Двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления

← 3.1. Позиционные системы счисления

3.3. Перевод чисел из десятичной системы в... →

В настоящее время общепринятой стала арабская десятичная система счисления, вероятно, потому, что с древних времен считали по пальцам, а пальцев у людей по десять на руках и ногах. Так было не всегда, в Китае, например, долгое время пользовались пятеричной системой счисления.

Однако для использования в ЭВМ десятичная система слишком сложна, так как для ее применения необходимо подобрать технические способы изображения десяти различных цифр. С точки зрения технической реализации компьютера, гораздо проще работать всего с двумя цифрами двоичной системы: 0 и1.

Преимущества двоичной системы:

• для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.);
• представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;
• возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;
• двоичная арифметика намного проще десятичной.

Недостаток двоичной системы — быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел. Кроме двоичной широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2 (табл.3.1), а именно:

• восьмеричная (используются цифры 0, 1, ..., 7);
• шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0, 1, ..., 9, а для следующих чисел — от десяти до пятнадцати — в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F).

Таблица 3.1. Соответствие первых 16 чисел в различных системах счисления

Система счисления
10-я	2-я	8-я	16-я
			A
			B
			C
			D
			E
			F

Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы.

Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 – соответственно, третья и четвертая степени числа 2).

Чтобы перевести восьмеричное или шестнадцатеричное число в двоичную систему достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр) из табл.3.1:

Пример 3.1.

Для перевода числа из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную необходимо выполнить предыдущую операцию в обратном порядке: разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетрады (для шестнадцатеричной) и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.

Перевод чисел из десятичной системы в другую позиционную систему счисления и обратно

← 3.2. Двоичная, восьмеричная и...

3.4. Арифметические операции в позиционных... →

Навигация по разделу:

3.3.1. Перевод целого десятичного числа в другую позиционную систему счисления

3.3.2. Перевод правильной десятичной дроби в другую позиционную систему счисления

3.3.3. Перевод числа в десятичную систему счисления

Перевод целого десятичного числа в другую позиционную систему счисления

↑ Наверх

Правило перевода целого десятичного числа N в систему счисления с основанием q.

Необходимо N разделить с остатком («нацело») на q , записанное в той же десятичной системе. Затем неполное частное, полученное от такого деления, нужно снова разделить с остатком на q и т.д., пока последнее полученное неполное частное не станет равно нулю. Представлением числа N в новой системе счисления будет последовательность остатков деления, изображенных одной q-ичной цифрой и записанных в порядке, обратном порядку их получения [2].

Пример 3.2. Переведем число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

Ответ: 75₁₀ = 1001011₂ = 113₈ = 4B₁₆.