Напряжения и деформации при растяжении. Закон Гука

Напряжения и деформации при растяжении. Закон Гука - student2.ru Рассмотрим призматический стержень с постоянной площадью поперечного сечения F, к концам которого приложена распределенная нагрузка, равнодействующая которой равна P (рис. 3.4).

На элементарную площадку dF действует элементарное усилие dN.

Отсюда dN = σ dF или N = Напряжения и деформации при растяжении. Закон Гука - student2.ru σ dF (3.1)

В формуле (3.1) неизвестен закон распределения нормальных напряжений по площади поперечного сечения. Для ответа на этот вопрос на боковую поверхность элемента нанесем систему линий, перпендикулярных продольной оси элемента. После приложения нагрузки отмечаем, что эти линии не деформируются, а перемещаются поступательно. Это возможно в том случае, когда напряжения s по площади поперечного сечения распределены равномерно. Это предположение впервые высказал голландский ученый Д. Бернулли.

Гипотеза Бернулли – сечения плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации.

Следовательно, формула (3.1) может быть записана как:

N = σ Напряжения и деформации при растяжении. Закон Гука - student2.ru dF = σF

Отсюда найдем s = Напряжения и деформации при растяжении. Закон Гука - student2.ru (3.2)

Для определения деформаций рассмотрим призматический стержень длиной l с размерами поперечного сечения a и b. После приложения нагрузки стержень удлинился и длина его стала равной l1, а размеры поперечного сечения уменьшились и стали равными a1 и b1 (рис. 3.5).

 
  Напряжения и деформации при растяжении. Закон Гука - student2.ru

На расстоянии z выделим участок стержня длиной dz. После приложения нагрузки его длина станет равной dz + Δdz.

Согласно определению относительная деформация

Напряжения и деформации при растяжении. Закон Гука - student2.ru = Напряжения и деформации при растяжении. Закон Гука - student2.ru , или Δ dz = ε dz

С учетом гипотезы Бернулли, если σ = const, следовательно, и ε = const, получим:

Δl = Δε dz = ε Напряжения и деформации при растяжении. Закон Гука - student2.ru dz = εl

Продольная деформация при простом растяжении равна

Напряжения и деформации при растяжении. Закон Гука - student2.ru = Напряжения и деформации при растяжении. Закон Гука - student2.ru (3.3)

Здесь Δl - абсолютная продольная деформация.

Рассуждая аналогично найдем поперечные деформации, которые берутся со знаком «-», так как сечение сужается.

Напряжения и деформации при растяжении. Закон Гука - student2.ru = - Напряжения и деформации при растяжении. Закон Гука - student2.ru ; Напряжения и деформации при растяжении. Закон Гука - student2.ru = - Напряжения и деформации при растяжении. Закон Гука - student2.ru Напряжения и деформации при растяжении. Закон Гука - student2.ru

Величины - Δa и Δb - абсолютная поперечная деформация.

Для изотропных материалов Напряжения и деформации при растяжении. Закон Гука - student2.ru

| Напряжения и деформации при растяжении. Закон Гука - student2.ru | = | Напряжения и деформации при растяжении. Закон Гука - student2.ru | = ε1

Французский ученый Пуассон установил, что отношение

| Напряжения и деформации при растяжении. Закон Гука - student2.ru | = μ есть величина постоянная. (3.4)

Как будет показано ниже, коэффициент Пуассона μ меняется в пределах

0≤ μ ≥0,5 (3.5)

На основании гипотезы о линейной зависимости между напряжениями и деформациями (1.18) можно записать

σ = εE (3.6)

σ = εE = Напряжения и деформации при растяжении. Закон Гука - student2.ru E или Напряжения и деформации при растяжении. Закон Гука - student2.ru = Напряжения и деформации при растяжении. Закон Гука - student2.ru E, отсюда

Напряжения и деформации при растяжении. Закон Гука - student2.ru (3.7)

Формула (3.7) - закон Гука для абсолютной деформации элемента.

EF - жесткость стержня при растяжении.

Принцип Сен-Венана

Напряжения и деформации при растяжении. Закон Гука - student2.ru Формулы (3.2) и (3.7) получены для случая растяжения стержня распределенной нагрузкой, приложенной к его торцам. В том случае, когда нагрузка прикладывается другим способом (рис. 3.6 а, в, с), гипотеза Бернулли наблюдается только в тех сечениях, которые удалены от места приложения ее на расстояние а, превышающее 1,5-2 раза больший его поперечный размер.

В этом случае напряжения у мест приложения нагрузки распределены не равномерно, о чем свидетельствуют деформации у мест приложения нагрузки. Это явление по имени французского ученого называется принципом Сен-Венана.

Принцип Сен-Венана - при нагружении элемента статически эквивалентной нагрузкой, у которой главный вектор и главный момент одинаковы, в сечениях, достаточно удаленных от мест приложения нагрузки, напряжения мало зависят от способа приложения нагрузки.

Наши рекомендации