Тема 7. Условные и разделительные умозаключения

Чисто условным умозаключением называется такое умозаключение, в котором обе посылки являются условными суждениями.

Структура: Схема:

Если а, то b. а → b

Если b, то c. b → c

Если а, то с. a → c

Формула: ((a → b) ^ (b → c)) → (a → c)

Разновидности:

Если a, то b.

Если не-а, то b. a → b

b b

Условно-категорическое умозаключение – это такое дедуктивное умозаключение, в котором одна из посылок – условное суждение, а другая – простое категорическое суждение.

Оно имеет два правильных модуса, дающих заключение, с необходимостью следующее из посылок.

I. Утверждающий модус (modus ponens)

Структура: Схема:

Если a,то b. а → b

a a

b b

Формула: ((a → b) ^ a) →b является законом логики.

Можно строить достоверные умозаключения от утверждения основания к утверждению следствия.

II. Отрицающий модус (modus tollens)

Структура: Схема:

Если a, то b. a → b

Не-b. b

Не-а. a

Формула: ((a → b) ^ b) → a является законом логики.

Можно строить достоверные умозаключения от отрицания следствия к отрицанию основания.

Условно-категорическое умозаключение может давать не только достоверное заключение, но и вероятное.

Первый вероятностный модус

Структура: Схема:

Если a, то b. a → b

b b

Вероятно, a Вероятно, a

Формула ((a → b) ^ b) → a не является законом логики.

Нельзя достоверно умозаключать от утверждения следствия к утверждению основания.

II Вероятностный модус

Структура: Схема:

Если a, то b. a → b

Не-a.a

Вероятно, не-b Вероятно, b

Формула ((a → b) ^ a) → b не является законом логики.

Нельзя принимать заключение за достоверное, умозаключая от отрицания основания к отрицанию следствия.

Разделительным называется дедуктивное умозаключение, в котором одна или несколько посылок – разделительные суждения.

Существуют чисто разделительные и разделительно-категорические умозаключения.

В чисто разделительном умозаключении обе (все) посылки являются разделительными суждениями.

Чисто разделительное имеет структуру:

S есть А, или B, или C.

А есть или А1, или А2.

S есть или А1, или А2, или B, или C.

В разделительно-категорическомумозаключении одна посылка – разделительное суждение, другая – простое категорическое суждение. Этот вид умозаключения содержит два модуса.

I. Утверждающе-отрицающий модус (ponendo-tollens)

а *V b, a a*V b, b

b a

(*V или V – строгая дизъюнкция)

Формулы: ((a V b) ^ a) → b

((a V b) ^ b) → a

выражают законы логики.

II Отрицающе-утверждающий модус (tollendo-ponens)

а V b, a a V b, b

b a

a *V b, a a *V b, b

b a

Характер дизъюнкции (строгая или нестрогая) на необходимость вывода не влияет.

Формулы:

((a V b) ^ a) → b ((a V b) ^ a) → b

((a V b) ^ b) → a ((a V b) ^ b) → a

Условно-разделительное умозаключение – это такое дедуктивное умозаключение, в котором одна посылка состоит из двух или большего числа условных суждений, а другая является разделительным суждением.

В зависимости от числа членов в разделительной посылке это умозаключение может быть дилеммой (два члена), трилеммой (три члена) или полилеммой (больше двух).

Дилемма – это такое условно-разделительное умозаключение, в котором одна посылка состоит из двух условных суждений, а другая является разделительным суждением, содержащим две альтернативы.

В простой конструктивной дилемме в первой (условной) посылке утверждается, что из двух различных оснований вытекает одно и то же следствие. Во второй посылке (дизъюнктивном суждении) утверждается, что одно или другое из этих оснований истинно. В заключении утверждается следствие.

Схема:

а → b, c → b, a V c

b

Формула: ((a → b) ^ (c → b) ^ (a V c)) → b

Сложная конструктивная дилемма отличается от простой только тем, что оба следствия ее первой (условной) посылки различны.

Схема:

а → b, c → d, a V c

b V d

Формула: ((a → b) ^ (c → d) ^ (a V c)) → (b V d)

В простой деструктивной дилемме первая (условная) посылка указывает на то, что из одного и того же основания вытекают два различных следствия. Во второй посылке содержится дизъюнкция отрицаний обоих этих следствий. В заключении отрицается основание.

Схема: a → b, a → c, b V c

a

Формула: ((a → b) ^ (a → c) ^ ( b V c)) → a

Сложная деструктивная дилемма отличается от простой только тем, что оба основания ее различны, заключение является дизъюнкцией отрицаний обоих оснований.

Схема:

а → b, c → d, b V d

a V c

Формула: ((a → b) ^ (c → d) ^ (b V d)) → a V c

Упражнение 1. Установите вид условного умозаключения и его правильность.

1. Если бы соревнования по стрельбе комментировал математик, то он, пожалуй, нашел бы здесь удачные об­разы для разговора о последовательностях, пределах, сходимости. Я же не математик. Поэтому я не могу найти удачных образов для разговора об этих непонят­ных для меня вещах.

2. Если я называю тебя буйным человеком, то я назы­ваю тебя человеком. Но называя тебя человеком, я гово­рю правду. Значит, если я называю тебя буйным челове­ком, – я говорю правду.

3. Нынешняя зима была многоснежной. Значит, сле­дуя народной примете – «Зима без снега – лето без хле­ба», – надо ждать хорошего урожая.

4. Если бы мы не изучали философию, то не имели бы правильного понимания законов развития. И так как мы изучаем философию, значит, мы имеем правильное понимание законов развития.

5. Если в треугольнике два угла равны между собой, то он – равнобедренный. Данный треугольник имеет два равных угла, значит, он – равнобедренный.

6. Если преступление совершил Борис, то он дол­жен знать, с помощью какого оружия это сделано. Однако Борис не знает, какое оружие использовано при совершении преступления. Значит, он не мог его совершить.

7. Если некоторая формула является тождественно истинной, то при всех значениях высказываний, вхо­дящих в ее состав, она принимает значение «истинно». Данная формула при всех значениях простых выска­зываний, входящих в ее состав, принимает значение «истинно». Следовательно, это – тождественно истин­ная формула.

8. В связи с тем, что среди преступлений выделяют военные и государственные, данное преступление сле­дует считать государственным, так как по своей характе­ристике его нельзя квалифицировать как военное.

9. Каждое суждение может быть либо истинным, либо ложным. А так как суждение «Аристотель – древнегре­ческий философ» не является ложным, значит, оно истинное.

10. Наш попутчик мог выйти только на одной из двух промежуточных остановок, где останавливался поезд, на котором мы ехали: Бобров или Озерная. Значит, он вы­шел на станции Озерная, так как в Боброве ни один пас­сажир нашего поезда не выходил.

11. Студент выбрал для своей курсовой работы тему, связанную с формированием логического мышления у школьников. Это следует из того, что у него не было иных вариантов: или названная тема, или тема, связан­ная с историей логики, а от последней он отказался, по­считав ее менее интересной.

12. Если учащийся усвоит теоретический материал, то он справится с практическим заданием. Этот учащийся не справился с практическим заданием. Значит, он не усвоил теоретический материал.

13. Если против какой-либо болезни предлагается очень много средств, то это значит, что болезнь неизлечима. Я знаю, что эта болезнь не является неизлечимой. Значит, против этой болезни не может предлагаться очень много средств.

14. Водные процедуры способствуют закаливанию. Плавание – это водная процедура. Значит, плавание способствует закаливанию.

15. Если водитель в состоянии опьянения совершил наезд на пешехода, то он подлежит уголовной ответственности. Этот водитель не был пьян за рулем во время аварии. Поэтому он не подлежит уголовной ответственности.

Упражнение 2. Определите вид умозаключения. Сделайте вывод и постройте его схему.

1. Издания бывают периодическим или непериодическими. Книги Д. Донцовой не являются периодическими изданиями.

2. На почте он мог отправить телеграмму, купить открытки или конверты. Он купил только открытки.

3. Когда бы я знал, к чему может привести моя неосторожная реплика, я бы молчал весь вечер. Но я не молчал весь вечер.

4. Один переулок поворачивал направо, к парку, а второй – налево, к небольшому пруду. Мой обидчик мог выбрать только один из них.

5. Эта логическая операция является обобщением или ограничением. Данная операция является обобщением.

6. Если бы мы не изучали философию, то не имели бы правильного понимания законов развития. Мы изучаем философию

7. Если в треугольнике два равных угла, то он равнобедренный. Но этот треугольник не имеет равных углов.

8. Заведующий кафедрой может быть доктором наук или доцентом. Заведующий данной кафедрой не является доктором наук.

9. Если К. – участник преступления, то он был на месте преступления, и мог знать потерпевшего. Однако К. не был на месте преступления и не знаком с потерпевшим.

10. С этим человеком можно связаться по телефону или по электронной почте. С ним связались по электронной почте.

11. Я могу пойти на военную службу или заняться коммерческой деятельностью. Я решил пойти на военную службу.

12. Учебное заведение может быть начальным, или средним, или высшим. МГУ является высшим учебным заведением.

13. Налог может быть либо федеральным, либо региональным, либо местным. Дорожный налог не является ни федеральным, ни местным.

14. Если поступать в МГУ, то надо много заниматься. Если поступать в МГИМО, то тоже надо много заниматься. Хочется поступить в МГУ или в МГИМО.

15. Если ожидается землетрясение, то придется эвакуировать людей. Землетрясения не ожидается.

Упражнение 3. Приняв суждения, данные ниже, за одну из посылок, сформулируйте для каждого случая правильное условно-категорическое или разделительно-категорическое умозак­лючение.

1. «...если в древности было что-то хорошее, то ему нужно подражать...» (Из древнекитайской философии).

2. Я уверен, что он придет с цветами – сейчас можно купить розы, гвоздики или хризантемы.

3. Если бы этот параллелограмм не был ромбом, то его диагонали не пересекались бы под прямым углом.

4. Эта логическая операция является обобщением или ограничением и ничем иным.

5. Если ему предстояло готовить себе ужин, то он не мог обойтись без какой-либо книги по кулинарии.

6. На грядке были посеяны свекла, морковь и редька.

7. Если взлетная полоса покрыта льдом, самолеты не могут взлететь

8. Транспорт бывает наземным, подземным, водным или воздушным.

9. Учитель дал задание произвести логарифмирование и построение графика.

10. Леса бывают хвойными, лиственными или смешанными.

11. Люди бывают европеоидами, монголоидами или негроидами.

12. Если это правонарушение, то оно должно быть наказано.

13. Если ласточки низко над землей летают – быть ненастью.

14. Кто чужому счастью завидует, тот своего не увидит.

15. Если я смогу занять деньги, то оплачу долг.

Упражнение 4. Определите вид дилеммы, запишите ее формулу. Сделайте вывод в тех примерах, где он отсутствует.

1. Если я вернусь домой, то потеряю уйму времени и вполне вероятно заслужу выговор от начальства за опоздание; если я все же уеду на работу, то в квартире может произойти пожар. Но я либо должен вернуться домой, либо уехать на работу.

2. Он знает это, потому что если он читал книгу, то в ней об этом факте говорится в предисловии; а если он смотрел кинофильм, то об этом говорит главный герой фильма; но мы точно знаем, что он прочитал книгу или посмотрел кинофильм.

3. Странник стоял перед выбором: если пойти прямо, можно потерять друга, но самому уцелеть. Если вернуться назад, можно погибнуть самому, но друг будет жив. Надо идти или прямо, или возвращаться назад.

4. Если я пойду по льду, то, так как лед еще не так крепок, я могу провалиться; а если идти через мост, то я скорее всего не успею ко времени. Но выхода нет: надо идти по льду или далеко в обход через мост. Значит, я рискую провалиться или опоздать.

5. Когда у меня болит зуб, я принимаю анальгин. И когда у меня болит голова, я тоже принимаю анальгин. Сегодня у меня не болят ни зуб, ни голова, следователь­но, анальгин я не принимаю.

6. Нам предстоит сложный выбор: отступить – и остаться живыми, но при этом прослыть трусами, или броситься вперед на значительно превосходящего по своим силам врага – и тогда, наверняка, погибнуть. Мы можем либо отступить, либо броситься вперед на врага.

7. Если я воспользуюсь на экзамене шпаргалкой, то экзаменатор может заметить, и провал обеспечен. А если я буду надеяться только на свою память, то уж что-ни­будь я всегда отвечу, то есть. не провалюсь. Я всегда имею выбор: воспользоваться шпаргалкой или надеяться толь­ко на свою память. Значит, я либо могу провалиться, либо не провалюсь.

8. Если человек мог для него что-нибудь сделать и делал, то он считал его приятным. Если человек ничего для него не делал, то он относил его к неприятным. А так как каждый человек либо мог для него что-нибудь сде­лать, либо нет, то всех людей он относил либо к прият­ным, либо к неприятным.

9. Если я признаюсь в совершенном поступке, то понесу заслуженное наказание, а если попытаюсь скрыть его, то буду испытывать угрызения совести. Но мне придется или признаться в совершенном поступке, или же скрыть его.

10. Если Н. – подозреваемый, значит, он или задержан по подозрению в совершении преступления, или является лицом, к которому применена мера пресечения до предъявления обвинения. Н. не был задержан по подозрению в совершении преступления, или он не является лицом, к которому применена мера пресечения до предъявления обвинения.

11. Выбор предстоял довольно сложный: или продолжать движение, или остановиться и ждать, пока туман рассеется. В обоих случаях риск был неизбежен. Продолжая движение, мы в тумане могли бы потерять дорогу в тумане. Если бы остановились и стали ждать, пока туман рассеется, то ожидающая нас шхуна могла уйти без нас.

12. Если страной правит мудрый человек, то она процветает, а если ей управляет проходимец, то она бедствует. Страной может управлять либо мудрец, либо проходимец.

13. Если добираться из Пекина в Москву самолетом, то надо потратить много денег, а если поездом, то много времени. Я не хочу тратить ни деньги, ни время.

14. Если изучать английский, то необходима каждодневная разговорная практика, и если изучать немецкий, то также необходима каждодневная разговорная практика. Но нужно изучать английский или немецкий.

15. Если не сможем сдержать натиск противника, придется отступить или пасть в неравном бою. Но так или иначе придется встретиться с противником. Стало быть, или отступим с позором или падем со славою.

Упражнение 5. Установите вид и правильность умозаключений

1. Если формула, соответствующая некоторому умо­заключению, является тождественно-истинной, то такое умозаключение называют правильным. Следовательно, если умозаключение не является правильным, то и соот­ветствующая ему формула не будет тождественно истин­ной.

2. Если много читать, то это будет способствовать интеллектуальному развитию. Если заниматься регулярно решением головоломок и логических задач, то это повысит культуру логического мышления. Я много читаю, увлекаюсь решением головоломок и логических задач. Значит, я развиваюсь интеллектуально и повышаю культуру мышления.

3. Так как он адвокат, то если он участвует в судеб­ном процессе, он имеет право ознакомиться с материала­ми следствия. Из чего следует, что если он адвокат и участвует в судебном процессе, то он имеет право озна­комиться с материалами следствия.

4. Если этот человек был на месте преступления и отпечатки его пальцев есть на орудии преступления, то, возможно, что он и является тем, кто совершил данное преступление. Следовательно, если этот человек был на месте преступления, то при условии, что отпечатки его пальцев есть на орудии преступления, этого человека можно подозревать в совершении данного преступления.

5. Если два угла одного треугольника равны двум уг­лам другого треугольника, то такие треугольники – по­добны. Следовательно, если два треугольника не явля­ются подобными, то, по меньшей мере, два угла одного из них не являются равными двум углам другого.

6. Если я полечу самолетом, то потрачу много денег. Если отправлюсь поездом, то потеряю много времени. Но третьего варианта у меня нет. Значит, я потеряю либо деньги, либо время.

7. Не было гвоздя – подкова пропала. Подкова пропала – лошадь захромала. Лошадь захромала – командир убит. Конница разбита, армия бежит. Враг вступает в город, пленных не щадя, потому что в кузнице не было гвоздя (С. Маршак).

8. Если птица летит в одном направлении со стаей, то примыкает к ней. Если нет – летит в одиночестве. Но птица или летит или не летит в одном направлении со стаей. Значит, она летит либо со стаей, либо в одиночестве.

9. Недостача товаров в магазине, явный беспорядок в расположении оставшихся товаров и открытая входная дверь со сломанным замком являются следствием или кражи товаров из магазина посторонними лицами, или инсценировкой кражи, совершенной кем-то из работников магазина для сокрытия растраты. Установлено, что кража не могла быть совершена посторонними лицами.

10. Считаю музыку искусством лирическим по существу. И если меня назовут лириком, то буду гордиться, а если назовут драматическим композитором – несколько обижусь (Н. Римский-Корсаков).