Динамика вращательного движения

Предисловие

Обращаю внимание студентов на то, что ЭТОТ материал в школе не рассматривался АБСОЛЮТНО (кроме понятия момента силы).

План

1. Закон динамики вращательного движения

a. Закон динамики вращательного движения

b. Момент силы

c. Момент пары сил

d. Момент инерции

2. Моменты инерции некоторых тел:

a. Кольцо (тонкостенный цилиндр)

b. Толстостенный цилиндр

c. Сплошной цилиндр

d. Шар

e. Тонкий стержень

3. Теорема Штейнера

4. Момент импульса тела. Изменение момента импульса тела. Импульс момента силы. Закон сохранения момента импульса

5. Работа при вращательном движении

6. Кинетическая энергия вращения

7. Динамика вращательного движения - student2.ru Сопоставление величин и законов для поступательного и вращательного движения

1a. Динамика вращательного движения - student2.ru Рассмотрим твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси ОО (рис.3.1). Разобьем это твердое тело на отдельные элементарные массы Δmi. Равнодействующую всех сил, приложенных к Δmi, обозначим через Динамика вращательного движения - student2.ru . Достаточно рассмотреть случай, когда сила Динамика вращательного движения - student2.ru лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения: составляющие сил, параллельные оси, не могут влиять на вращение тела, так как ось закреплена. Тогда уравнение второго закона Ньютона для касательных составляющих силы и ускорения запишется в виде:

Динамика вращательного движения - student2.ru . (3.1)

Нормальная составляющая силы Динамика вращательного движения - student2.ru обеспечивает центростремительное ускорение и на угловое ускорение не влияет. Из (1.27): Динамика вращательного движения - student2.ru ,где Динамика вращательного движения - student2.ru – радиус вращения i-той точки. Тогда

Динамика вращательного движения - student2.ru . (3.2)

Умножим обе части (3.2) на Динамика вращательного движения - student2.ru :

Динамика вращательного движения - student2.ru . (3.3)

Заметим, что

Динамика вращательного движения - student2.ru , (3.4)

где α – угол между вектором силы Динамика вращательного движения - student2.ru и радиус-вектором точки Динамика вращательного движения - student2.ru (рис.3.1), Динамика вращательного движения - student2.ru – перпендикуляр, опущенный на линию действия силы из центра вращения (плечо силы). Динамика вращательного движения - student2.ru Введём понятие момента силы Динамика вращательного движения - student2.ru .

1b. Моментом силы относительно оси называется вектор, направленный по оси вращения и связанный с направлением силы правилом буравчика, модуль которого равен произведению силы на ее плечо: Динамика вращательного движения - student2.ru . Плечо силы l относительно оси вращения – это кратчайшее расстояние от линии действия силы до оси вращения. Размерность момента силы:

Динамика вращательного движения - student2.ru .

В векторной форме момент силы относительно точки:

Динамика вращательного движения - student2.ru . (3.5)

Вектор момента силы перпендикулярен и силе, и радиус-вектору точки её приложения:

Динамика вращательного движения - student2.ru ; Динамика вращательного движения - student2.ru .

Динамика вращательного движения - student2.ru Если вектор силы перпендикулярен оси, то вектор момента силы направлен по оси по правилу правого винта, а величина момента Динамика вращательного движения - student2.ru силы относительно этой оси (проекция на ось) определяется формулой (3.4):

Динамика вращательного движения - student2.ru . (3.6)

Момент силы зависит и от величины силы, и от плеча силы. Если сила параллельна оси, то Динамика вращательного движения - student2.ru .

1c. Пара сил – это две равные по величине и противоположные по направлению силы, линии действия которых не совпадают (рис.3.2). Плечо пары сил – это расстояние между линиями действия сил. Найдём суммарный момент пары сил Динамика вращательного движения - student2.ru и Динамика вращательного движения - student2.ru ( Динамика вращательного движения - student2.ru ) в проекции на ось, проходящую через точку О:

Динамика вращательного движения - student2.ru .

То есть момент пары сил равен произведению величины силы на плкчо пары:

Динамика вращательного движения - student2.ru . (3.6)

Вернёмся к (3.3). С учётом (3.4) и (3.6):

Динамика вращательного движения - student2.ru . (3.7)

1d. Определение: скалярная величина Динамика вращательного движения - student2.ru , равная произведению массы материальной точки на квадрат ее расстояния до оси, называется моментом инерции материальной точки относительно оси ОО:

Динамика вращательного движения - student2.ru . (3.8)

Размерность момента инерции

Динамика вращательного движения - student2.ru .

Из (3.7):

Динамика вращательного движения - student2.ru ;

Динамика вращательного движения - student2.ru . (3.9)

Векторы Динамика вращательного движения - student2.ru и Динамика вращательного движения - student2.ru совпадают по направлению с осью вращения, связаны с направлением вращения по правилу буравчика, поэтому равенство (3.9) можно переписать в векторной форме:

Динамика вращательного движения - student2.ru ;

Динамика вращательного движения - student2.ru . (3.10)

Просуммируем (3.10) по всем элементарным массам, на которые разбито тело:

Динамика вращательного движения - student2.ru . (3.11)

Здесь учтено, что угловое ускорение всех точек твердого тела одинаково, и его можно вынести за знак суммы. В левой части равенства стоит сумма моментов всех сил (и внешних, и внутренних), приложенных к каждой точке тела. Но по третьему закону Ньютона, силы, с которыми точки тела взаимодействуют друг с другом (внутренние силы), равны по величине и противоположны по направлению и лежат на одной прямой, поэтому их моменты компенсируют друг друга. Таким образом, в левой части (3.11) остается суммарный момент только внешних сил: Динамика вращательного движения - student2.ru .

Сумма произведений элементарных масс на квадрат их расстояний от оси вращения называется моментом инерции твердого тела относительно данной оси:

Динамика вращательного движения - student2.ru . (3.12)

Таким образом, Динамика вращательного движения - student2.ru ; – это и есть основной закон динамики вращательного движения твёрдого тела (аналог второго закона Ньютона Динамика вращательного движения - student2.ru ): угловое ускорение тела прямо пропорционально суммарному моменту внешних сил и обратно пропорционально моменту инерции тела:

Динамика вращательного движения - student2.ru . (3.13)

Момент инерции Iтвердого тела является мерой инертных свойств твердого тела при вращательном движении и аналогичен массе тела во втором законе Ньютона. Он существенно зависит не только от массы тела, но и от ее распределения относительно оси вращения (в направлении, перпендикулярном оси).

В случае непрерывного распределения массы сумма в (3.12) сводится к интегралу по всему объему тела:

Динамика вращательного движения - student2.ru . (3.14)

2a. Момент инерции тонкого кольца относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости кольца.

Динамика вращательного движения - student2.ru ,

Динамика вращательного движения - student2.ru , (3.15)

поскольку для любого элемента кольца Динамика вращательного движения - student2.ru его расстояние до оси одинаково и равно радиусу кольца: Динамика вращательного движения - student2.ru .

2b. Толстостенный цилиндр (диск) с внутренним радиусом Динамика вращательного движения - student2.ru и внешним радиусом Динамика вращательного движения - student2.ru .

Вычислим момент инерции однородного диска плотностью ρ, высотой h, внутренним радиусом Динамика вращательного движения - student2.ru и внешним радиусом Динамика вращательного движения - student2.ru (рис.3.3) относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости диска. Разобьем диск на тонкие кольца толщиной Динамика вращательного движения - student2.ru и высотой Динамика вращательного движения - student2.ru так, что внутренний радиус кольца равен Динамика вращательного движения - student2.ru , внешний – Динамика вращательного движения - student2.ru . Объем такого кольца Динамика вращательного движения - student2.ru , где Динамика вращательного движения - student2.ru – площадь основания тонкого кольца. Его масса:

Динамика вращательного движения - student2.ru . (3.16)

Подставим Динамика вращательного движения - student2.ru в (3.14) и проинтегрируем по r ( Динамика вращательного движения - student2.ru ):

 
  Динамика вращательного движения - student2.ru

Динамика вращательного движения - student2.ru

Масса диска Динамика вращательного движения - student2.ru , тогда окончательно:

Динамика вращательного движения - student2.ru . (3.17)

2c. Сплошной цилиндр (диск).

В частном случае сплошного диска или цилиндра радиусом R подставим в (3.17) R1=0, R2=R и получим:

Динамика вращательного движения - student2.ru Динамика вращательного движения - student2.ru . (3.18)

2d. Шар.

Момент инерции шара радиуса R и массой Динамика вращательного движения - student2.ru относительно оси, проходящей через его центр (рис.3.4), равен (без доказательства):

Динамика вращательного движения - student2.ru . (3.19)

Динамика вращательного движения - student2.ru
2e. Момент инерции тонкого стержня массой Динамика вращательного движения - student2.ru и длиной Динамика вращательного движения - student2.ru относительно оси, проходящей через его конец перпендикулярно стержню (рис.3.5).

Стержень разобьём на бесконечно малые участки длиной Динамика вращательного движения - student2.ru . Масса такого участка Динамика вращательного движения - student2.ru . Подставим в (3.14) и проинтегрируем от 0 до Динамика вращательного движения - student2.ru :

Динамика вращательного движения - student2.ru ,

Динамика вращательного движения - student2.ru . (3.20)

Если ось проходит через центр стержня перпендикулярно ему, можно рассчитать момент инерции половины стержня по (3.20) и затем удвоить:

Динамика вращательного движения - student2.ru . (3.21)

Динамика вращательного движения - student2.ru 3. Если ось вращения не проходит через центр масс тела (рис.3.6), вычисления по формуле (3.14) могут быть довольно сложными. В этом случае расчет момента инерции облегчается применением теоремы Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции Ic тела относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно данной оси, и произведения массы тела на квадрат расстояния Динамика вращательного движения - student2.ru между осями :

Динамика вращательного движения - student2.ru . (3.22)

Посмотрим, как работает теорема Штейнера, если применить её к стержню:

Динамика вращательного движения - student2.ru .

Нетрудно убедиться, что получилось тождество, поскольку в этом случае расстояние между осями равно половине длины стержня Динамика вращательного движения - student2.ru .

4. Момент импульса тела. Изменение момента импульса тела. Импульс момента силы. Закон сохранения момента импульса.

Из закона динамики вращательного движения Динамика вращательного движения - student2.ru и определения углового ускорения Динамика вращательного движения - student2.ru следует:

Динамика вращательного движения - student2.ru .

Если Динамика вращательного движения - student2.ru , то Динамика вращательного движения - student2.ru . Введём момент импульса Динамика вращательного движения - student2.ru твёрдого тела как

Динамика вращательного движения - student2.ru ; (3.23)

тогда

Динамика вращательного движения - student2.ru . (3.24)

Соотношение (3.24) – это основной закон динамики твёрдого тела для вращательного движения. Его можно переписать так:

Динамика вращательного движения - student2.ru , (3.24)

и тогда это будет аналог второго закона Ньютона для поступательного движения в импульсной форме (2.5)

Динамика вращательного движения - student2.ru . (2.5)

Выражение (3.24) можно проинтегрировать:

Динамика вращательного движения - student2.ru (3.25)

и сформулировать закон изменения момента импульса: изменение момента импульса тела равно импульсу суммарного момента внешних сил. Величина Динамика вращательного движения - student2.ru называется импульсом момента силы и аналогична импульсу силы Динамика вращательного движения - student2.ru в формулировке второго закона Ньютона для поступательного движения (2.2) Динамика вращательного движения - student2.ru ; момент импульса Динамика вращательного движения - student2.ru является аналогом импульса Динамика вращательного движения - student2.ru .

Размерность момента импульса

Динамика вращательного движения - student2.ru .

Момент импульса твёрдого тела относительно его оси вращения – это вектор, направленный по оси вращения по правилу буравчика.

Момент импульса материальной точки относительно точки О (рис.3.6) – это:

Динамика вращательного движения - student2.ru , (3.26)

где Динамика вращательного движения - student2.ru – радиус-вектор материальной точки, Динамика вращательного движения - student2.ru – её импульс. Вектор момента импульса Динамика вращательного движения - student2.ru направлен по правилу буравчика перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы Динамика вращательного движения - student2.ru и Динамика вращательного движения - student2.ru : на рис.3.7 – к нам из-за рисунка. Величина момента импульса

Динамика вращательного движения - student2.ru .

Твёрдое тело, вращающееся относительно оси, разобьём на элементарные массы Динамика вращательного движения - student2.ru и просуммируем по всему телу моменты импульса каждой массы (то же самое можно записать в виде интеграла; это непринципиально):

Динамика вращательного движения - student2.ru Динамика вращательного движения - student2.ru .

Поскольку угловая скорость всех точек одинакова и направлена по оси вращения, то можно записать в векторной форме:

Динамика вращательного движения - student2.ru . (3.23)

Таким образом, доказана эквивалентность определений (3.23) и (3.26).

Если суммарный момент внешних сил равен нулю, то момент импульса системы не изменяется (см.3.25):

Динамика вращательного движения - student2.ru Динамика вращательного движения - student2.ru . Это закон сохранения момента импульса. Это возможно, когда:

а) система замкнута (или Динамика вращательного движения - student2.ru );

б) у внешних сил нет касательных составляющих (вектор силы проходит через ось/центр вращения);

в) внешние силы параллельны закреплённой оси вращения.

Примеры использования/действия закона сохранения момента импульса:

1. гироскоп;

2. скамья Жуковского;

3. фигуристка на льду.

Динамика вращательного движения - student2.ru

5. Работа при вращательном движении.

Пусть тело повернулось на угол Динамика вращательного движения - student2.ru под действием силы Динамика вращательного движения - student2.ru и угол между перемещением Динамика вращательного движения - student2.ru и силой равен Динамика вращательного движения - student2.ru ; Динамика вращательного движения - student2.ru – радиус-вектор точки приложения силы (рис.3.8), тогда работа силы равна:

Динамика вращательного движения - student2.ru

поскольку Динамика вращательного движения - student2.ru (1.22) и Динамика вращательного движения - student2.ru (3.6).

Итак,

Динамика вращательного движения - student2.ru , (3.24)

или

Динамика вращательного движения - student2.ru . (3.25)

6. Кинетическая энергия вращения.

Пусть тело вращается относительно закреплённой оси с угловой скоростью Динамика вращательного движения - student2.ru . Разобьём его мысленно на элементарные массы Динамика вращательного движения - student2.ru и просуммируем кинетические энергии:

Динамика вращательного движения - student2.ru .

Здесь воспользовались формулой связи угловой и линейной скорости Динамика вращательного движения - student2.ru (1.23) и определением момента инерции твёрдого тела Динамика вращательного движения - student2.ru (3.12). Итак, кинетическая энергия вращающегося тела равна:

Динамика вращательного движения - student2.ru . (3.26)

Если тело одновременно ещё и движется поступательно (например, тело катится), то полная кинетическая энергия его равна:

Динамика вращательного движения - student2.ru ,

где Динамика вращательного движения - student2.ru – скорость поступательного движения центра масс.

7. Сопоставление величин и законов для поступательного и вращательного движения.

Аналогия между поступательным и вращательным движениями (см. лекцию 1) продолжена в табл.2.1:

Таблица 2.1

Величина/закон Поступательное движение Вращательное движение
Перемещение Динамика вращательного движения - student2.ru Динамика вращательного движения - student2.ru
Скорость Динамика вращательного движения - student2.ru Динамика вращательного движения - student2.ru
Ускорение Динамика вращательного движения - student2.ru Динамика вращательного движения - student2.ru
Сила; момент силы Динамика вращательного движения - student2.ru Динамика вращательного движения - student2.ru Динамика вращательного движения - student2.ru
Масса; момент инерции Динамика вращательного движения - student2.ru Динамика вращательного движения - student2.ru ; Динамика вращательного движения - student2.ru Динамика вращательного движения - student2.ru (для материальной точки) Динамика вращательного движения - student2.ru – теорема Штейнера
Второй закон Ньютона Динамика вращательного движения - student2.ru Динамика вращательного движения - student2.ru
Импульс; момент импульса Динамика вращательного движения - student2.ru Динамика вращательного движения - student2.ru ; Динамика вращательного движения - student2.ru
Второй закон Ньютона в импульсной форме Динамика вращательного движения - student2.ru Динамика вращательного движения - student2.ru
Закон сохранения импульса; момента импульса Динамика вращательного движения - student2.ru   Динамика вращательного движения - student2.ru Динамика вращательного движения - student2.ru
Работа Динамика вращательного движения - student2.ru Динамика вращательного движения - student2.ru
Кинетическая энергия Динамика вращательного движения - student2.ru Динамика вращательного движения - student2.ru

Наши рекомендации