Пример. Для газа в сосуде концентрация частиц около точки r есть число частиц в единице объема около r

Пример. Для газа в сосуде концентрация частиц около точки r есть число частиц в единице объема около r - student2.ru ,

изменяется с течением времени хаотически.

Событие – наблюдение определенной концентрации Пример. Для газа в сосуде концентрация частиц около точки r есть число частиц в единице объема около r - student2.ru .

Проводим N измерений концентрации, результат Пример. Для газа в сосуде концентрация частиц около точки r есть число частиц в единице объема около r - student2.ru наблюдается Пример. Для газа в сосуде концентрация частиц около точки r есть число частиц в единице объема около r - student2.ru раз, тогда вероятность результата Пример. Для газа в сосуде концентрация частиц около точки r есть число частиц в единице объема около r - student2.ru

Пример. Для газа в сосуде концентрация частиц около точки r есть число частиц в единице объема около r - student2.ru , (1.1)

Пример. Для газа в сосуде концентрация частиц около точки r есть число частиц в единице объема около r - student2.ru .

Зависимость Пример. Для газа в сосуде концентрация частиц около точки r есть число частиц в единице объема около r - student2.ru называется функцией распределения вероятности событий.

Несовместимые события А1, А2,…, Аk не могут произойти одновременно. Например, если бросать шестигранную кость, на каждой грани которой написано число от 1 до 6, можно получить результат: или 1, или 2,…, или 6. Выполняется теорема сложения вероятностей несовместимых событий – вероятность сложного события A или B равна сумме вероятностей отдельных событий. Действительно, выполняется

Пример. Для газа в сосуде концентрация частиц около точки r есть число частиц в единице объема около r - student2.ru . (1.2)

Если (А1, А2,…, Аk) – полный набор несовместимых событий, то какое-либо одно из них обязательно происходит, тогда выполняется

Пример. Для газа в сосуде концентрация частиц около точки r есть число частиц в единице объема около r - student2.ru .

С учетом (1.2) получаем условие нормировки вероятностей для полного набора несовместимых событий

Пример. Для газа в сосуде концентрация частиц около точки r есть число частиц в единице объема около r - student2.ru . (1.3)

Пример. Движения молекулы газа по и против некоторой оси образуют полный набор независимых направлений движения

W(влево) + W(вправо) = 1.

Если у гамильтониана системы все направления равноправные, тогда

W(влево) = W(вправо) = 1/2.

Независимые события А1, А2,…, Аk не влияют друг на друга. Например, частицы идеального газа движутся независимо друг от друга, и положение одной частицы не влияет на положение другой частицы. Выполняется теорема об умножении вероятностей независимых событий – вероятность сложного события А и B равна произведению вероятностей отдельных событий

Пример. Для газа в сосуде концентрация частиц около точки r есть число частиц в единице объема около r - student2.ru , (1.4)

Для k независимых событий

Пример. Для газа в сосуде концентрация частиц около точки r есть число частиц в единице объема около r - student2.ru .

Пример. В объеме V0, все точки которого равноправные, находится частица. Объем V0 разбиваем на N одинаковых ячеек объемом Пример. Для газа в сосуде концентрация частиц около точки r есть число частиц в единице объема около r - student2.ru . При обследовании всех ячеек, т.е. при Пример. Для газа в сосуде концентрация частиц около точки r есть число частиц в единице объема около r - student2.ru измерениях, положительный результат будет только в одной ячейке. Вероятность найти частицу в одной произвольной ячейке согласно (1.1)

Пример. Для газа в сосуде концентрация частиц около точки r есть число частиц в единице объема около r - student2.ru . (1.4а)

Если в V0 находится m независимых частиц, то вероятность, что весь газ окажется в объеме V, согласно теореме (1.4) равен

Пример. Для газа в сосуде концентрация частиц около точки r есть число частиц в единице объема около r - student2.ru . (1.4б)

Характеристики случайной дискретной величины

Среднее значение величины

Пусть для x возможные значения: x1, x2, …, xk.

Измерения проводятся N раз, результат xi наблюдается Ni раз, тогда

Пример. Для газа в сосуде концентрация частиц около точки r есть число частиц в единице объема около r - student2.ru .

Среднее значение

Пример. Для газа в сосуде концентрация частиц около точки r есть число частиц в единице объема около r - student2.ru .

При Пример. Для газа в сосуде концентрация частиц около точки r есть число частиц в единице объема около r - student2.ru согласно (1.1)

Пример. Для газа в сосуде концентрация частиц около точки r есть число частиц в единице объема около r - student2.ru

получаем

Пример. Для газа в сосуде концентрация частиц около точки r есть число частиц в единице объема около r - student2.ru .

Аналогично

Пример. Для газа в сосуде концентрация частиц около точки r есть число частиц в единице объема около r - student2.ru . (1.5)

Среднее значение величины равно сумме произведений ее значений на вероятности этих значений.

При Пример. Для газа в сосуде концентрация частиц около точки r есть число частиц в единице объема около r - student2.ru получаем Пример. Для газа в сосуде концентрация частиц около точки r есть число частиц в единице объема около r - student2.ru и (1.5) дает нормировку вероятностей

Пример. Для газа в сосуде концентрация частиц около точки r есть число частиц в единице объема около r - student2.ru . (1.6)

Свойства среднего

Для Пример. Для газа в сосуде концентрация частиц около точки r есть число частиц в единице объема около r - student2.ru и независимых случайных величин x и y выполняются теоремы:

1. Пример. Для газа в сосуде концентрация частиц около точки r есть число частиц в единице объема около r - student2.ru

– постоянная выносится из под знака усреднения;

2. Пример. Для газа в сосуде концентрация частиц около точки r есть число частиц в единице объема около r - student2.ru

– среднее от суммы равно сумме средних,

3. Пример. Для газа в сосуде концентрация частиц около точки r есть число частиц в единице объема около r - student2.ru

– среднее от произведения независимых величин равно произведению их средних.

Доказательство свойства 2

Используем определение среднего (1.5)

Пример. Для газа в сосуде концентрация частиц около точки r есть число частиц в единице объема около r - student2.ru .

Функция Пример. Для газа в сосуде концентрация частиц около точки r есть число частиц в единице объема около r - student2.ru описывает распределение случайной величины x и она одинакова для Пример. Для газа в сосуде концентрация частиц около точки r есть число частиц в единице объема около r - student2.ru и Пример. Для газа в сосуде концентрация частиц около точки r есть число частиц в единице объема около r - student2.ru , тогда

Пример. Для газа в сосуде концентрация частиц около точки r есть число частиц в единице объема около r - student2.ru

Пример. Для газа в сосуде концентрация частиц около точки r есть число частиц в единице объема около r - student2.ru ;

Доказательство свойства 3

Используем определение среднего и функцию распределения Пример. Для газа в сосуде концентрация частиц около точки r есть число частиц в единице объема около r - student2.ru для независимых случайных величин x и y. Согласно теореме об умножении вероятностей независимых событий

Пример. Для газа в сосуде концентрация частиц около точки r есть число частиц в единице объема около r - student2.ru .

Тогда получаем

Пример. Для газа в сосуде концентрация частиц около точки r есть число частиц в единице объема около r - student2.ru

Пример. Для газа в сосуде концентрация частиц около точки r есть число частиц в единице объема около r - student2.ru .

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Отклонение от среднего

Пример. Для газа в сосуде концентрация частиц около точки r есть число частиц в единице объема около r - student2.ru .

Среднее отклонение от среднего любой величины равно нулю

Пример. Для газа в сосуде концентрация частиц около точки r есть число частиц в единице объема около r - student2.ru .

Наши рекомендации