Технологии отыскания эффективных решений с учетом относительной важности критериев

Суждения об относительной важности частных критериев ЛПР может выразить как в качественной, так и в количественной шкале. Если частные критерии измеряются в различных, а тем более разных по классам шкалах (количественных и качественных), их оценки не могут быть пересчитаны в некоторую объективную шкалу оценивания (например, в универсальный денежный эквивалент), то трудно представить, как соизмерить их относительную важность. А сделать это иногда требуется как можно быстрее и как можно адек ватнее, чтобы можно было сразу представить себе ценность какой-то конкретной альтернативы. В подобных ситуациях, когда информацию об относительной важности требуется получить и использовать как можно быстрее и при этом обеспечить высокую адекватность и надежность суждений, более предпочтительным представляется учет относительной важности частных критериев в качественной шкале (так называемаякачественная информация об относительном важности). К качественной информации об относительной важности частных критериев будем относить следующие вербальные суждения[6]:

• "критерий с номером i важнее критерия с номером j"; информацию такого типа будем формально обозначать как inf = i pre j, от английского "preference";

• "критерии с номерами s и t равноценны по важности"; краткое обозначение inf = s ind t, от английского слова "indifference".

Напрямую использовать информацию inf = рте или inf = ind для дальнейшего сокращения размера множества eff(w, iop) эффективных альтернатив и поиска наилучшего решения среди них можно только для некоторых частных случаев. Во-первых, это случай, когда шкалы всех частных критериев, относительно которых получена информация inf = pre или inf = ind, однородны и имеют небольшое число дискретных градаций. Чаще всего для этих целей используют 3-7 балльные шкалы. Это обусловлено тем, что дискретные однородные шкалы имеют важную особенность. Если в какой-то исходной векторной оценке, имеющей значения в однородной дискретной шкале, например, w(а) = (2, 4, 7, З, 5) значения частных критериев поменять местами, скажем, так: (7, 2, 4, 3, 5), то полученная оценка, назовем ее w(b), также будет иметь осмысленное значение. То есть ЛПР будет воспринимать оценку w(b) = (7, 2, 4, 3, 5) как вполне возможную и уместную.

Второй частной ситуацией, когда возможно прямое использование качественной информации о равноценности или превосходстве в важности одних частных критериев над другими, является такая, в рамках которой фигурируют сообщения о равноценности всех критериев между собой, о6 абсолютно строгом (лексикографическом) упорядочении критериев по важности, а также о симметрически-лексикографическом упорядочении частных критериев по важности. Обозначениями для этих особых случаев будут inf = sym, inf = lex и inf = sl соответственно. Заметим, что информация inf = lех о лексикографическом упорядочении настолько сильна, что позволяет всегда получить наилучшее решение даже непосредственно из исходного множества. Технология использования лексикографической информации для поиска решения задачи выбора даже не требует преобразования шкал критериев к однородной. Однако за подобные технологические "удобства" приходится подчас жестоко расплачиваться потерей адекватности результата. Поэтому лексикографической моделью предпочтений следует пользоваться крайне осторожно.

Самая сложная в получении, но и самая действенная —это информация о6 относительной важности критериев в количественной форме. Это информация о величинах замещений значений критериев между собой, о значениях коэффициентов важности частных критериев, количественная информация о допустимой степени взаимной компенсации значений тех или иных критериев, а также о виде функции агрегирования частных критериев в обобщенные критерии. В некоторых случаях такая информация поступает от ЛПР сразу. Но это, скорее, исключение из правил. Значительно чаще количественную информацию приходится получать по частям. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся способы реализации технологий отыскания эффективных решений с учетом относительной важности критериев.

Технология преобразования натуральных шкал критериев в однородную дискретную шкалу. По всему множеству альтернатив а Î А определяют множество {w^н_i(а)} возможных значений оценок каждого частного критерия w^н, в натуральной шкале. Затем ЛПР (или эксперт) решает вопрос о том, сколькими классами толерантных, т. е. похожих, оценок эта множество можно концептуально описать. Например, ЛПР решило, что можно множество всех возможных значений оценок критерия w^н_i — "устойчивость фирмы при совершении финансовых операций" концептуально характеризовать пятно классами значений с градациями: "Удовлетворительный", "Вполне удовлетворительный", "Хороший", "Весьма хороший", "Отличным". Затем классы нумеруют в порядке возрастания предпочтительности введенных градаций. В нашем примере концептуальная оценка была произведена таким образом:

1. "Удовлетворительный";

2. "Вполне удовлетворительный";

3. "Хороший";

4. "Весьма хороший";

5. "Отличный".

После этого множество значений w^н оценок каждого частного критерия в натуральной шкале графически отображают в виде интервала [w^н_i^(min), w^н_i^(max)]. Этот интервал представляют ЛПР (или эксперту). ЛПР ставит на отрезке [w^н_i^(min), w^н_i^(max)] точки, которые приблизительно отображают его представления о границах толерантных значений критерия. Пусть для примера ЛПР рассматривает критерий "устойчивость фирмы при совершенствовании финансовых операций". Этот критерий имеет множество возможных значений в натуральной шкале, измеряющей вероятность "непотопляемости" фирмы конкурентами в ходе совершения финансовых операций. Пусть оказалось, что все значения этого критерия лежат в диапазоне от 0,3 до 0,87. На рис. 2.8, а диапазон оценок критерия "устойчивость ..." представлен в виде отрезка прямой, границы которого помечены значениями 0,3 и 0,87.

Рис. 2.8. Схема преобразований натуральных шкал критериев в дискретную однородную шкалу

На рис. 2.8, а также обозначены точки, с помощью которых ЛПР указало приблизительные границы введенных толерантных градаций. Так, множество значений критерия " устойчивость..." на уровне "Удовлетворительный" отделено от множества значений на уровне "Вполне удовлетворительный" точкой со значением 0,45. Аналогично точки со значениями 0,70, 0,80 и 0,85 разделяют множества значений "Хороший", "Весьма хороший" и "Отличный" соответственно. Поскольку градации пронумерованы числами от 1 до 5 в порядке возрастания, предпочтений, любую оценку критерия в натуральной шкале вероятности устойчивости предприятия или фирмы в ходе совершения финансовой операции легко превратить в оценку, имеющую значения в шкале {1, 2, 3, 4, 5}. Например, оценка вероятности 0,4 трансформируется в значение 3 для дискретного однородного критерия, а значение вероятности 0,86 — в значение 5.

Если какой-то критерий имеет оценки в натуральной шкале, отрицательно ориентированные по предпочтению, схема преобразований остается прежней, только более предпочтительные значения дискретного однородного критерия будут соответствовать меньшим значениям критерия в натуральной шкале. Для примера на рис. 2.8, б показано, как на диапазоне [3] значений критерия ги2" "Продолжительность непрерывной работы персонала при составлении ГОДОВОГО бухгалтерского баланса" в часах. Этот критерий желательно минимизировать. ЛПР разместило на числовой оси разделяющие точки 20, 24, 32, 40 так, как, по его мнению, располагаются границы представленных пяти градаций предпочтительности. Однако теперь более предпочтительное значение в однородной шкале, равное 5, получат оценки продолжительности непрерывной работы персонала, лежащие в диапазоне от 16 до 20 ч.

Рассмотренная схема преобразований имеет ряд преимуществ. Во-первых, ЛПР работает в привычном для него режиме, так как от него требуется делать лишь качественные суждения (типа "Удовлетворительно",..., "Отлично") о значениях оценок критериев, исходя из понятного для него их смысла и ориентируясь на ясное представление о цели предстоящей операции. Во-вторых, такая схема не только превращает значения натуральных критериев в однородную шкалу, но и делает все новые однородные критерии положительно ориентированными по предпочтению. В-третьих, сравнительно небольшое число градаций одно родного критерия существенно повышает действенность аксиомы Парето, так как существенно уменьшается число несравнений по правилу (2.8). В то же время использовать описанную технологию преобразования шкал следует достаточно осторожно. Это обусловлено тем, что на адекватность получаемых результатов и рекомендаций существенное влияние оказывают число градаций выбранной ранговой шкалы и адекватность сортировки натуральных значений шкалы на толерантные градации.

Технология использования информации inf = ind. С целью обеспечения краткости изложения материала по этой и последующим технологиям будем векторные оценки критериев в однородных шкалах для различных альтернатив обозначать не w(а), w(b), w(с) и т. п., а х, у, z и т. п. Пусть, например, inf = s ind t; это означает, что ЛПР считает, что частный критерий с номером s и частный критерий с номером t имеют для него одинаковую относительную важность. Технология отыскания эффективных альтернатив с учетом такой поступившей информации реализуется по следующему алгоритму:

1) преобразовать все натуральные шкалы критериев в однородную дискретную шкалу с одинаковым числом градаций,

2) выбрать какую-то альтернативу из исходного множества, например, х;

3) включить ее во множество недоминируемых;

4) взять очередную альтернативу из исходного множества; назовем ее "претендент" и обозначим через у;

5) проверить, не доминируется ли "претендент" у альтернативой х из множества недоминируемых. Для этого построить специальное множество Y^ind, состоящее из исходной оценки у и всех ей равноценных по информации ind. Равноценные по информации ind оценки получают из исходной ней оценки у путем перестановки в ней местами оценок с номерами s и t. Оценку х сравнивают по Парето со всеми элементами из множестваY^ind, т. е. действуют по правилу:

Иначе говоря, х не менее предпочтителен, чем у по информации о равноценности частных критериев, если найдется хотя 6ы одна оценка г из множества Y^ind (формально записывается как $zÎY^ind), которая менее предпочтительна по Парето, чем х. Если при сравнении по Парето, по правилу (2.8), хотя бы одно из нестрогих неравенств будет выполняться как строгое, то х доминирует над z, а следовательно, и над исходной векторной оценкой у;

6) если "претендент" у не доминируется, то проверить, не доминирует ли у над х (для этого надо будет по аналогии с множеством Y^ind построить множество X^ind ) ; если "претендент" у доминирует над х, исключить альтернативу х из числа недоминируемых, а "претендента" у включить в число недоминируемых, иначе — "претендента" у также включить в число недоминируемых;

7) если среди альтернатив исходного множества осталась хотя бы одна, еще не проверенная на эффективность, назначить ее "претендентом", иначе — перейти к шагу 4;

8) последовательно проверять, не доминируется ли "претендент"какой-либо из альтернатив, уже включенных во множество недоминируемых; при первом же обнаружении факта доминирования над "претендентом" его из дальнейшего анализа исключить и перейти к шагу 7;

9) последовательно проверять, не доминирует ли "претендент" над какой-то из альтернатив, ранее уже включенных во множество недоминируемых; если окажется, что "претендент" доминирует над какой-то из альтернатив, уже включенных во множество недоминируемых, эту альтернативу из множества недоминируемых исключить;

10) перейти к шагу 7;

11) проверить, все ли сообщения типа inf = s ind t использованы; если нет — обратиться к очередному сообщению inf = s ind t и перейти к шагу 5;

12) "Stop".

Технология использования информации inf = рте. Эта технология аналогична технологии для информации inf = ind за одним исключением: на шагах алгоритма используются не тмножества Y^ind и X^ind оценок, эквивалентных по предпочтительности соответствующим исходным оценкам у и х, а специальные множества "улучшенных по сравнению с исходными оценками" — Y^pre и Х^рге соответственно. Чтобы из исходной оценки, например у, получить множество Y^pre улучшенных по информации inf = s pre t оценок, необходимо:

1) преобразовать все натуральные шкалы критериев в однородную

дискретную шкалу с одинаковым числом градаций;

2) проверить, является ли компонента y_s исходной векторной оценки у больше по величине компоненты y_t;

3) если компонента y_s > y_t, то получить оценку z из исходной оценки у путем перестановки в ней местами компонентов y_s и у_t;

4) включить оценку z во множество У^pre;

5) проверить, есть ли еще сообщения типа s pre t для других номеров s и г;

6) если другие сообщения типа s pre t есть, перейти к шагу 1;

7) "Stop".

Технология использования информации inf = ind и inf = pre. Вначале для "претендента" строят множества Y^ind и У^pre, как это описано в предыдущих двух алгоритмах. Затем эти множества корректируют — из оценок множества Y^ind, используя информацию типа inf = s pre t, получают дополнительные оценки » для включения их во множество У^ind , а из оценок множества Y^pre, используя информацию типа inf = s ind t, получают дополнительные оценки z для включения их во множество Y^ind. Расширенные таким образом множества Y^ind и Y^pre используются затем для поиска недоминируемых альтернатив, как это уже было описано.

Технология использования информации inf = sym. Наличие такой информации свидетельствует о равноценности всех частных критериев между собой, т. е. для всех s и t верны сообщения типа inf = s ind t. Это позволяет воспользоваться более простой технологией для отыскания эффективных альтернатив, чем та, которая была описана для отдельного сообщения (или нескольких сообщений) вида inf = s ind t.

Выполняется такая последовательность шагов:

1) преобразовать все натуральные шкалы критериев в однородную дискретную шкалу с одинаковым числом градаций;

2) сравниваемые оценки х и у преобразовать в оценки z(x) и z(y) соответственно, для чего в исходных оценках все компоненты упорядочить по возрастанию значений;

3) сравнить по Парето оценки z(x) и z(y);

4) если z(х) >» ^(iop)z(у) Û х> »^(sym)у, если z(у) >» ^(iop) z(х) Û у > » ^(sym) х, иначе - х и у несравнимы и, следовательно, обе эффективны;

5) если остались еще оценки, которые не проверялись на эффективность, перейти к шагу 3;

6) Stop.

Например:

Руководитель предприятия не уверен, что аварии будут, а если и будут – на какую сумму. Но из статистики известно, что каждый десятый водитель попадает раз в год в аварию. Также известно, что средняя сумма ущерба от одной аварии – 2000 долларов. Имея парк из 100 машин, руководитель может принять решение, что в аварию попадут 10 машин и общий ущерб составит около 20000 долларов и, следовательно, примет решение о страховании на такую сумму. На практике решения, принимаемые в условиях полной неопределенности, практически не встречаются. Это происходит потому, что в любом случае можно либо собрать некоторую дополнительную релевантную информацию и еще раз проанализировать ситуацию, либо принять решение на основе суждений, интуиции, анализа накопленного опыта руководителя, что также уменьшает неопределенность.