Элементы теории корреляции

График восстановленной функциональной зависимости y(x) по результатам измерений Элементы теории корреляции - student2.ru Элементы теории корреляции - student2.ru называется кривой регрессии. Для проверки согласия построенной кривой регрессии с результатами эксперимента обычно вводят следующие числовые характеристики:

- коэффициент корреляции (линейная зависимость);

- корреляционное отношение;

- коэффициент детерминированности.

При этом результаты обычно группируют и представляют в форме корреляционной таблицы. В каждой клетке этой таблицы приводятся численности Элементы теории корреляции - student2.ru тех пар (x, y) , компоненты которых попадают в соответствующие интервалы группировки по каждой переменной. Предполагая длины интервалов группировки (по каждой переменной) равными между собой, выбирают центры Элементы теории корреляции - student2.ru (соответственно Элементы теории корреляции - student2.ru ) этих интервалов и числа Элементы теории корреляции - student2.ru в качестве основы для расчетов.

Коэффициент корреляции является мерой линейной связи между зависимыми случайными величинами. Он показывает, насколько хорошо в среднем может быть представлена одна из величин в виде линейной функции от другой.

Коэффициент корреляции вычисляется по формуле:

Элементы теории корреляции - student2.ru , (8)

где Элементы теории корреляции - student2.ru Элементы теории корреляции - student2.ru и Элементы теории корреляции - student2.ru – среднее арифметическое значение соответственно по x и y.

Коэффициент корреляции между случайными величинами по абсолютной величине не превосходит 1. Чем ближе Элементы теории корреляции - student2.ru к 1, тем теснее линейная связь между x и y.

В случае нелинейной корреляционной связи условные средние значения располагаются около кривой линии. В этом случае в качестве характеристики силы связи рекомендуется использовать корреляционное отношение, интерпретация которого не зависит от вида исследуемой зависимости.

Корреляционное отношение вычисляется по формуле:

Элементы теории корреляции - student2.ru , (9)

где Элементы теории корреляции - student2.ru Элементы теории корреляции - student2.ru а числитель характеризует рассеяние условных средних Элементы теории корреляции - student2.ru около безусловного среднего Элементы теории корреляции - student2.ru .

Всегда Элементы теории корреляции - student2.ru . Равенство Элементы теории корреляции - student2.ru соответствует некоррелированным случайным величинам; равенство Элементы теории корреляции - student2.ru выполняется тогда и только тогда, когда имеется точная функциональная связь между y и x. В случае линейной зависимости y от x корреляционное отношение совпадает с квадратом коэффициента корреляции. Величина Элементы теории корреляции - student2.ru используется в качестве индикатора отклонения регрессии от линейной зависимости.

Корреляционное отношение является мерой корреляционной связи y с x в какой угодно форме, но не может дать представления о степени приближенности эмпирических данных к специальной форме.

Чтобы выяснить насколько точно построенная кривая отражает эмпирические данные, вводится еще одна характеристика – коэффициент детерминированности.

Для его описания рассмотрим следующие величины. Элементы теории корреляции - student2.ru - Полная сумма квадратов, где Элементы теории корреляции - student2.ru среднее значение Элементы теории корреляции - student2.ru . Можно доказать следующее равенство : Элементы теории корреляции - student2.ru

Первое слагаемое равно Элементы теории корреляции - student2.ru и называется остаточной суммой квадратов. Оно характеризует отклонение экспериментальных от теоретически полученных данных.

Второе слагаемое равно Элементы теории корреляции - student2.ru и называется регрессионной суммой квадратов. Оно характеризует разброс данных.

Очевидно, что справедливо следующее равенство Элементы теории корреляции - student2.ru

Коэффициент детерминированности определяется по формуле:

Элементы теории корреляции - student2.ru (10)

Чем меньше остаточная сумма квадратов по сравнению с общей суммой квадратов, тем больше значение коэффициента детерминированности Элементы теории корреляции - student2.ru , который показывает, насколько хорошо уравнение, полученное с помощью регрессионного анализа, объясняет взаимосвязи между переменными. Если он равен 1, то имеет место полная корреляция с моделью, т.е. нет различия между фактическим и оценочным значениями y. В противоположном случае, если коэффициент детерминированности равен 0, то уравнение регрессии неудачно для предсказания значений y.

Коэффициент детерминированности всегда не превосходит корреляционное отношение. В случае, когда выполняется равенство Элементы теории корреляции - student2.ru то можно считать, что построенная эмпирическая формула наиболее точно отражает эмпирические данные.

Наши рекомендации