Электронная теория дисперсии света

Глава 24

Взаимодействие электромагнитных волн с веществом

Дисперсия света

Дисперсией светаназывается зависимость показателя преломления n вещества от частоты v (длины волны l) света или зависимость фазовой скорости v световых волн (см. § 154) от его частоты v. Диспер­сия света представляется в виде зависи­мости

n=f(l). (185.1)

Следствием дисперсии является разложе­ние в спектр пучка белого света при про­хождении его через призму. Первые экспе­риментальные наблюдения дисперсии света принадлежат И. Ньютону (1672 г.). Рассмотрим дисперсию света в призме. Пусть монохроматический пучок света па­дает на призму с показателем преломле­ния n (рис. 268) под углом a₁. После двукратного преломления (на левой и пра­вой гранях призмы) луч оказывается от­клоненным от первоначального направления на угол j.

Из рисунка следует, что j=(a₁-b₁)+(a₂-b₂)=a₁+a₂-A. (185.2)

Предположим, что углы А и a₁ малы, тогда углы a₂, b₁ и b₂ будут также малы и вместо синусов этих углов можно вос­пользоваться их значениями. Поэтому a₁/b₁=n, b₂/a₂=1/n, а так как b₁+b₂=А, то

a₂=b₂n=n(А -b₁)=n(А-a₁/n) = nA-a₁,

a₁+a₂=nA. (185.3)

Из выражений (185.3) и (185.2) следу­ет, что

j=A(n-1), (185.4)

т. е. угол отклонения лучей призмой тем больше, чем больше преломляющий угол призмы.

Из выражения (185.4) вытекает, что угол отклонения лучей призмой зависит от величины n-1, а n — функция длины во­лны, поэтому лучи разных длин волн после прохождения призмы окажутся отклонен­ными на разные углы, т. е. пучок белого света за призмой разлагается в спектр, что и наблюдалось И. Ньютоном. Таким образом, с помощью призмы, так же как и с помощью дифракционной решетки,

разлагая свет в спектр, можно определить его спектральный состав.

Рассмотрим различия в дифракцион­ном и призматическом спектрах.

1. Дифракционная решетка разлагает падающий свет непосредственно по дли­нам волн (см. (180.3)), поэтому по изме­ренным углам (по направлениям соответ­ствующих максимумов) можно вычислить длину волны. Разложение света в спектр в призме происходит по значениям показа­теля преломления, поэтому для определе­ния длины волны света надо знать за­висимость n =f(l) (185.1).

2. Составные цвета в дифракционном и призматическом спектрах располагают­ся различно. Из (180.3) следует, что в дифракционной решетке синус угла от­клонения пропорционален длине волны. Следовательно, красные лучи, имеющие большую длину волны, чем фиолетовые, отклоняются дифракционной решеткой сильнее. Призма же разлагает лучи в спектр по значениям показателя пре­ломления, который для всех прозрачных веществ с увеличением длины волны моно­тонно уменьшается (рис. 269). Следова­тельно, красные лучи, имеющие меньший показатель преломления, чем фиолетовые, отклоняются призмой слабее.

Величина

D=dn/dl.

называемая дисперсией вещества,показы­вает, как быстро изменяется показатель преломления с длиной волны. Из рис. 269 следует, что показатель прелом­ления для прозрачных веществ с уменьше­нием длины волны монотонно увеличивается; следовательно, величина dn/dl по модулю также увеличивается с уменьшением l.

Такая дисперсияназывается нормаль­ной.Как будет показано ниже, ход кривой n(l) — кривой дисперсии— вблизи линий и полос поглощения будет иным: n умень­шается с уменьшением l. Такой ход за­висимости n от lназывается аномальной дисперсией.

На явлении нормальной дисперсии ос­новано действие призменных спектрогра­фов.Несмотря на их определенные недо­статки (например, необходимость градуи­ровки, различная дисперсия в разных участках спектра) при определении спек­трального состава света, призменные спектрографы находят широкое примене­ние в спектральном анализе. Это объясня­ется тем, что изготовление хороших призм значительно проще, чем изготовление хо­роших дифракционных решеток. В при­зменных спектрографах также легче полу­чить большую светосилу.

Электронная теория дисперсии света

Из макроскопической электромагнитной теории Максвелла следует, что абсолют­ный показатель преломления среды

n=Öem,

где e — диэлектрическая проницаемость среды, m — магнитная проницаемость. В оптической области спектра для всех веществ m»1 поэтому

n=Öe. (186.1)

Из формулы (186.1) выявляются не­которые противоречия с опытом: величина n, являясь переменной (см. § 185), остает­ся в то же время равной определенной постоянной Öe. Кроме того, значения n, получаемые из этого выражения, не со­гласуются с опытными значениями. Труд­ности объяснения дисперсии света с точки зрения электромагнитной теории Максвел­ла устраняются электронной теорией Лоренца. В теории Лоренца дисперсия света рассматривается как результат взаимо-

действия электромагнитных волн с заря­женными частицами, входящими в состав вещества и совершающими вынужденные колебания в переменном электромагнит­ном поле волны.

Применим электронную теорию дис­персии света для однородного диэлектри­ка, предположив формально, что диспер­сия света является следствием зависимо­сти e от частоты w световых волн. Диэлектрическая проницаемость вещест­ва по определению (см. (88.6) и (88.2)) равна

e=1+c=1+Р/(e₀E),

где c — диэлектрическая восприимчивость среды, e₀ — электрическая постоянная, P — мгновенное значение поляризованности. Следовательно,

n²=1+Р/(e₀E), (186.2)

т. е. зависит от Р. В данном случае основ­ное значение имеет электронная поляриза­ция, т. е. вынужденные колебания элек­тронов под действием электрической со­ставляющей поля волны, так как для ориентационной поляризации молекул частота колебаний в световой волне очень высока (v»10¹⁵ Гц).

В первом приближении можно считать, что вынужденные колебания совершают только внешние, наиболее слабо связан­ные с ядром электроны — оптические электроны.Для простоты рассмотрим ко­лебания только одного оптического элек­трона. Наведенный дипольный момент электрона, совершающего вынужденные колебания, равен р=ех, где е — заряд электрона, х — смещение электрона под действием электрического поля световой волны. Если концентрация атомов в ди­электрике равна по, то мгновенное значе­ние поляризованности

Р=n₀p=n₀ех. (186.3)

Из (186.2) и (186.3) получим

n²=1+n₀ех/(e₀E). (186.4)

Следовательно, задача сводится к опреде­лению смещения х электрона под действи­ем внешнего поля Е. Поле световой волны

будем считать функцией частоты w, т. е. изменяющимся по гармоническому закону: E=E₀coswt.

Уравнение вынужденных колебаний электрона (см. § 147) для простейшего случая (без учета силы сопротивления, обусловливающей поглощение энергии па­дающей волны) запишется в виде

где F₀=eE₀— амплитудное значение си­лы, действующей на электрон со стороны поля волны, w0=Ök/m — собственная частота колебаний электрона, m — масса электрона. Решив уравнение (186.5), най­дем e=n² в зависимости от констант ато­ма (е, т, w₀) и частоты w внешнего поля, т. е. решим задачу дисперсии.

Решение уравнения (186.5) можно за­писать в виде

в чем легко убедиться подстановкой (см. (147.8)). Подставляя (186.6) и (186.7) в (186.4), получим

Если в веществе имеются различные за­ряды e_i, совершающие вынужденные коле­бания с различными собственными часто­тами w_0i, то

где m_i — масса i-ro заряда.

Из выражений (186.8) и (186.9) вы­текает, что показатель преломления n за­висит от частоты w внешнего поля, т. е. по­лученные зависимости действительно под­тверждают явление дисперсии света, хотя и при указанных выше допущениях, кото-

рые в дальнейшем надо устранить. Из выражений (186.8) и (186.9) следует, что в области от w=0 до w=w₀n² больше еди­ницы и возрастает с увеличением со (нор­мальная дисперсия); при w=w₀ n²= ±¥; в области от w=w₀ до w=¥ n² меньше единицы и возрастает от -¥ до 1 (нормальная дисперсия). График за­висимости и от со представлен на рис. 270. Подобное поведение n вблизи собствен­ной частоты w₀ получилось в результате допущения об отсутствии сил сопротив­ления при колебаниях электронов. Если принять в расчет и это обстоятельство, то график функции n (w) вблизи w₀ за­дается штриховой линией АВ. Область АВ — область аномальной дисперсии (n убывает при возрастании w), осталь­ные участки зависимости n от w опи­сывают нормальную дисперсию (n воз­растает с возрастанием со).

Советскому физику Д. С. Рожде­ственскому (1876—1940) принадлежит классическая работа по изучению ано­мальной дисперсии в парах натрия. Он разработал интерференционный метод для очень точного измерения показателя пре­ломления паров и экспериментально по­казал, что формула (186.9) правильно ха­рактеризует зависимость и от со, а также ввел в нее поправку, учитывающую кван­товые свойства света и атомов.