Т. е. любое множество содержится в самом себе.

Доказательство.

Напомним, что, согласно определению, включение A ⊂ B означает, что каждый элемент множества A является и элементом множества B. Поэтому утверждение, которое подлежит доказательству, можно переформулировать следующим образом: каждый элемент множества A является элементом множества A. А это тавтология.

Таким образом, знаки включения не вполне соответствуют знакам неравенств и . Они ближе к и . Обратите внимание на то, что нет такого числа a, которое было бы меньше самого себя; неравенство решений не имеет.

II. Вездесущесть пустого множества.

∅ ⊂ A для любого множества A,

Т.е., пустое множество присутствует, в качестве подмножества, в каждом множестве.

Доказательство.

Напомним, что, согласно определению, включение A ⊂ B означает, что каждый элемент множества A является и элементом множества B. Поэтому нам нужно доказать, что каждый элемент множества ∅ принадлежит и множеству A. Это действительно так, потому что в ∅ элементов нет.

Если вас это рассуждение не убедило, поставим вопрос иначе: а может ли это включение быть не справедливо? Как это может случится, что ∅ не является подмножеством множества A? Это могло бы случиться, только если бы в ∅ нашёлся элемент, не являющийся элементом множества A. Но такого элемента в ∅ нет, поскольку в ∅ нет никаких элементов.

Итак, в любом множестве A имеются два очевидных подмножества: пустое множество ∅ и само A. Подмножество множества A, отличное от ∅ и A, называется его собственным подмножеством. Слово это употребляется, когда хотят исключить из рассмотрения очевидные подмножества (называемые несобственными.)

III. Транзитивность включения.

Если A, B и C - множества, такие, что A ⊂ B и B ⊂ C, то A ⊂ C.

Доказательство.

Нужно доказать, что каждый элемент множества A является элементом множества C.

Пусть x∈A. Так как A⊂B, то x∈B. А так как B⊂C,то это, в свою очередь, влечёт x ∈ C. Ну а это-то и нужно было доказать.

Доказывая равенство множеств, доказывают два включения

Имея дело с множествами, часто приходится доказывать, что какие-то два множества, которые возникают, казалось бы, совершенно по-разному, на самом деле совпадают. Наиболее обычный способ доказательства равенства множеств даёт следующая теорема.

Теорема. Критерий равенства множеств.

Доказательство.

Мы уже видели, что A ⊂ A. Поэтому если A = B, то A ⊂ B и B ⊂ A.

С другой стороны, включение A ⊂ B означает, что каждый элемент множества A принадлежит и B, а включение B ⊂ A означает, что каждый элемент множества B принадлежит и A. Следовательно, A и B обладают одними и теми же элементами, а значит, они равны.

Включение и принадлежность

I.

Доказательство.

по опр. включения

любой элемент множества является и элементом множества

Замечание.

Несмотря на эту очевидную связь и похожесть символов принадлежности ∈ и включения ⊂, понятия принадлежности и включения весьма различны:

принадлежность A ∈ B означает что A - один из элементов множества B

(т. е. один из неделимых объектов, составляющих B),

включение A⊂B означает, что A состоит из некоторых элементов множества B.

II. Нерефлексивность принадлежности.

Существует такое множество A, что .

Доказательство.

Построить такое множество A, что A A, легко. Возьмите, например, A = ∅, или A = N, или A = {1},…

III. . Нетранзитивность принадлежности.

Существуют такие множества A, B и C, что A ∈ B и B ∈ C, но .

Доказательство.

Пусть , и . Ясно, что A ∈ B и B ∈ C, но .

На самом деле, труднее построить такие множества A, B и C, что A ∈ B, B ∈ C и A ∈ C. Вот один из простейших примеров: , ,

1.10. Задание подмножества заданием условия

Как мы знаем (см. п. 1.5), множество можно описать, представив список его элементов. К сожалению, этот простейший способ задания множеств не всегда доступен и уж во всяком случае не всегда лёгок. Например, легко сказать: “множество всех решений следующего уравнения” и выписать уравнение. Это - вполне приемлемое недвусмысленное описание множества. Приняв его, можно говорить об этом множестве, обсуждать его свойства, и, в результате, если повезёт, решить уравнение и выписать список всех его решений.

(Последнее может оказаться не лёгким делом, но тот факт, что мы не имеем списка всех решений уравнения, не должен помешать нам рассуждать о множестве всех его решений.)

Итак, множество можно задать, сформулировав свойства, выделяющие его элементы среди элементов более широкого и уже описанного множества. Соответствующее обозначение: подмножество множества A, состоящее из элементов x, которые удовлетворяют условию P(x), обозначается через

или .

Примеры.

Зададим следующие множества списками их элементов (т. е. в виде {a, b,…}):

1) {x ∈ | x < 5} = {1, 2, 3, 4};

2) {x ∈ | x < 0} = { };

3) {x ∈ | x < 0} = {−1,−2,−3,−4,−5,−6, . . .}.

Пересечение и объединение

Пересечением множеств A и B называется множество, составленное из их общих элементов, т. е. элементов, принадлежащих и A, и B. Оно обозначается через A∩B. Его можно описать и формулой

Множества A и B называются дизъюнктными или непересекающимися, если их пересечение пусто, т. е. A ∩ B = ∅.

Объединением множеств A и B называется множество, составленное из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств A и B.

Объединение множеств A и B обозначается через A ∪ B. Его можно описать формулой

Здесь союз и л и понимается в неисключающем смысле: условие “x∈A или x∈ B” означает, что x принадлежит х о т я б ы о д н о м у из множеств A и B, а, быть может, и обоим.

Примеры.

1) ;

2) ;

3) ;