Флуктуации вокруг равновесия

Вспомните контейнер с перегородкой, который мы рассматривали в главе 8 .

В перегородке есть отверстие, позволяющее молекулам газа периодически

пролетать с одной стороны на другую . Для того чтобы смоделировать эволюцию

неизвестного микросостояния каждой частицы, мы допускали, что у каждой

молекулы есть небольшой фиксированный шанс перелететь на другую сторону .

Формула Больцмана для энтропии помогла нам продемонстрировать, как эн-

тропия будет меняться с течением времени; она имеет ярко выраженную

тенденцию к увеличению, по крайней мере если в начале эксперимента вручную

создать в системе состояние низкой энтропии, когда большая часть молекул

располагается по одну сторону перегородки . Система естественным образом

стремится к равновесию, то есть к состоянию, в котором количество молекул

по обе стороны перегородки примерно одинаково . В этом случае энтропия

достигает максимального значения, помеченного «1» на вертикальной оси

графика 10 .3 .

Однако что, если вначале система не будет находиться в низкоэнтропийном

состоянии? Что, если начать рассматривать ее в состоянии равновесия? Если

второе начало термодинамики абсолютно истинно и энтропия никогда не

уменьшается, то по достижении состояния равновесия система остается в нем

навсегда . Но в вероятностном мире Больцмана это не совсем верно . С высокой

вероятностью система, пришедшая к равновесию, действительно продолжит

пребывать в этом равновесном состоянии или в состоянии, близком к нему .

Однако если подождать достаточно долго, то мы непременно заметим случай-

ные отклонения от этого состояния . И если время ожидания будет очень

большим, то мы неминуемо увидим и чрезвычайно большие флуктуации . Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru




Часть III . Энтропия и ось времени

0,999

0,998

0,997

x







Рис . 10 .3 . Изменение энтропии в перегороженном контейнере с газом, начиная с состояния

равновесия . Большую часть времени удерживается состояние, близкое к максимальной эн-

тропии, но периодически можно заметить небольшие флуктуации в сторону более низко-

энтропийных состояний . Обратите внимание на сильно увеличенный масштаб по верти-

кальной оси; типичные флуктуации очень малы . Стрелкой с буквой x указан возврат

к равновесному состоянию после относительно крупной флуктуации

На рис . 10 .3 представлена эволюция энтропии в перегороженном контей-

нере с газом, содержащем 2000 частиц, но на этот раз — в более поздний

период времени, после достижения равновесного состояния . Обратите вни-

мание на то, что теперь мы рассматриваем изменения энтропии в огромном

приближении: если графики в главе 8 демонстрировали изменение энтропии

в диапазоне значений от 0,75 до 1, то здесь мы рассматриваем диапазон от

0,997 до 1 .

То, что мы видим, — это небольшие отклонения от равновесного значения,

в котором энтропия максимальна, а молекул примерно поровну в обеих по-

ловинах контейнера . И это совершенно логично, учитывая условия экспери-

мента: большую часть времени справа и слева от перегородки находится равное

число частиц, но иногда может возникать небольшой перекос в ту или в другую

сторону, соответствующий чуть меньшему значению энтропии . Абсолютно

так же ситуация выглядит и при подбрасывании монеты: в среднем в длинной

последовательности подбрасываний орел и решка выпадают одинаковое число

раз, но если подождать достаточно долго, то нам будут встречаться подпосле-

довательности, в которых монета приземлялась на одну сторону много раз

подряд .

Отклонения, которые мы здесь видим, очень малы, но, с другой стороны,

мы не так уж долго ждали . Если растянуть эксперимент на более длительный Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru

Глава 10 . Повторяющиеся кошмары



период — и здесь имеется в виду гораздо более длительный период, то энтропия

в конечном итоге уменьшится до исходного значения, соответствующего кон-

фигурации, при которой 80 % частиц находилось с одной стороны от перего-

родки, а 20 % частиц — с другой . Также не забывайте о том, что этот график

иллюстрирует поведение энтропии для системы с 2000 частиц; в реальном

мире, где любой макроскопический объект содержит намного больше частиц,

флуктуации энтропии соответственно намного меньше и встречаются реже .

Тем не менее они обязательно присутствуют . Их не может не быть — это не-

избежное следствие вероятностной природы энтропии .

Таким образом, мы подошли к финальному предположению Больцмана:

возможно, Вселенная именно такова . Возможно, время вечно и фундаменталь-

ные физические законы — ньютоновы и обратимы, и предположения, лежащие

в основе теоремы о возвращении, верны .14 И, следовательно, вполне можно

допустить, что график изменения энтропии во времени, показанный на рис . 10 .3,

показывает, как на самом деле изменяется энтропия реальной Вселенной .

Антропный принцип

Однако, скажете вы, такого не может быть . На этом графике энтропия полови-

ну времени возрастает, а половину времени убывает . В реальном мире все совсем

не так; насколько мы можем видеть, энтропия у нас только возрастает .

Что же, отвечает Больцман, вам следует взглянуть на ситуацию шире . На

этом графике показаны всего лишь крохотные флуктуации за относительно

короткий период времени . Мы же, говоря о Вселенной, с очевидностью имеем

в виду огромную флуктуацию энтропии, вероятность появления которой

крайне мала, а длительность, наоборот, чрезвычайно велика . В целом, график

энтропии Вселенной очень похож на тот, что изображен на рис . 10 .3, а энтро-

пия нашей локальной наблюдаемой части Вселенной соответствует лишь не-

большому его участку — рядом с точкой, обозначенной x, где наблюдается

процесс возвращения обратно к равновесному состоянию после флуктуации .

Если здесь помещается вся история изведанной Вселенной, то нет ничего

странного в том, что на своем веку мы наблюдаем второе начало термодинами-

ки в действии . В то же время, если рассматривать сверхдлинные периоды, то

окажется, что энтропия всего лишь немного колеблется около максимального

значения .

Но, снова возразите вы, не готовые сдаваться без боя, почему мы живем

именно на этом конкретном участке кривой, в период, непосредственно сле-

дующий за гигантской флуктуацией энтропии? Мы уже согласились с тем, что Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru



Часть III . Энтропия и ось времени

подобные флуктуации неимоверно редки . Не было бы логичнее оказаться

в каком-то более типичном, среднестатистическом периоде истории Вселенной,

где все, по сути, находится в равновесии?

Разумеется, Больцман предвидел это ваше возражение . И в этот момент

он совершает поразительно современный ход — апеллирует к антропному

принципу. По сути, антропный принцип — это идея о том, что любое разум-

ное описание Вселенной вокруг нас должно учитывать тот факт, что мы су-

ществуем . Оно может принимать множество разных форм: от бесполезно

слабого «тот факт, что жизнь существует, диктует нам, что законы физики

должны быть совместны с существованием жизни» до смехотворно сильно-

го «законы физики должны были принять ту форму, в которой мы их знаем,

потому что существование жизни — необходимое условие» . Споры вокруг

статуса антропного принципа: есть ли в нем смысл? можно ли считать его

научным? — разгораются весьма нешуточные, но редко приводят к каким бы

то ни было полезным выводам или результатам .

К счастью, нас (и Больцмана) вполне устраивает благоразумная усредненная

версия антропного принципа . А именно представьте себе, что реальная Все-

ленная намного больше (в пространственном измерении, во временном или

в обоих) той части, которую мы в состоянии непосредственно наблюдать .

Помимо этого, вообразите, что условия в разных фрагментах этой глобальной

Вселенной очень сильно различаются . Например, в них наблюдается разная

плотность вещества, а может быть, доходит даже до того, что действуют разные

локальные физические законы . Каждую из таких областей можно назвать

«Вселенной», а весь набор — «Мультиленной» . Разные Вселенные в пределах

Мультиленной могут быть физически связаны, а могут не иметь точек сопри-

косновения; для наших текущих целей это неважно . Наконец, представьте себе,

что часть этих областей обладает благоприятными условиями для существова-

ния жизни, а часть — нет . (В этом месте всегда неизбежно возникает опреде-

ленное недопонимание, поскольку в глобальном контексте мы знаем о «жизни»

не так уж много .) Тогда — и этот довод выглядит совершенно безукоризнен-

но — как ни крути, мы находимся в одной из тех частей Вселенной, где суще-

ствование жизни допускается, но не в других, враждебных нам частях . Кажет-

ся, что это утверждение не несет смысла, но это не так . Оно иллюстрирует

эффект выбора, искажающий наш взгляд на Вселенную в целом: мы не видим

картины целиком; нашему восприятию доступен только один фрагмент, кото-

рый вполне может оказаться абсолютно нерепрезентативным .

Больцман апеллирует к такой же точно логике . Он просит нас представить

Вселенную, состоящую из некоторого набора частиц, движущихся сквозь аб- Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru

Глава 10 . Повторяющиеся кошмары



солютное ньютоновское пространство—время, существующее на протяжении

вечности . Чего в этом случае следует ожидать?

Тогда во Вселенной, которая в общем везде находится в тепловом равновесии,

то есть мертва, то тут, то там должны существовать сравнительно не-

большие области (назовем их единичными мирами), которые в течение до-

вольно короткого времени по сравнению с вечностью значительно отклоня-

ются от теплового равновесия, причем одинаково часты такие, в которых

вероятность состояния [энтропия] увеличивается, и такие, в которых она

уменьшается. Следовательно, для Вселенной оба направления времени нераз-

личимы, так же как в пространстве не существует верха и низа. Но так же,

как в определенной точке земной поверхности направление к центру Земли

является направлением «вниз», живое существо, находящееся в определенной

эпохе такого мира, будет определять направление времени как направление

от менее вероятных состояний к более вероятным (первые будут называть-

ся «прошлым», вторые — «будущим»), и в соответствии с таким опреде-

лением для него эта небольшая, изолированная от Вселенной область «снача-

ла» всегда находится в маловероятном состоянии.15

Это весьма примечательный абзац, и после небольшой корректировки

лексикона он абсолютно органично смотрелся бы в любом современном кос-

мологическом обсуждении . Больцман полагал, что Вселенная (или, если хоти-

те, Мультиленная), по сути, представляет собой бесконечный контейнер с газом .

Большая часть газа равномерно распределена по этому бескрайнему простран-

ству и имеет постоянную температуру, то есть пребывает в тепловом равно-

весии . Проблема в том, что жить при тепловом равновесии мы не способны —

это «мертвое» состояние, как без обиняков выразился Больцман . Но время от

времени в этом бескрайнем контейнере возникают случайные флуктуации, и

в конце концов одна из них создает нечто похожее на Вселенную, которую мы

наблюдаем вокруг себя . (Больцман называет ее «наша галактика», что в то

время считалось синонимом «наблюдаемой Вселенной» .) А поскольку мы

можем существовать исключительно в подобных условиях — в случайных да-

леких от равновесия флуктуациях, то нет ничего удивительного в том, что мы

обнаруживаем себя в одной из них .

И разумеется, в период флуктуации энтропия увеличивается лишь полови-

ну времени: вторую половину она уменьшается, переходя от равновесного

значения к временному минимальному значению . Однако об «увеличении»

или «уменьшении» энтропии можно говорить лишь по отношению к какой-то

заранее выбранной временной координате, которая, как мы обсуждали в пре-

дыдущей главе, сама по себе не поддается непосредственному наблюдению . Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru



Часть III . Энтропия и ось времени

Рис . 10 .4 . «Мультиленная» Больцмана . Большую часть пространства составляет множе-

ство частиц, находящихся в равновесии, но также можно заметить редкие локальные

флуктуации к низкоэнтропийным состояниям (обратите внимание на то, что масштаб

совершенно не соблюдается) . Мы живем в период, последовавший за одной исключительно

крупной флуктуацией

Как верно подмечает Больцман, важно лишь то, что текущая Вселенная нахо-

дится в процессе перехода между низкоэнтропийным состоянием и состояни-

ем теплового равновесия . И пока этот переход происходит, любое живое су-

щество всегда будет считать направление в сторону более низкого значения

энтропии «прошлым», а направление к высокой энтропии — «будущим» .

Эта картина Вселенной довольно провокационна . Если смотреть крупно-

масштабно, то вещество практически всегда находится в состоянии крайне

разреженного газа при определенной температуре . Но время от времени на

протяжении миллиардов лет последовательности случайных событий склады-

ваются так, что в результате появляются области аномально низкой энтропии,

которые затем возвращаются обратно к равновесию . Вы и я, и вся суетливая

деятельность, которую мы наблюдаем вокруг, — это побочные явления, кото-

рым повезло оседлать волну энтропии, которая откатывается назад после

случайного путешествия в чрезвычайно маловероятное состояние .16

Так как же выглядит типичная флуктуация в период движения энтропии

вниз? Ответ очевиден: в точности как инвертированная во времени типичная

эволюция по направлению от низкоэнтропийного состояния к высокоэнтро-

пийному . Вся Вселенная — все это бескрайнее море невероятно разреженно-

го газа — не превратится внезапно, за считанные минуты, в высокоплотное

состояние, соответствующее Большому взрыву . То тут, то там, растянутые во

времени на миллиарды лет, будут возникать последовательности маловероятных Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru

Флуктуации вокруг равновесия - student2.ru  

Глава 10 . Повторяющиеся кошмары



событий, каждое из которых способно сделать энтропию лишь незначительно

меньше . Звезды и галактики могут распадаться, омлеты — превращаться в яйца,

предметы, находящиеся в равновесии, — спонтанно демонстрировать значи-

тельные перепады температуры . Все эти события абсолютно независимы,

каждое из них по отдельности маловероятно, а все вместе они составляют

фантастически маловероятную комбинацию . Но если вы на самом деле способ-

ны потратить вечность на ожидание, то убедитесь, что даже самые невероятные

вещи в конце концов случаются .

Наши рекомендации