от соотношения границ составляющих.

На графике кривая 1 дает зависимость k от l при m = 2, кривая 2 - при m = 3, кривая 3 - при m= 4.

Для нахождения k границы составляющих b_iQ_i, располагают в порядке возрастания: b₁Q₁ £ b₂Q₂ £ b₃Q₃ £ b₄Q₄ и вычисляют отношения границ: l = b₂Q₂/b₁Q₁, l₂ = b_mQ_m/b_m-1Q_m-1. Затем по графику определяют значения k₁ = k (l₁, m) и k₂ = k (l₂, m); в качестве поправочного коэффициента принимают наибольшее из k₁ и k₂.

Погрешность, возникающая при использовании формулы (7) для суммирования неисключенных систематических погрешностей, не превышает 5 % (расчеты получены на основе анализа результатов композиций равномерных распределений).

Если границы неисключенных систематических погрешностей результатов измерений аргументов заданы доверительными границами, соответствующими вероятностям P_i, (границы неисключенных систематических погрешностей результатов измерений аргументов вычислены по формуле (7), то границы неисключенной систематической погрешности результата косвенного измерения для вероятности P вычисляют (без учета знака) по формуле

(8)

Для вероятности P = 0,95 k_i = 1,1; для Р = 0,99 значения коэффициентов k_i определяют в соответствии с п. 2.5.1.

Погрешность результата косвенного измерения оценивают на основе композиции распределений случайных и неисключенных систематических погрешностей.

Если , то за погрешность результата косвенного измерения принимают неисключенную систематическую составляющую погрешности измерения и ее границы вычисляют в соответствии с п. 2.5.

Если , за погрешность результата косвенного измерения принимают случайную составляющую погрешности измерения и ее границы вычисляют в соответствии с п. 2.4.

Если , то доверительную границу погрешности результата косвенного измерения D(P) вычисляют (без учета знака) по формуле

D(P) = K(e(P) + Q (P)), (9)

где K - коэффициент, зависящий от доверительной вероятности и от отношения .

Значения коэффициента K в зависимости от отношения для вероятности P = 0,95 и P = 0,99:

	0,5	0,75
K (для Р=0,95)	0,81	0,77	0,74	0,71	0,73	0,76	0,78	0,79	0,80	0,81
K (для Р=0,99)	0,87	0,85	0,82	0,80	0,81	0,82	0,83	0,83	0,84	0,85

Примечание. Погрешность, возникающая при использовании формулы (9) для суммирования случайных и неисключенных систематических погрешностей, не превышает 12%