Уравнение состояния идеального газа

2.1. Состояние данной массы идеального газа описывается уравнением Менделеева - Клапейрона:

уравнение состояния идеального газа - student2.ru ,

где P,T - давление и температура газа; V - объем, занимаемый данной массой газа (объем сосуда); уравнение состояния идеального газа - student2.ru - число молей, содержащихся в данной массе газа; R - универсальная газовая постоянная, R = 8,31Дж/(моль·K).

2.2. Исходя из уравнения состояния, можно определить плотность идеального газа:

уравнение состояния идеального газа - student2.ru .

Между температурой t (по шкале Цельсия) и температурой T (по шкале Кельвина) существует следующая связь:

T=(t + 273,15)К уравнение состояния идеального газа - student2.ru (t+273) К.

2.3. Вводя постоянную Больцмана уравнение состояния идеального газа - student2.ru Дж/К уравнение состояния (2.1) примет вид:

р = nkT,

где n – концентрация молекул.

2.4. Закон Дальтона для смеси газа.

Если в сосуде V при температуре T содержится смесь газов, то необходимо считать, что каждый из компонентов этой смеси распространяется по всему объему сосуда. Парциальное давление pi, создаваемое отдельным i-м компонентом смеси, определяется из уравнения Менделеева - Клапейрона:

уравнение состояния идеального газа - student2.ru ,

где mi- масса данного компонента в смеси; уравнение состояния идеального газа - student2.ru i - масса одного моля этого компонента.

Давление смеси газов равно сумме парциальных давлений, входящих в нее газов:

уравнение состояния идеального газа - student2.ru

или

уравнение состояния идеального газа - student2.ru .

В равновесном состоянии плотность смеси ρсм равна сумме плотностей компонентов смеси:

уравнение состояния идеального газа - student2.ru .

Пример 1. Смесь азота и гелия при температуре 270С находится под давлением Р = 1,3·102Па. Масса азота составляет 70% от общей массы смеси. Найти концентрацию молекул каждого из газов.

Дано: Р=1,3·102Па; m1=0,7m; m1 =28г/моль=28·10-3кг/моль; уравнение состояния идеального газа - student2.ru 4г/моль=4·10-3 кг/моль; Т = 27+ 273 = 300К.

Найти: n1 и n2.

Решение. Давление смеси выразим по закону Дальтона:

уравнение состояния идеального газа - student2.ru .

где Р1 – парциальное давление азота в смеси; Р2 – парциальное давление гелия.

Выразим Р1и Р2 из уравнения Менделеева - Клапейрона:

уравнение состояния идеального газа - student2.ru ; уравнение состояния идеального газа - student2.ru .

Найдем соотношение между Р1 и Р2:

уравнение состояния идеального газа - student2.ru т. е. Р2 = 3Р1.

Так как

Рсм = Р1 + Р2 = Р1 + 3Р1 = 4Р1,

Следовательно,

уравнение состояния идеального газа - student2.ru , уравнение состояния идеального газа - student2.ru .

С другой стороны, давление любого газа можно легко выразить через концентрацию его молекул (n) и температуру:

уравнение состояния идеального газа - student2.ru ; уравнение состояния идеального газа - student2.ru .

Отсюда

уравнение состояния идеального газа - student2.ru ; уравнение состояния идеального газа - student2.ru уравнение состояния идеального газа - student2.ru .

Проверим размерность:

уравнение состояния идеального газа - student2.ru уравнение состояния идеального газа - student2.ru .

Произведем вычисления:

уравнение состояния идеального газа - student2.ru ;

n2 = 3n 1 = 2,4 ·1022 м-3.

Ответ: n1 = 0,8·1022 м-3; n2 = 2,4·1022м-3.

МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ

ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ

3.1. Основное уравнение кинетической теории газов для давления:

уравнение состояния идеального газа - student2.ru уравнение состояния идеального газа - student2.ru ,

где m1 - масса одной молекулы; n – концентрация молекул; уравнение состояния идеального газа - student2.ru - средняя квадратичная скорость молекул.

3.2. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы:

уравнение состояния идеального газа - student2.ru уравнение состояния идеального газа - student2.ru .

(Эта формула раскрывает молекулярно – кинетическое толкование температуры: она – мера средней кинетической энергии поступательного движения молекул идеального газа).

3.3 Закон о равномерном распределении энергии по степеням свободы молекул: на каждую степень свободы приходится в среднем одинаковая энергия, равная

уравнение состояния идеального газа - student2.ru .

3.4. Средняя энергия молекулы:

уравнение состояния идеального газа - student2.ru ,

где i - число степеней свободы молекулы данного газа: для одноатомных молекул i = 3 (поступательных), для двухатомных i = 5 (3 поступательных + 2 вращательных), для всех многоатомных i = 6 (3 поступательных + 3 вращательных).

3.5. Внутренняя энергия массы m газа:

уравнение состояния идеального газа - student2.ru .

3.6. Скорости газовых молекул:

· средняя квадратичная

уравнение состояния идеального газа - student2.ru или уравнение состояния идеального газа - student2.ru ,

· средняя арифметическая

уравнение состояния идеального газа - student2.ru или уравнение состояния идеального газа - student2.ru ,

· вероятная

уравнение состояния идеального газа - student2.ru или уравнение состояния идеального газа - student2.ru .

Пример 2. Найти среднюю квадратичную скорость, среднюю кинетическую энергию поступательного движения и среднюю полную кинетическую энергию молекул гелия и азота при температуре t = 27 оС. Определить полную энергию всех молекул каждого из газов. Массы газов одинаковы ( уравнение состояния идеального газа - student2.ru г).

Дано: t = 27оС; T=300 K; =100г = 100ּ10-3кг; μ1 = 4г/моль=4·10-3кг/моль; i1 = 3; μ2 = 28г/моль = 28· 10-3кг/моль; і2 = 5.

Найти: уравнение состояния идеального газа - student2.ru ; уравнение состояния идеального газа - student2.ru ; уравнение состояния идеального газа - student2.ru ; уравнение состояния идеального газа - student2.ru ; уравнение состояния идеального газа - student2.ru ; уравнение состояния идеального газа - student2.ru ; U1; U2 .

Решение.1. Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы при данной температуре T одинакова для любых молекул, т.е.

уравнение состояния идеального газа - student2.ru .

2. Полная кинетическая энергия молекулы газа определяется по формуле:

уравнение состояния идеального газа - student2.ru ,

тогда для молекул двух разных газов:

уравнение состояния идеального газа - student2.ru , уравнение состояния идеального газа - student2.ru .

3. Внутренняя энергия, заключенная в 100 г каждого из газов, определяется по формулам:

уравнение состояния идеального газа - student2.ru , уравнение состояния идеального газа - student2.ru .

4. Средняя квадратичная скорость молекул этих газов зависит от их молярной массы газа или от их масс, т.е.

уравнение состояния идеального газа - student2.ru , уравнение состояния идеального газа - student2.ru .

Проверим размерность:

уравнение состояния идеального газа - student2.ru ;

уравнение состояния идеального газа - student2.ru .

Произведем вычисления:

уравнение состояния идеального газа - student2.ru Дж;

уравнение состояния идеального газа - student2.ru Дж;

уравнение состояния идеального газа - student2.ru Дж;

уравнение состояния идеального газа - student2.ru уравнение состояния идеального газа - student2.ru кДж;

уравнение состояния идеального газа - student2.ru кДж;

уравнение состояния идеального газа - student2.ru м/с;

уравнение состояния идеального газа - student2.ru м/с.

Ответ: уравнение состояния идеального газа - student2.ru Дж; уравнение состояния идеального газа - student2.ru Дж; уравнение состояния идеального газа - student2.ru Дж; уравнение состояния идеального газа - student2.ru ; уравнение состояния идеального газа - student2.ru ; уравнение состояния идеального газа - student2.ru ; уравнение состояния идеального газа - student2.ru .

4. ТЕПЛОЕМКОСТИ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

4.1. Теплоемкость системы (тела):

уравнение состояния идеального газа - student2.ru ,

где ∆Q – количество теплоты, сообщенное системе (телу); ∆Т – изменение температуры системы (тела), вызванное сообщением этого количества теплоты.

4.2. Молярная и удельная теплоемкости:

уравнение состояния идеального газа - student2.ru ; уравнение состояния идеального газа - student2.ru .

4.3. Молярные теплоемкости идеального газа при постоянном объеме С и постоянном давлении Срμ:

уравнение состояния идеального газа - student2.ru , уравнение состояния идеального газа - student2.ru .

4.4. Соотношение между молярной и удельной теплоемкостями:

уравнение состояния идеального газа - student2.ru .

4.5. Удельные теплоемкости идеального газа при постоянном объеме и постоянном давлении:

уравнение состояния идеального газа - student2.ru , уравнение состояния идеального газа - student2.ru .

4.6. Отношение теплоемкостей (показатель адиабаты):

уравнение состояния идеального газа - student2.ru или уравнение состояния идеального газа - student2.ru или уравнение состояния идеального газа - student2.ru .

4.7. Количество теплоты, израсходованное на нагревание данного вещества: уравнение состояния идеального газа - student2.ru .

Пример 3. Вычислить удельные теплоемкости газа, зная, что его молярная масса µ = 4· 10-3кг/моль и отношение теплоемкостей γ = 1,67.

Дано: μ = 4·10-3 кг/моль; γ = 1,67.

Найти: сVуд, уравнение состояния идеального газа - student2.ru .

Решение. Исходя из классической теории теплоемкостей идеального газа, имеем:

уравнение состояния идеального газа - student2.ru уравнение состояния идеального газа - student2.ru , уравнение состояния идеального газа - student2.ru .

Определим i из выражения:

уравнение состояния идеального газа - student2.ru уравнение состояния идеального газа - student2.ru ,

отсюда

уравнение состояния идеального газа - student2.ru , уравнение состояния идеального газа - student2.ru .

Следовательно, газ одноатомный.

Проверим размерность:

уравнение состояния идеального газа - student2.ru .

Производим вычисления:

уравнение состояния идеального газа - student2.ru Дж/(кг×К); уравнение состояния идеального газа - student2.ru Дж/(кг×К).

Наши рекомендации