Переключательные функции одного и двух переменных
Лабораторная работа № 1
ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНФОРМАТИКИ.
ПОСТРОЕНИЕ КОМБИНАЦИОННЫХ СХЕМ
НА ЛОГИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТАХ
Цель работы. Изучение переключательных функций 1-го и 2-х аргументов и комбинационных схем на логических элементах
Переключательные функции
Переключательной (или булевой) функцией (ПФ) называется функция, способная принимать лишь два значения 0 и 1, и такая, что все ее аргументы также могут принимать только два значения 0 и 1.
Любая ПФ может быть задана таблицей ее значений в зависимости от значений ее аргументов. Эту таблицу называют таблицей истинности ПФ.
Пример 1.1. Зададим ПФ трех аргументов f(x1, x2, x3). Так как каждый из аргументов принимает лишь 2 значения, поэтому мы имеем 8 различных комбинаций 3 переменных. Эти комбинации называют наборами. Наборы обычно пишут в так называемом естественном порядке, когда наборы принимают значения (000), (001), …, (111). Для получения следующего набора прибавляют 1 к правому разряду – применяется как бы сложение чисел.
Наборам присваивается номер, равный двоичному числу, соответствующему данному набору. Сопоставляя каждому набору одно из двух значений ПФ, мы и получим таблицу истинности (например, представленную в табл. 1).
Таблица 1
| х1 | х2 | х3 | f |
Переключательные функции одного и двух переменных
Рассмотрим некоторые ПФ одного и двух аргументов. В табл.2 представлены все 4 функции одного аргумента. Таблица 2
| x | f0(x) | f1(x) | f2(x) | f3(x) |
Функция f0 (x) равно нулю (константа нуля), f3(x) равна единице (константа единицы), функция f1(x) повторяет значение аргумента, т.е. f1(x) = x. Наиболее интересной и имеющей важное значение является функция f2(x), которая принимает значения, обратные значению аргумента – логическое отрицание или функция НЕ и обозначается как:
= ù х (читается не х).
Все ПФ двух аргументов приведены в табл.3.
Таблица 3
| х1 | х2 | f0 | f1 | f2 | f3 | f4 | f5 | f6 | f7 | f8 | f9 | f10 | f11 | f12 | f13 | f14 | f15 |
Функции f0(x1,x2) и f15(x1,x2) не зависят от значений аргументов: f0(x1,x2)=0 и f15(x1,x2)=1. Функции f3(x1,x2), f5(x1, x2), f10(x1,x2) и f12(x1,x2) являются фактически функциями одного аргумента:
f3(x1,x2)=x1, f5(x1,x2)=x2, f10(x1,x2)=x2 и f12(x1,x2)=x1.
Рассмотрим часто встречающиеся ПФ. Функция f1(x1,x2) реализует операцию конъюнкции или логического произведения. Как видим из табл. 3, функция f1(x1,x2) равна 1, когда и x1 и x2 равны 1. Конъюнкция обозначается как
f1(x1,x2)=x1 & x2 = x1 Ù x2 = x1 x2 (читается x1 и x2).
Функция f7(x1,x2) реализует операцию дизъюнкцию или логического сложения. Функция равна 1, когда или x1 или x2 равны 1. Дизъюнкция обозначается как
f7(x1,x2)=x1 Ú x2.
Функция f14(x1,x2) реализует операцию отрицания конъюнкции. Из табл. 3 видно, что когда конъюнкция f1(x1,x1) равна 0, то функция f14(x1,x2) равна 1, а если f1(x1, x2) равна1, то f14(x1,x2) равна 0, т.е. f14(x1,x2)=f1(x1,x2). Эта операция получила название “штрих Шеффера” и обозначается различными способами:
| |
Функция f8(x1, x2) реализует операцию отрицания дизъюнкции. По аналогии с функцией отрицания конъюнкции, из табл.3 видно, что f8(x1, x2)=f7(x1, x2). Эта операция также получила отдельное название – “стрелка Пирса” и обозначается следующим образом:
| |
Функция f6(x1, x2) реализует операцию логической неравнозначности или еще ее называют суммой по модулю два. ПФ равна 1, если аргументы x1 и x2 не равны между собой.
Остальные ПФ двух аргументов рассматривать пока не будем.
Логические элементы
Рассмотрим некоторые логические элементы с одним и двумя входами, реализующие ПФ от одного и двух аргументов.
Логический элемент НЕ (инвертор). Условное обозначение элемента НЕ представлено на рис. 1:
Рис.1. Обозначение логического элемента НЕ
Операция дизъюнкции y = x1 v x2 v ... v xn, n 2, выполняется элементом ИЛИ. Сигнал на выходе элемента ИЛИ принимает значение 0 только в том случае, если ни один из входных сигналов не имеет в данный момент времени значения 1. Условное обозначение элемента ИЛИ представлено на рис. 2:
Рис.2. Обозначение логического элемента ИЛИ
Операция конъюнкции y = x1 x2 ... xn, n 2, выполняется элементом И, сигнал на выходе которого равен 1, если все входные сигналы одновременно равны 1. Условное обозначение элемента И представлено на рис. 3:
Рис.3. Обозначение логического элемента И
Операцию отрицания дизъюнкции реализует элемент ИЛИ-НЕ, представляющий собой последовательное соединение элемента ИЛИ с элементом НЕ. Условное обозначение элемента ИЛИ-НЕ представлено на рис. 4.
Рис.4. Обозначение элемента ИЛИ-НЕ
Операцию отрицания конъюнкции реализует элемент И-НЕ, представляющий собой последовательное соединение элемента И с элементом НЕ. Условное обозначение элемента И-НЕ представлено на рис. 5:
Рис.5. Обозначение элемента И-НЕ