Статистическая обработка результатов прямых измерений.

Пусть проведена серия измерений величины xс общим числом измерений n. Допустим, что систематическая ошибка отсутствует.

Тогда результат отдельных измерений xi расположатся вблизи неизвестного истинного значения Xтак, что отклонения от X в сторону больших и меньших значений будут равновероятны. При этом, как показывает математическая статистика, наилучшим приближением к истинному значению является среднее арифметическое Статистическая обработка результатов прямых измерений. - student2.ru отдельных измерений:

Статистическая обработка результатов прямых измерений. - student2.ru = Статистическая обработка результатов прямых измерений. - student2.ru

Насколько среднее Статистическая обработка результатов прямых измерений. - student2.ru близко к истинному Xзависит, главным образом, от числа измерений и точности каждого измерения.

Результат измерения принято указывать в виде доверительного интервала:

Статистическая обработка результатов прямых измерений. - student2.ru или Статистическая обработка результатов прямых измерений. - student2.ru

Доверительный интервал – это интервал значений измеряемой величины, в пределах которого с определённой вероятностью истинное значение X. Для доверительного интервала обязательно указывают количественную характеристику его доверительности – доверительную вероятность α. Это вероятность того, что истинное значение измеряемой величины находится внутри доверительного интервала.

Пусть результат измерений, например, концентрации раствора записан в виде: x = (0,25 ± 0,02) моль/л с доверительной вероятностью (надёжностью) результат α = 0,95. Это означает, что при проведении серии измерений объёмом n = 100 раз примерно в α · n = 0,95 · 100 = 95 раз случаев результаты измерения окажутся в пределах интервала от 0,23 моль/л, а в остальных 5 случаев выйдут за пределы доверительного интервала.

Известно несколько способов определения доверительного интервала по данным серии измерений. Ниже описан способ определения доверительного интервала для случая нормального распределения ошибок при небольшом числе параллельных измерений (n ≤ 20).

Пример: Найти доверительный интервал, если проведено три определения концентрации раствора.

Заполним таблицу:

Статистическая обработка результатов прямых измерений. - student2.ruн) Статистическая обработка результатов прямых измерений. - student2.ru среднее значение измеряемой величины Статистическая обработка результатов прямых измерений. - student2.ru ошибка результата единичного определения Статистическая обработка результатов прямых измерений. - student2.ru
0,142   0,1416 0,0004 0,16·10-6
0,140 -0,0016 2,56·10-6
0,143 0,0014 1,96·10-6

Затем по формуле:

Статистическая обработка результатов прямых измерений. - student2.ru

рассчитывают значение выборочной дисперсии.

Полученное значение используют в расчёте среднеквадратичной ошибки (стандартного отклонения) SX:

SX = Статистическая обработка результатов прямых измерений. - student2.ru =1,53·10-3

Доверительный интервал, в котором находится истинное значение измеряемой величины, имеет вид:

Статистическая обработка результатов прямых измерений. - student2.ru ± Статистическая обработка результатов прямых измерений. - student2.ru

tα– коэффициент распределения Стьюдента, который имеет различные значения в зависимости от доверительной вероятности α и числа n (число паралельных измерений). Коэффициент распределения Стьюдента представлен в таблице 3.

Таблица 3

Коэффициент распределения Стьюдента

α n
0,50 0,95 1,00 12,7 0,82 4,3 0,77 3,2 0,74 2,8 0,73 2,6 0,71 2,3 0,70 2,1

В записи результата измерений кроме среднего арифметического измеряемой величины и доверительного интервала с указанием доверительной вероятности необходимо также приводить число параллельных измерений n. Среднее значение Статистическая обработка результатов прямых измерений. - student2.ru округляют так, чтобы его последняя цифра соответствовала по разряду значащей цифре ошибки, например:

Правильно:

Сн(H2SO4) = (0,105 ± 0,003) моль/л; n = 3; α = 0,95.

Неправильно:

Сн(H2SO4) = (0,1053 ± 0,0032) моль/л; n = 3; α = 0,95.

Сн(H2SO4) = (0,1053 ± 0,003) моль/л; n = 3; α = 0,95.

Находим:

Статистическая обработка результатов прямых измерений. - student2.ru

Доверительный интервал: α=0,1416±0,0047

Лабораторная работа № 4

Наши рекомендации