Основные правила построения модели

Математическую модель изображают в виде графа состояний. Элементы графа:

- кружки (вершины графа Основные правила построения модели - student2.ru , Основные правила построения модели - student2.ru ,…, Основные правила построения модели - student2.ru ) – возможные состояния системы Основные правила построения модели - student2.ru , возникающие при отказах элементов;

- стрелки – возможные направления переходов из одного состояния Основные правила построения модели - student2.ru в другое Основные правила построения модели - student2.ru .

Над/под стрелками указываются интенсивности переходов.

Примеры диаграмм графа представлен на рис. 2.16.

Основные правила построения модели - student2.ru а) Основные правила построения модели - student2.ru б)

Рисунок 2.16 – Примеры диаграмм графа состояний системы с восстановлением («восстанавливаемый элемент») (а) и системы без восстановления («невосстанавливаемый элемент») (б)

На рис 2.16 введены следующие обозначения:

- Основные правила построения модели - student2.ru – работоспособное состояние;

- Основные правила построения модели - student2.ru – состояние отказа.

Граф состояний отражает конечное (дискретное) число возможных состояний системы Основные правила построения модели - student2.ru , Основные правила построения модели - student2.ru ,…, Основные правила построения модели - student2.ru . Каждая из вершин графа соответствует одному из состояний.

Для описания случайного процесса перехода состояний (отказ/ восстановление) применяют вероятности состояний

Основные правила построения модели - student2.ru , Основные правила построения модели - student2.ru , … , Основные правила построения модели - student2.ru , … , Основные правила построения модели - student2.ru ,

где Основные правила построения модели - student2.ru – вероятность нахождения системы в момент Основные правила построения модели - student2.ru в Основные правила построения модели - student2.ru состоянии, Основные правила построения модели - student2.ru .

Очевидно, что для любого Основные правила построения модели - student2.ru

Основные правила построения модели - student2.ru (2.42)

По графу состояний (рис. 2.17) составляется система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (уравнений Колмогорова-Чепмена), имеющих вид

Основные правила построения модели - student2.ru . (2.43)

Основные правила построения модели - student2.ru

Рисунок 2.17 – Диаграмма графа состояний

В общем случае, интенсивности потоков Основные правила построения модели - student2.ru и Основные правила построения модели - student2.ru могут зависеть от времени Основные правила построения модели - student2.ru .

При составлении дифференциальных уравнений пользуются простым мнемоническим правилом:

а) в левой части – производная по времени Основные правила построения модели - student2.ru от Основные правила построения модели - student2.ru ;

б) число членов в правой части равно числу стрелок, соединяющих рассматриваемое состояние с другими состояниями;

в) каждый член правой части равен произведению интенсивности перехода на вероятность того состояния, из которого выходит стрелка;

г) знак произведения положителен, если стрелка входит в рассматриваемое состояние, и отрицателен, если стрелка выходит из него.

Чтобы решить систему дифференциальных уравнений для вероятностей состояний Основные правила построения модели - student2.ru , Основные правила построения модели - student2.ru , … , Основные правила построения модели - student2.ru , … , Основные правила построения модели - student2.ru необходимо задать начальное значение вероятностей Основные правила построения модели - student2.ru , Основные правила построения модели - student2.ru , … , Основные правила построения модели - student2.ru , … , Основные правила построения модели - student2.ru , при Основные правила построения модели - student2.ru , сумма которых равна единице:

Если в начальный момент Основные правила построения модели - student2.ru состояние системы известно, например, Основные правила построения модели - student2.ru , то Основные правила построения модели - student2.ru , а остальные равны нулю

Основные правила построения модели - student2.ru .

Наши рекомендации