Перевод дробной части числа

Системы счисления

Понятие системы счисления

Системы счисления (c/c) делятся на позиционные и непозиционные. В непозиционных системах вес цифры (т.е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен десяти.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы. Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения 700 + 50 + 7 + 0,7 = 7 ∙ 10² + 5 ∙ 10¹ + 7 ∙10⁰ + 7 ∙ 10^–1 = 757,7.

Основание позиционной c/c – это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе. За основание системы можно принять любое натуральное число. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения a_n–1∙ q^{n –1}+ a_n–2∙ q^{n –2}+ ... + a₁∙ q¹ + a₀∙ q⁰ + a_–1∙ q^–1 + ... + a_–m ∙ q^–m, где n и m – число целых и дробных разрядов, соответственно.

Основание с/с соответствует количеству цифр (знаков), используемых для записи чисел в этой с/с. Например, основанием десятичной с/с есть число 10, и только десять цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) используются при записи чисел в этой с/с. В двоичной с/с используются две цифры – 0 и 1, в шестнадцатеричной – 16, причем для чисел 10, 11, 12, 13, 14, 15 в этой с/с введены дополнительные цифры (знаки) – A, B, C, D, E, F, соответственно, т.к. традиционно используемых цифр недостаточно.

Основание 10 не слишком удобно (в цепях электрических схем необходимо для этого иметь 10 различных сигналов). С технической точки зрения, чем меньше сигналов в схеме, тем лучше. Наименьшее основание, которое может быть у позиционной с/с, – это 2. Поэтому двоичная с/с широко используется в современной вычислительной технике, в устройствах автоматики и связи.

Кроме десятичной с/с для «общения с компьютером» широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная.

Полезно запомнить запись в этих системах счисления первых двух десятков целых чисел (табл. 1.1).

Таблица 1.1

Представление чисел в с/с

Десятичная с/c	Двоичная с/c	Восьмеричая с/c	Шестнадцатиричная с/c
			А
			B
			C
			D
			E
			F

Как видно из таблицы, недостатком 2 с/с является быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел. В восьмеричной и шестнадцатеричной с/c требуется соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 – соответственно, третья и четвертая степени числа 2).

Перевод чисел

Перевод из 8-й и 16-й в 2-ю с/c

Для перевода достаточно каждую цифру числа заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр).

Пример

502_{(8 c/c)} → ? _{(2 c/c)}

502_{(8 c/c)} = 101000010_{(2 c/c)}

Перевод из 2-й с/c в 8-ю и 16-ю

Для перевода нужно разбить число влево и вправо от последнего разряда (или запятой) на триады или тетрады и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной или шестнадцатеричной цифрой. В случае необходимости неполные триады дополняются нулями.

Пример

1111110_{(2 c/c)} → ? _{(8 c/c)}

1111110_{(2 c/c)} = 001111110_{(2 c/c)} = 176_{(8 c/c)}

1111010101,1100_{(2 c/c)} → ? _{(16 c/c)}

001111010101, 1100_{(2 c/c)} = 3D5,C_{(16 c/c)}.

Перевод из произвольной с/с в 10-ю и наоборот

Пусть имеется с/с с основанием k и некоторое число a₁ ...a_n в этой с/с, где a₁,...,a_n – цифры этого числа. Данное число можно представить в виде: a₁ ∙ k^{n –1}+a₂ ∙ k^{n – 2}+...+a_n ∙ k⁰.

Пример

110011_{(2 c/c)} → ? _(10c/c)

110011_{(2 c/c)} = 1 ∙ 10¹⁰¹+1 ∙ 10¹⁰⁰+0 ∙ 10¹¹+0 ∙ 10¹⁰+1 ∙ 10¹+1 ∙ 10⁰_{(2 c/c)}=

=1∙ 2⁵+1∙ 2⁴+0∙ 2³+0∙ 2²+1∙ 2¹+1∙ 2⁰ _{(10 c/c)}= 32 + 16 + 2 + 1 = 51_{(10 c/c)},

1216,04_{(8 c/c)} → ? _{(10 c/c)}

1216,04_{(8 c/c)} = 1 ∙ 8³ + 2 ∙ 8² + 1 ∙ 8¹ + 6 ∙ 8⁰+4 ∙ 8^–2= 512 + 128 + 8 + 6 + 0,0625 = 654,0625_{(10 c/c)}.

Перевод из 10 с/c в произвольную

Данный алгоритм является обратным к алгоритму, рассмотренному выше. Исходное число делится на основание с/с, в которую требуется перевести число. Первый шаг: разделить исходное число на r (основание новой с/c), зафиксировать остаток от деления (число от 0 до r – 1) и частное. Второй шаг: если частное больше r, то снова разделить его на r, продолжая фиксировать остаток от деления. Процесс деления частных продолжать до тех пор, пока частное не станет меньше r. Третий шаг: все полученные в процессе деления остатки от деления и последнее частное будут образовывать цифры исходного числа в с/с с основанием r. Выписав все найденные цифры в обратном порядке (начиная с последнего частного), получим искомое представление числа в новой с/c.

Например, требуется 25_{(10 c/c)} перевести в 2-ю с/c. Согласно алгоритму, получаем 11001_{(2 c/c)}. Проверим результат:

25_{(10 c/c)} = 11001_{(2 c/c)} = 1 ∙ 2⁴ + 1 ∙ 2³ + 0 ∙ 2² + 0 ∙ 2¹ + 1 ∙ 2⁰ = 25_{(10 c/c)}.

Перевод дробной части числа

Чтобы правильную дробь перевести из с/c с основанием r в c/c с основанием q необходимо последовательно умножать дробную часть (сначала самого числа, а потом получающихся произведений) на новое основание с/c q до тех пор, пока: либо дробная часть получаемого произведения не станет равна нулю; либо не будет достигнута нужная точность (заданное число цифр после запятой). В новой с/c число запишется в виде последовательности целых частей получаемых произведений, начиная с первого. Важнопомнить, что все действия производятся в исходной с/c.

Пример

0,3125_{(10 c/c)} → ? _{(8 c/c)}

0,3125_{(10 c/c)} = 0,24_{(8 c/c)}

При переводе смешанной дроби из одной с/с в другую, отдельно по своим правилам, переводится целая часть и отдельно дробная, а результаты затем приписываются друг к другу через точку.