Метод и алгоритм расчета установившегося режима электрической сети

Метод Ньютона является одним из наиболее быстро сходящихся методов решения систем нелинейных алгебраических уравнений. Эффективность его применения для решения узловых уравнений электрических сетей общепризнана [3], поэтому и в разработанной программе он положен в основу алгоритма. В основе алгоритма программы – составление и решение системы узловых уравнений сети в форме баланса мощностей

, (i=1, 2, ... , N), (3.1)

где NI- число ветвей, примыкающих к узлу i, ij перетоки мощности по ветвям; N= n-1, где n - число узлов сети. При заданных мощностях HI, ГIво всех узлах и вектора напряжения БУ балансирующего узла система (3.1) содержит N уравнений относительно N неизвестных напряжений в узлах сети.

Для реализации вычислений в вещественных числах от уравнений (3.1) целесообразно перейти к эквивалентной системе 2N уравнений баланса активных и реактивных мощностей в узлах сети

(3.2)

Традиционной схемой решения системы нелинейных алгебраических уравнений n-го порядка

fI(x1,x2,...,xn)=0 , i=1,2,...,n (3.3 )

методом Ньютона предусматривается выполнение следующих шагов.

1. Задание вектора начальных приближений [ ] к решению системы уравнений (3.3) и точности Eps, с которой нужно получить решение.

2. Определение "невязок" уравнений при подстановке начального [ ] или последующих [ ] приближений в уравнения (3.3)

(3.4)

3. Формирование линеаризованной системы уравнений в окрестности очередного приближения [ ]. Раскладывая каждое из уравнений (3.3) в окрестности вектора в ряд Тейлора и ограничиваясь членами нулевого и первого порядков разложения

,

получим систему линейных уравнений

(3.5)

где [df/dx] - матрица Якоби, - вектор невязок итерации k; -вектор поправок к решению на К-й итерации.

4. Решение линеаризованной системы уравнений (3.5) относительно вектора и определение нового приближения

= + . (3.6)

5. Проверка условий окончания итерационного процесса и контроль сходимости. Признаком окончания итерационного процесса может служить малость всех поправок или невязок на шаге расчета. Если все или меньше заданной величины Eps, расчет заканчивается. В противном случае расчет повторяется, начиная с п.2.

В узловых уравнениях (3.2) "невязками" являются небалансы активной и реактивной мощности , в узлах сети, а неизвестными величинами, которые должны быть определены в результате решения этих уравнений - модули и углы векторов напряжений U. Линеаризованная система уравнений вида (3.5), соответствующая уравнениям (3.2), содержит частные производные от небалансов активной и реактивной мощности в узлах сети по модулям и углам узловых напряжений

; ; ; (i, j = 1,2,...,n) ,

поправки , и может быть записана в виде :

(3.7)

В системе (3.7) уравнения баланса активных и реактивных мощностей записаны попарно для всех n узлов сети.

Диагональные элементы матрицы Якоби получаются как частные производные от небалансов , в узле i по модулю и углу вектора напряжения в этом узле UI:

(3.8)

а недиагональные элементы матрицы Якоби - это частные производные от небалансов , в узле i по модулю и углу вектора напряжения UIв узле j, примыкающем к узлу i:

(3.9)

При записи системы линеаризованных уравнений на шаге расчета в форме (3.7) все узлы (регулируемые {NPU} и нерегулируемые {NPQ}) и связи между ними представлены блоками второго порядка 2х2, алгоритм решения узловых уравнений с матрицей, состоящей из унифицированных блоков, упрощается за счет того, что отпадает необходимость учитывать различия между регулируемыми и нерегулируемыми узлами.