Нахождение линейной функции методом наименьших квадратов

В качестве примера рассмотрим более подробно линейную функцию преобразования вида:

нахождение линейной функции методом наименьших квадратов - student2.ru ,

где a и b - неизвестные параметры.

Применяя метод максимального правдоподобия, получим систему уравнений, которую разделим на “n” .

нахождение линейной функции методом наименьших квадратов - student2.ru .

Можно получить эту систему другим путем. Минимизируем выражение

нахождение линейной функции методом наименьших квадратов - student2.ru

Для нашего случая оно имеет вид:

нахождение линейной функции методом наименьших квадратов - student2.ru

Берем частные производные, приравниваем их к нулю и приходим к той же системе уравнений.

Решая полученную систему уравнений, находим следующие выражения для коэффициентов:

нахождение линейной функции методом наименьших квадратов - student2.ru ,

нахождение линейной функции методом наименьших квадратов - student2.ru

Таким образом, достаточно легко находим линейную зависимость между измеренными величинами.

Особенности применения линейной функции. Линейная функция имеет широкое применение в различных областях науки и техники, поэтому её параметры, а также входящие величины для их вычисления, имеют специальные названия.

Нетрудно видеть, что входящие в данную систему уравнений коэффициенты при неизвестных параметрах представляют собой статистические моменты:

нахождение линейной функции методом наименьших квадратов - student2.ru - начальные моменты первого порядка;

нахождение линейной функции методом наименьших квадратов - student2.ru - второй начальный момент;

нахождение линейной функции методом наименьших квадратов - student2.ru - смешанный начальный момент.

Подставляя, получим:

нахождение линейной функции методом наименьших квадратов - student2.ru

Откуда:

нахождение линейной функции методом наименьших квадратов - student2.ru

Если ввести статистический корреляционный момент в виде:

нахождение линейной функции методом наименьших квадратов - student2.ru ,

а также статистическую дисперсию

нахождение линейной функции методом наименьших квадратов - student2.ru ,

тогда получим:

нахождение линейной функции методом наименьших квадратов - student2.ru

Подставляя полученные значения в функцию преобразования, имеем:

нахождение линейной функции методом наименьших квадратов - student2.ru

Вводя выражение абсолютной погрешности, можно установить, насколько сходятся теоретические и экспериментальные зависимости:

нахождение линейной функции методом наименьших квадратов - student2.ru

Примечание: Метод наименьших квадратов позволяет решать и находить уравнения и более высоких степеней “k”, однако решение становится более громоздким с возрастанием степени многочлена.

Вопросы к разделу

1. Что такое грубые погрешности и промахи?

2. Как определить присутствие грубых погрешностей и промахов в выборке по виду закона распределения или гистограмме?

3. Расскажите о критерии "трех сигм" и его модификациях.

4. Как применить критерий Романовского для исключения из выборки промахов?

5. В чем суть критерия Шарлье?

6. Расскажите об использовании вариационного критерия Диксона для нахождения промахов.

7. Напишите алгоритм обработки результатов однократных измерений с точным оцениванием погрешностей.

8. Как обрабатываются результаты линейных косвенных измерений?

9. Расшифруйте понятия коррелированных и некоррелированных случайных величин. Что считается границей между этими случайными величинами при их суммировании?

10. Каким образом суммируются коррелированные случайные величины?

11. По каким правилам суммируются некоррелированные случайные величины?

12. Как суммируются случайные и систематические погрешности? Какой нормативный документ регламентирует эти правила?

13. В чем состоит суть критерия ничтожно малой погрешности?

Наши рекомендации