Токи при размыкании и замыкании цепи

При всяком изменении силы тока в про­водящем контуре возникает э.д.с. само­индукции, в результате чего в контуре появляются дополнительные токи, называ­емые экстратоками самоиндукции.Экстра­токи самоиндукции, согласно правилу Ленца, всегда направлены так, чтобы пре­пятствовать изменениям тока в цепи, т. е. направлены противоположно току, со­здаваемому источником. При выключении источника тока экстратоки имеют такое же направление, что и ослабевающий ток. Следовательно, наличие индуктивности в цепи приводит к замедлению исчезнове­ния или установления тока в цепи.

Рассмотрим процесс выключения тока в цепи, содержащей источник тока с э.д.с. ξ, резистор сопротивлением R и катушку индуктивностью L. Под дей­ствием внешней э.д.с. в цепи течет по­стоянный ток

I₀=ξ/R

(внутренним сопротивлением источника тока пренебрегаем).

В момент времени t=0отключим источник тока. Ток через катушку индук­тивности L начнет уменьшаться, что при­ведет к возникновению э.д.с. самоиндук­ции ξ_s=-LdI/dt, препятствующей, со­гласно правилу Ленца, уменьшению тока. В каждый момент времени ток в цепи определяется законом Ома I=ξ_s/R, или

IR=-LdI/dt. (127.1)

Разделив в выражении (127.1) переменные, получим dI/I=-(R/L)dt. Интегрируя

это уравнение по I (от I₀ до I) и t (от 0 до t), находим ln(I/I₀)=-Rt/L, или

где t=L/R — постоянная, называемая временем релаксации.Из (127.2) следует, что т есть время, в течение которого сила тока уменьшается в е раз.

Таким образом, в процессе отключения источника э.д.с. сила тока убывает по экспоненциальному закону (127.2) и опре­деляется кривой 1 на рис. 183. Чем больше индуктивность цепи и меньше ее сопро­тивление, тем больше т и, следовательно, тем медленнее уменьшается ток в цепи при ее размыкании.

При замыкании цепи помимо внешней э.д.с.ξ возникает э.д.с. самоиндукции

ξ_s=-LdI/dt, препятствующая, согласно

правилу Ленца, возрастанию тока. По за­кону Ома, IR=ξ+ξ_s, или

IR=ξ-LdI/dt.

Введя новую переменную u=IR-ξ, пре­образуем это уравнение к виду du/u=-dt/t,

где 1 — время релаксации.

В момент замыкания (t=0) сила тока I=0 и u=-ξ. Следовательно, интегри­руя по и (от -ξ до IR — ξ) и t (от 0 до t).

находим ln(IR-ξ)/-ξ=-t/t, или

где I₀=ξ/R — установившийся ток (при t®¥)

Таким образом, в процессе включения источника э.д.с. нарастание силы тока в цепи задается функцией (127.3) и опре­деляется кривой 2 на рис. 183. Сила тока возрастает от начального значения I=0 и асимптотически стремится к устано­вившемуся значению I₀=ξ/R. Скорость нарастания тока определяется тем же вре­менем релаксации t=L/R, что и убыва­ние тока. Установление тока происходит тем быстрее, чем меньше индуктивность цепи и больше ее сопротивление.

Оценим значение э.д.с. самоиндук­ции ξ_s, возникающей при мгновенном уве­личении сопротивления цепи постоянного тока от R₀ До R. Предположим, что мы размыкаем контур, когда в нем течет уста­новившийся ток I₀=ξ/R₀. При размыка­нии цепи ток изменяется по формуле (127.2). Подставив в нее выражение для I₀ и t, получим

Э.д.с. самоиндукции

т. е. при значительном увеличении сопро­тивления цепи (R/R₀>>1) обладающей большой индуктивностью, э.д.с. самоин­дукции может во много раз превышать э.д.с. источника тока, включенного в цепь. Таким образом, необходимо учиты­вать, что контур, содержащий индуктив­ность, нельзя резко размыкать, так как это (возникновение значительных э.д.с. само­индукции) может привести к пробою изо­ляции и выводу из строя измерительных приборов. Если в контур сопротивление вводить постепенно, то э.д.с. самоиндук­ции не достигнет больших значений.

Взаимная индукция

Рассмотрим два неподвижных контура (1 к 2), расположенных достаточно близко друг от друга (рис. 184). Если в конту­ре 1 течет ток I₁, то магнитный поток, со­здаваемый этим током (поле, создающее этот поток, на рисунке изображено сплош­ными линиями), пропорционален I₁. Обоз начим через Ф₂₁ ту часть потока, которая пронизывает контур 2. Тогда

Ф₂₁=L₂₁/I₁, (128.1)

где L₂₁ — коэффициент пропорциональ­ности.

Если ток I₁ изменяется, то в конту­ре 2 индуцируется э.д.с. ξ_i2, которая по закону Фарадея (см. (123.2)) равна и противоположна по знаку скорости из­менения магнитного потока Ф₂₁, созданно­го током в первом контуре и пронизываю­щего второй:

Аналогично, при протекании в конту­ре 2 тока I₂ магнитный поток (его поле изображено на рис. 184 штриховой линией) пронизывает первый контур. Если Ф₁₂— часть этого потока, пронизывающего кон­тур 1, то

Ф₁₂ =L₁₂I₂.

Если ток I₂ изменяется, то в контуре 1 ин­дуцируется э.д.с. ξ_i1, которая равна и противоположна по знаку скорости из­менения магнитного потока Ф₁₂, созданно­го током во втором контуре и пронизываю­щего первый:

Явление возникновения э.д.с. в одном из контуров при изменении силы тока в другом называется взаимной индукцией.Коэффициенты пропорциональности L₂₁ и L₁₂ называются взаимной индуктивно­стью контуров.Расчеты, подтверждаемые опытом, показывают, что l₂₁и L₁₂равны друг другу, т. е.

L_I2 = L_2I. (128.2)

Коэффициенты L₁₂и L₂₁ зависят от гео­метрической формы, размеров, взаимного расположения контуров и от магнитной проницаемости окружающей контуры сре­ды. Единица взаимной индуктивности та же, что и для индуктивности,— ген­ри (Гн).

Рассчитаем взаимную индуктивность двух катушек, намотанных на общий торо­идальный сердечник. Этот случай имеет большое практическое значение (рис. 185). Магнитная индукция поля, со­здаваемого первой катушкой с числом вит­ков N₁, током I₁ и магнитной проницаемо­стью m, сердечника, согласно (119.2),

B=m₀mN₁I₁/l, где l — длина сердечника

по средней линии. Магнитный поток через один виток второй катушки Ф₂=BS=m₀m(N₁I₁/l)S Тогда полный магнитный поток (потокосцепление) сквозь вторичную обмот­ку, содержащую N2 витков,

Поток yсоздается током I₁, поэтому, со­гласно (128.1), получаем

Если вычислить магнитный поток, создава­емый катушкой 2 сквозь катушку 1, то для L₁₂ получим выражение в соответст­вии с формулой (128.3). Таким образом, взаимная индуктивность двух катушек, намотанных на общий тороидальный сер­дечник,

Трансформаторы

Принцип действия трансформаторов, при­меняемых для повышения или понижения напряжения переменного тока, основан на явлении взаимной индукции. Впервые трансформаторы были сконструированы и введены в практику русским электро­техником П. Н. Яблочковым (1847—1894) и русским физиком И. Ф. Усагиным (1855—1919). Принципиальная схема трансформатора показана на рис. 186.

Первичная и вторичная катушки (обмот­ки), имеющие соответственно n₁и N₂ вит­ков, укреплены на замкнутом железном сердечнике. Так как концы первичной об­мотки присоединены к источнику перемен­ного напряжения с э.д.с. ξ₁, то в ней возникает переменный ток I₁, создающий в сердечнике трансформатора переменный магнитный поток Ф, который практически полностью локализован в железном сер­дечнике и, следовательно, почти целиком пронизывает витки вторичной обмотки. Изменение этого потока вызывает во вто­ричной обмотке появление э.д.с. взаим­ной индукции, а в первичной — э.д.с. самоиндукции.

Ток I₁ первичной обмотки определяется согласно закону Ома:

где R₁— сопротивление первичной обмот­ки. Падение напряжения I₁R₁на сопро­тивлении R₁ при быстропеременных полях мало по сравнению с каждой из двух э.д.с., поэтому

Э.д.с. взаимной индукции, возникающая во вторичной обмотке,

Сравнивая выражения (129.1) и (129.2), получим, что э.д.с., возникающая во вто­ричной обмотке,

где знак минус показывает, что э.д.с. в первичной и вторичной обмотках противоположны по фазе.

Отношение числа витков N₂/N₁, по­казывающее, во сколько раз э.д.с. во вторичной обмотке трансформатора боль­ше (или меньше), чем в первичной, на­зывается коэффициентом трансформации.

Пренебрегая потерями энергии, кото­рые в современных трансформаторах не превышают 2 % и связаны в основном с выделением в обмотках джоулевой теп­лоты и появлением вихревых токов, и при­меняя закон сохранения энергии, можем записать, что мощности тока в обеих об­мотках трансформатора практически оди­наковы:

ξ₂I₂»ξ₁I₁, откуда, учитывая соотношение (129.3), найдем

ξ₂/ξ₁=I₁/I₂ = N₂/N₁,

т. е. токи в обмотках обратно пропорцио­нальны числу витков в этих обмотках.

Если N₂/N₁>1, то имеем дело с повы­шающим трансформатором,увеличиваю­щим переменную э.д.с. и понижающим ток (применяются, например, для переда­чи электроэнергии на большие расстояния, так как в данном случае потери на джоулеву теплоту, пропорциональные квадрату силы тока, снижаются); если N₂/N₁<1, то имеем дело с понижающим трансформатором,уменьшающим э.д.с. и повышающим ток (применяются, на­пример, при электросварке, так как для нее требуется большой ток при низком напряжении).

Мы рассматривали трансформаторы, имеющие только две обмотки. Однако

трансформаторы, используемые в радио­устройствах, имеют 4—5 обмоток, обла­дающих разными рабочими напряжениями. Трансформатор, состоящий из одной об­мотки, называется автотрансформатором.В случае повышающего автотрансформа­тора э.д.с. подводится к части обмотки, а вторичная э.д.с. снимается со всей об­мотки. В понижающем автотрансформато­ре напряжение сети подается на всю об­мотку, а вторичная э.д.с. снимается с части обмотки.