Глава 5. элементы операционного исчисления

Глава 5. ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

5.1. Основные определения

Основными понятиями операционного исчисления являются понятия функции-оригинала и функции-изображения.

Пусть задана функция глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru действительного переменного t. Функция глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru называется оригиналом или начальной функцией, если она удовлетворяет следующим условиям: 1. глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru при глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru . 2. глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru – кусочно-непрерывна при глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru , т.е. она непрерывна или имеет точки разрыва I рода, причем на каждом конечном промежутке таких точек лишь конечное число. 3. Существуют такие числа глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru и глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru , что при всех t выполняется неравенство глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru , т.е. с ростом t функция глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru может возрастать не быстрее некоторой показательной функции. Число глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru называется показателем роста функции глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Заметим, что функция глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru может быть и комплексной функцией действительного переменного, т.е. иметь вид глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru ; она считается оригиналом, если действительные функции глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru и глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru являются оригиналами.

Пусть глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru – оригинал, а глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru – комплексный параметр, причем глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru . Рассмотрим произведение функции глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru на комплексную функцию глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru действительного переменного t: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru и определим несобственный интеграл

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Можно показать, что при сформулированных условиях этот интеграл сходится и является функцией переменного р:

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Этот интеграл называется интегралом Лапласа, а определяемая им функция глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru – преобразованием Лапласа, или лапласовым изображением глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru , или просто изображением глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru . Соответствие между оригиналом глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru и его изображением глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru будем записывать в виде

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru или глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Теорема (о единственности оригинала). Если две непрерывные функции глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru и глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru имеют одно и то же изображение глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru , то эти функции совпадают.

Примеры.

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru 1. По определению найдем изображение единичной функции Хевисайда, определяемой следующим образом

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru

График введенной функции изображен на рисунке.

Решение.

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru

Итак, глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

2. Найти изображение функции глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru , где а – любое число.

Решение. Данная функция является оригиналом. По определению изображения имеем

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru

если глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru . Таким образом, глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

3. глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru Найти изображение функции, заданной на рисунке.

Решение. Зададим функцию аналитически

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru

и воспользуемся определением.

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru

4. Найти изображение функции

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru

Решение. График заданной функции изображен на рисунке. Чтобы найти изображение функции, воспользуемся определением.

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru

5.2. Свойства преобразования Лапласа

Находить изображение, используя только определение, не всегда просто. Свойства преобразования Лапласа облегчают задачу нахождения изображений для большого числа функций, а также задачу отыскания оригиналов по их изображениям.

Линейность изображения

Изображение суммы нескольких функций, умноженных на постоянные, равняется сумме изображений этих функций, умноженных на соответствующие постоянные, т.е. если глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru и глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru , то глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru , где глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru и глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru – постоянные.

Используя сформулированное свойство и выведенные соответствия глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru , глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru , найдем изображения функций: С, глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru , глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru , глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru , глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

1) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

2) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Таким образом, глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

3) Аналогично, учитывая формулу глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru , можно доказать соответствие глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

4) Используя определение гиперболического синуса глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru и свойство линейности изображения, несложно получить соответствие глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

5) Аналогично из определения гиперболического косинуса глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru следует формула глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Свойство подобия

Если глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru и λ – произвольная положительная постоянная, то глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru , т.е. умножение аргумента оригинала на положительное число приводит к делению изображения и его аргумента на это число.

Теорема смещения

Если глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru и глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru , то глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru , т.е. при умножении оригинала на функцию глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru аргумент изображения смещается на величину а.

Используя это свойство и найденные выше изображения, легко получить следующие соотношения

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru ,

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Теорема запаздывания

Пусть функция глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru – оригинал. Тогда график функции глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru имеет тот же вид, но смещен на глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru единиц вправо (при глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru ). Следовательно, функции глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru и глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru описывают один и тот же процесс, но процесс, описываемый функцией глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru , начинается с опозданием на время глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

 
  глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru

Справедлива следующая теорема.

Теорема. Если глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru , глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru , то глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru , т.е. запаздывание оригинала на положительную величину глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru приводит к умножению изображения оригинала на глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Свойство запаздывания удобно применять при отыскании изображения функций, которые на разных участках задаются различными аналитическими выражениями.

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru Найдем изображение функции глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru . Эта функция получается из единичной функции Хевисайда глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru смещением на глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru единиц. Ее график изображен на рисунке. Так как глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru , то по теореме запаздывания глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Примеры.

1. Найти изображение функции

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru Решение. График функции изображен на рисунке. Заданную функцию можно описать с помощью единичной функции Хевисайда следующим образом:

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Поэтому по теореме запаздывания

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Заметим, что ранее это изображение было найдено по определению.

 
  глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru

2. Найти изображение функции, заданной на рисунке.

Решение. Зададим функцию глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru аналитически.

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru

или глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru . Следовательно, изображение заданной функции имеет вид

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

3. Найти изображение функции

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru Решение. График функции построен на рисунке. Заметим, что заданную функцию можно так же описать с помощью единичной функции Хевисайда следующим образом:

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Так как по теореме запаздывания справедливо соотношение

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru ,

то по теореме смещения окончательно получаем

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Ранее изображение этой функции было найдено исходя из определения.

4. Найти изображение функции

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru

Решение. Функция-оригинал изображена на рисунке. Запишем ее, используя функцию Хевисайда.

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru

Преобразуем полученное выражение:

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

По теореме запаздывания найдем изображение заданной функции.

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

5. Найти оригинал для изображения глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Решение. Так как глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru , то воспользуемся теоремой запаздывания:

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru ,

или

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru

Дифференцирование оригинала

Если глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru и функции глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru , глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru ,…, глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru являются оригиналами, то глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru , глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru , …………………………… глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Таблица некоторых изображений

Для удобства использования полученных выше изображений поместим их в одну таблицу.

Оригинал глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru Изображение глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .
С глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru
глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru
глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru
глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru
глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru
глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru
глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru
глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru

Кроме того, рассмотренные выше свойства преобразований Лапласа представляют собой основные правила операционного исчисления. Для удобства использования перечислим их еще раз.

1.Линейность: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

2.Подобие: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

3.Смещение изображения: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

4.Дифференцирование изображения: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

5.Запаздывание оригинала: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

6.Умножение изображений: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

7.Интегрирование оригинала: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

8.Интегрирование изображения: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

9.Дифференцирование оригинала:

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru ,

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru ,

……………………………

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Примеры.

1. Найти изображения функций:

а) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru ;

б) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru ; в) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru ;

г) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru ; д) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Решение.

а) По таблице находим:

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Следовательно, по свойству линейности преобразования Лапласа получим

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru

б) Преобразуем произведение косинусов в их сумму

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru ,

т.е.

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Далее воспользуемся таблицей изображений и свойством линейности:

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

в) Используем формулу понижения степени:

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Поэтому глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru . Тогда

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

г) Раскроем скобки глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru . Для того, чтобы найти изображение первого слагаемого воспользуемся теоремой о дифференцировании изображения. Так как глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru , то

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Окончательно,

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

д) Для того, чтобы найти изображение первого слагаемого, используем теорему о дифференцировании изображения:

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Преобразуем второе слагаемое:

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Поэтому его изображение имеет вид

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Итак, изображение заданной функции будет

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

2. Найти оригиналы следующих изображений:

а) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru ; б) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru ;

в) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru ; г) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru ;

д) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru ; е) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru ;

ж) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Решение.

а) Преобразуем глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru так, чтобы можно было воспользоваться таблицей изображений:

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru

Находя по таблице оригинал каждого слагаемого и используя свойство линейности, получим начальную функцию для заданного изображения.

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

б) Преобразуем дробь, выделив полный квадрат в знаменателе:

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Сведем полученное выражение к сумме двух дробей, соответствующих формулам 7 и 8 таблицы изображений.

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Следовательно, согласно таблице изображений и свойству линейности преобразования Лапласа, находим оригинал:

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

в) Разложив знаменатель дроби на множители, перепишем изображение в виде:

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Представим полученную дробь в виде суммы простейших дробей и найдем входящие в сумму коэффициенты.

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru

Таким образом глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru . Теперь по таблице изображений находим

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

г) Представим дробь в виде суммы простейших дробей

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Приводя правую часть равенства к общему знаменателю и приравнивая числители обеих дробей, получаем равенство:

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Отсюда при глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru сразу находим глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru . Далее, раскрывая скобки в правой части равенства и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях р, найдем остальные коэффициенты.

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru

Таки образом,

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Следовательно,

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

д) Разложим дробь в сумму простейших дробей

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Приведем правую часть равенства к общему знаменателю и приравняем числители обеих дробей

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

При глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru получаем глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru . Далее, раскрывая скобки в правой части равенства и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях р, найдем остальные коэффициенты

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru

Итак,

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Следовательно,

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

е) Представим заданное изображение в виде произведения двух функций и воспользуемся теоремой об умножении изображений.

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Так как глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru и глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru , то

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru

Итак, глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

ж) Используем теорему запаздывания. Так как глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru и глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru , то

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Таким образом,

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru

Примеры.

1. Используя операционное исчисление, найти частное решение дифференциального уравнения глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru , удовлетворяющее начальному условию глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Решение. Пусть глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru , тогда глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru , кроме того глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru . Таким образом, применяя преобразование Лапласа к обеим частям уравнения, приходим к операторному уравнению

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Выразим из полученного уравнения функцию глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru :

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Представим эту рациональную дробь как сумму простейших дробей:

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru

Итак, глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru . Следовательно, решением заданного дифференциального уравнения будет функция, которая является оригиналом для полученного изображения:

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

2. Найти частное решение дифференциального уравнения глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru , удовлетворяющее начальным условиям глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Решение. Пусть глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru . Тогда

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru

и глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Подставляя эти выражения в дифференциальное уравнение, получаем операторное уравнение:

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru ,

или

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru

Методом неопределенных коэффициентов найдем разложение этой дроби в сумму простейших дробей.

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru Таким образом, глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru . Следовательно, частное решение данного дифференциального уравнения будет

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru 3. Решить задачу Коши глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru , где функция глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru задана графически на рисунке.

Решение. Пусть глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru . Тогда глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru . Найдем изображение функции глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru , воспользовавшись теоремой запаздывания. Зададим глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru аналитически, используя единичную функцию Хевисайда:

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Тогда

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Операторное уравнение принимает вид

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Находим из него неизвестное изображение глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru :

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Разложим дробь глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru в сумму простейших дробей.

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

(При разложении можно использовать метод неопределенных коэффициентов.) Следовательно,

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Еще раз используя теорему запаздывания, найдем искомое решение дифференциального уравнения:

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru

или

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru

4.Операционным методом решить систему линейных дифференциальных уравнений

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru

Решение. Пусть глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru , глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru . Тогда глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru , глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru и глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru . Система операторных уравнений принимает вид

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru или глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru

Получили систему линейных алгебраических уравнений относительно изображений глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru и глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru . Для ее решения используем метод Крамера.

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru ,

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru ,

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Итак,

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru

Тогда глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru

Следовательно, глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Таким образом, решением системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющим заданным начальным условиям являются функции глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru , глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

5.Операционным методом решить систему линейных дифференциальных уравнений

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru

Решение. Перейдем к изображениям искомых функций:

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru , глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru ,

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru , глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Кроме того,

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Тогда система операторных уравнений будет иметь вид

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru

или

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru

Решим полученную систему методом Крамера.

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru ,

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru

Выпишем изображения искомых функций:

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru ,

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Используя метод неопределенных коэффициентов, восстановим оригиналы.

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru

Таким образом, решением системы уравнений являются функции глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru , глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Задачи для практических занятий и самостоятельной работы по теме Операционное исчисление»

1.Найдите изображения следующих функций:

1) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru.Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

2) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru.Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

3) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru.

Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

4) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru.Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

5) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru. Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

6) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru.Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

7) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru. Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

8) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru.Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

9) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru.

Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

10) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru.

Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

11) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru.

Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

12) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru.Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

13) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru.Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

14) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru. Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

15) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru.Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

16) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru.Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

2.Найдите оригиналы по заданным изображениям:

1) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru . Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru.

2) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru . Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru.

3) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru.

4) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru . Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru.

5) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru . Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru.

6) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru.

7) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru . Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru.

8) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru . Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru.

9) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru . Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru.

10) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru . Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru.

11) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru . Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru.

12) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru.

13) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru.

14) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru . Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru.

15) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru.

16) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru . Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru.

3.Найдите свертку функций и ее изображение:

1) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

2) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

3) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru ;

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

4) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

5) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru ;

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

4.Найдите оригиналы для следующих изображений, используя теорему свертывания:

1) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru . Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

2) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru . Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

3) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru . Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

4) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru . Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

5.Используя теорему запаздывания, найдите изображения следующих функций:

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru 1)

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru 2)

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru

3)

Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

4) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru

глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

5) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

6) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru

Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

6.Используя теорему запаздывания, найдите оригиналы для следующих изображений:

1) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru . Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru

2) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru . Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru

3) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru

4) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru

7.Решите дифференциальные уравнения операционным методом:

1) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru . Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

2) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru . Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

3) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru . Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

4) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru . Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

5) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

6) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

7) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

8) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

9) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

10) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

11) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

12) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Ответ: глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

13) глава 5. элементы операционного исчисления - student2.ru .

Ответ: