Энтропия. Закон возрастания энтропии.Статистический смысл энтропии

Понятие термодинамической энтропии, впервые введенное в 1865 году Клаузиусом, имеет ключевое значение для понимания основных положений термодинамики.

Рассмотрим обратимый круговой термодинамический процесс, представленный на рис. 3.12. Для этого процесса может быть записано равенство Клаузиуса (3.49) в виде

Энтропия. Закон возрастания энтропии.Статистический смысл энтропии - student2.ru , (3.50)

где первый интеграл берется по траектории I, а второй - соответственно по траектории II.

Энтропия. Закон возрастания энтропии.Статистический смысл энтропии - student2.ru
Рис. 3.12. Обратимый круговой термодинамический процесс

Изменение направления протекания процесса Энтропия. Закон возрастания энтропии.Статистический смысл энтропии - student2.ru на противоположное Энтропия. Закон возрастания энтропии.Статистический смысл энтропии - student2.ru , что можно выполнить вследствие обратимости процесса II, приводит к замене знака перед вторым интегралом формулы (3.50). Выполнение этой замены и перенос второго интеграла в выражении (3.50) в правую часть дают

Энтропия. Закон возрастания энтропии.Статистический смысл энтропии - student2.ru (3.51)

Из полученного выражения следует, что для обратимых процессов интеграл Энтропия. Закон возрастания энтропии.Статистический смысл энтропии - student2.ru не зависит от конкретного вида траектории, по которой происходит процесс, а определяется только начальным и конечным равновесными состояниями термодинамической системы.

С аналогичной ситуацией мы уже встречались, когда в механике рассматривали определение работы консервативной силы. Независимость работы консервативной силы от формы траектории движения тела позволила ввести функцию, названную потенциальной энергией, которая зависит только от состояния механической системы и не зависит от того, как в это состояние система была переведена.

Из этой аналогии следует, что элементарное приведенное количество теплоты Энтропия. Закон возрастания энтропии.Статистический смысл энтропии - student2.ru должно представлять собой полный дифференциал некоторой функции S, зависящей только от состояния термодинамической системы, то есть:

Энтропия. Закон возрастания энтропии.Статистический смысл энтропии - student2.ru . (3.52)

Тогда интеграл Энтропия. Закон возрастания энтропии.Статистический смысл энтропии - student2.ru будет равен разности значений функции Sв равновесных состояниях 1 и 2:

Энтропия. Закон возрастания энтропии.Статистический смысл энтропии - student2.ru . (3.53)

Итак, величина Энтропия. Закон возрастания энтропии.Статистический смысл энтропии - student2.ru является функцией, зависящей только от равновесного состояния термодинамической системы. Она не зависит от конкретного вида термодинамического процесса, приведшего систему в указанное состояние. Эта функция была названа Клаузиусом термодинамической энтропией

3.9. Закон возрастания энтропии

Применим неравенство Клаузиуса для описания необратимого кругового термодинамического процесса, изображенного на рис 3.13.

Энтропия. Закон возрастания энтропии.Статистический смысл энтропии - student2.ru

Пусть процесс Энтропия. Закон возрастания энтропии.Статистический смысл энтропии - student2.ru будет необратимым, а процесс Энтропия. Закон возрастания энтропии.Статистический смысл энтропии - student2.ru - обратимым. Тогда неравенство Клаузиуса для этого случая примет вид

Энтропия. Закон возрастания энтропии.Статистический смысл энтропии - student2.ru . (3.55)

Так как процесс Энтропия. Закон возрастания энтропии.Статистический смысл энтропии - student2.ru является обратимым, для него можно воспользоваться соотношением (3.53), которое дает

Энтропия. Закон возрастания энтропии.Статистический смысл энтропии - student2.ru . (3.56)

Подстановка этой формулы в неравенство (3.55) позволяет получить выражение

Энтропия. Закон возрастания энтропии.Статистический смысл энтропии - student2.ru . (3.57)

Сравнение выражений (3.53) и (3.57) позволяет записать следующее неравенство

Энтропия. Закон возрастания энтропии.Статистический смысл энтропии - student2.ru , (3.58)

в котором знак равенства имеет место в случае, если процесс Энтропия. Закон возрастания энтропии.Статистический смысл энтропии - student2.ru является обратимым, а знак больше, если процесс Энтропия. Закон возрастания энтропии.Статистический смысл энтропии - student2.ru - необратимый.

Неравенство (3.58) может быть также записано и в дифференциальной форме

Энтропия. Закон возрастания энтропии.Статистический смысл энтропии - student2.ru . (3.59)

Если рассмотреть адиабатически изолированную термодинамическую систему, для которой Энтропия. Закон возрастания энтропии.Статистический смысл энтропии - student2.ru , то выражение (3.59) примет вид

Энтропия. Закон возрастания энтропии.Статистический смысл энтропии - student2.ru (3.60)

или в интегральной форме

Энтропия. Закон возрастания энтропии.Статистический смысл энтропии - student2.ru . (3.61)

Полученные неравенства выражают собой закон возрастания энтропии, который можно сформулировать следующим образом:

В адиабатически изолированной термодинамической системе энтропия не может убывать: она или сохраняется, если в системе происходят только обратимые процессы, или возрастает, если в системе протекает хотя бы один необратимый процесс.

Переход к статистическому весу позволяет записать выражение для энтропии в следующем виде:

Энтропия. Закон возрастания энтропии.Статистический смысл энтропии - student2.ru . (5.123)

Эта формула носит название формулы Больцмана. Она позволяет рассчитать статистическую энтропию системы.

В частности, из этой формулы следует, что энтропия термодинамической системы со статистическим весом равным единице, когда все частицы системы находятся в одинаковых состояниях, равна нулю. А в состоянии с максимальным статистическим весом энтропия также принимает максимальное значение.

Для статистической энтропии выполняется требование аддитивности. Если система может быть разделена на две не взаимодействующие подсистемы, статистические веса которых соответственно равны G1 и G2, то её статистический вес G вычисляется как произведение весов подсистем:G=G1G2 . При этом энтропия в соответствии с формулой (5.123) равна:

Энтропия. Закон возрастания энтропии.Статистический смысл энтропии - student2.ru (5.124)

или

Энтропия. Закон возрастания энтропии.Статистический смысл энтропии - student2.ru . (5.125)

Следовательно, статистическая энтропия макроскопической системы, состоящей из не взаимодействующих подсистем, равна сумме энтропий этих подсистем.

48. З-н сохр-я заряда. З-н Кулона. Напряж-ть электрич-го поля. Принцип суперпозиции. Электрический заряд — физическая величина, определяющая ин­тенсивность электромагнитного взаимодействия.

Свойства заряда:

1.Носителями электрического заряда являются заряженные эле­ментарные частицы — протон и электрон (а также некоторые неста­бильные частицы: п-мезоны, m-мезоны и т.д.). Заряженные частицы взаимодействуют друг с другом с силами, убывающими с расстоянием так же медленно, как гравитационные, но во много раз превышающими их по величине.

2.Все заряженные элементарные частицы обладают одним и тем же по величине зарядом, который называют элементарным зарядом и обозначают буквой е. Опыт показывает, что заряд элементарных частиц не зависит от их скорости.

3.Заряд элементарных частиц может быть положительным или от­рицательным. Одноименные частицы отталкиваются, разноименные — притягиваются. За положительный заряд принят заряд протона +е. Заряд электрона — отрицательный (-е).

Заряженные тела. Если в состав макроскопического тела входит различное количество электронов Nе и протонов Nр, то оно оказыва­ется заряженным. Заряд тела всегда представляется числом, кратным величине элементарного заряда: q — е (Nр — Nе).

Закон сохранения электрического заряда утверждает, что полный заряд замкнутой системы, т.е. алгебраическая сумма зарядов всех тел, постоянен. Это утверждение очевидно, если в системе не происходит превращений элементарных частиц. Но закон сохранения заряда имеет более фундаментальный характер — он выполняется в любых процессах рождения и уничтожения элементарных частиц.

Закон Кулона описывает взаимодействие точечных зарядов, т.е. элементарных частиц или заряженных тел, размеры которых малы по сравнению с расстоянием между ними. Полная формулировка закона Кулона включает в себя три утверждения.

1. Сила взаимодействия двух точечных зарядов в вакууме (кулоновская сила) прямо пропорциональна произведению модулей зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

Энтропия. Закон возрастания энтропии.Статистический смысл энтропии - student2.ru

где k — коэффициент пропорциональности, зависящий от системы еди­ниц.

2. Силы взаимодействия направлены вдоль прямой, соединяющей заряды (такие силы называют центральными).

3. Одноименные заряды отталкиваются, разноименные — притя­гиваются.

Влияние среды. Если точечные заряды находятся в однородном диэлектрике, то приближенно можно считать, что сила взаимодействия (1) уменьшается в е раз, где е — характеристика среды, которую на­зывают диэлектрической проницаемостью.

Взаимодействие заряженных частиц можно описывать двумя способами.

1. Один заряд через пустое пространство непосредственно дей­ствует на другой заряд (дальнодействие).

2. Взаимодействие передается через посредство электромагнит­ного поля. На заряд действуют не другие заряды, а поле, находящееся в той же точке пространства (близкодействие). Остальные заряды выступают в роли источников этого поля.

Самым простым видом электромагнитного поля является элек­тростатическое поле, создаваемое неподвижными зарядами.

Напряженность электрического поля. Из закона Кулона следует, что сила Fq, действующая на пробный заряд q пропорциональна величине этого заряда. Значит, отношение Fq/q не зависит от q, т.е. является характеристикой поля. Ее называют напряженностью и обозначают буквой Е:

Энтропия. Закон возрастания энтропии.Статистический смысл энтропии - student2.ru

Видно, что само определение напряженности решает задачу о

силе, действующей на заряд д во внешнем поле Е. В системе СИ

напряженность измеряют в Н/Кл.

Из закона Кулона и формулы следует, что напряженность электростатического поля, создаваемого точечным зарядом Q на расстоянии r от него, может быть найдена по формуле

Энтропия. Закон возрастания энтропии.Статистический смысл энтропии - student2.ru Энтропия. Закон возрастания энтропии.Статистический смысл энтропии - student2.ru

Вектор Е направлен по радиусу от заряда, если Q > 0, и к заряду, если Q < 0. Формулу (3) можно, с учетом знака Q, рассма­тривать как формулу для проекции Е на радиальное направление (ее обозначают Qr).

Если поле Е создается несколькими точечными зарядами, то результирующая напряженность есть векторная сумма напряженностей, созданных отдельными зарядами:

Энтропия. Закон возрастания энтропии.Статистический смысл энтропии - student2.ru

где E1, E2, ... вычисляются по формуле E (принцип суперпозиции полей).

Ёсли заряд распределен непрерывно по поверхности (объему), то надо мысленно разбить заряженную поверхность (объем) на точечные заряды, а потом применить принцип суперпозиции. Для описания за­ряда, непрерывно распределенного по поверхности, вводят поверхност­ную плотность заряда g =∆q/∆S. Если заряд распределен

неравномерно, то определяют поверхностную плотность в точке,

устремляя ∆S к нулю. Единица измерения ∆g— Кл/м2.

Распределение Е в пространстве можно представить, нарисовав картинку силовых линий. Ее рисуют так, чтобы по ней можно было: а) узнать направление вектора Е (он направлен по касательной к сило-вой линии - в сторону, указанную стрелкой на этой линии); б) сравнить между собой |Е| в разных точках пространства (|Е| пропорционален густоте силовых линий, т.е. количеству линий, пронизывающих поперечную площадку, деленному на ее площадь).

Оказывается, можно удовлетворить всем этим требованиям, нарисовав картинку, где силовые линии начинаются на положительных зарядах, заканчиваются на отрицательных (или уходят на бесконечность), а в пространстве между зарядами всюду непрерывны (на каждом заряде начинается или заканчивается число линий, пропорциональное его величине).

49. Диполь (от ди... и греч. pólos - полюс) электрический, совокупность двух равных по абсолютной величине разноимённых точечных зарядов, находящихся на некотором расстоянии друг от друга. Основной характеристикой электрического Диполь является его дипольный момент - вектор, направленный от отрицательного заряда к положительному и численно равный произведению заряда е на расстояние l между зарядами: р = el. Дипольный момент определяет электрическое поле Диполь на большом расстоянии R от Диполь (R»l), а также воздействие на Диполь внешнего электрического поля.
Вдали от Диполь его электрическое поле Е убывает с расстоянием как 1/R3, т. е. быстрее, чем поле точечного заряда (~ 1/R2). Компоненты напряжённости поля Е вдоль оси Диполь (Ep) и в направлении, перпендикулярном к р (E┴), пропорциональны дипольному моменту и в системе единиц СГС (Гаусса) равны:
Энтропия. Закон возрастания энтропии.Статистический смысл энтропии - student2.ru
где J - угол между р и радиусом-вектором R точки пространства, в которой измеряется поле Диполь; полная напряжённость
Энтропия. Закон возрастания энтропии.Статистический смысл энтропии - student2.ru
Т. о., на оси Диполь при J = 0 напряжённость поля вдвое больше, чем при J = 90°; при обоих этих углах оно имеет только компоненту Ep, причём при J = 0 её направление параллельно р, а при J = 90° - антипараллельно
Действие внешнего электрического поля на Диполь также пропорционально величине его дипольного момента. Однородное поле создаёт вращающий момент М = pE sina (a - угол между вектором напряжённости внешнего электрического поля Е и дипольным моментом р; рис. 3), стремящийся повернуть Диполь так, чтобы его дипольный момент был направлен по полю. В неоднородном электрическом поле на Диполь, кроме вращающего момента, действует также сила, стремящаяся втянуть Диполь в область более сильного поля.
Электрическое поле любой нейтральной в целом системы на расстояниях, значительно больших её размеров, приближённо совпадает с полем эквивалентного Диполь - электрического Диполь с таким же дипольным моментом, как и у системы зарядов (т. е. поле на больших расстояниях от системы нечувствительно к деталям распределения зарядов). Поэтому во многих случаях электрический Диполь является хорошим приближением для описания такой системы на больших по сравнению с её размерами расстояниях. Например, молекулы многих веществ можно приближённо рассматривать как электрический Диполь (в простейшем случае это молекулы из двух ионов с зарядами противоположных знаков); атомы и молекулы во внешнем электрическом поле, несколько раздвигающем их положительные и отрицательные заряды, приобретают индуцированный (наведённый полем) дипольный момент и становятся микроскопическими Диполь. Электрический Диполь с изменяющимся во времени дипольным моментом (вследствие изменения его длины l или зарядов e) является источником электромагнитного излучения

50. Поток вектора через пов-ть. Теорема Гаусса.Для вывода основного уравнения, связывающего поле вектора D с распределением свободных зарядов, введем предваритель­но еще одну вспомогатель­ную величину - поток век­тора D через поверхность.

Рассмотрим простейший случай однородного поля, в котором D - const, т. е. вектор индукции по­всюду одинаков и по вели­чине, и по направлению. В этом случае все линии ин­дукции прямые и идут парал­лельно на одинаковом расстоянии

Энтропия. Закон возрастания энтропии.Статистический смысл энтропии - student2.ru Энтропия. Закон возрастания энтропии.Статистический смысл энтропии - student2.ru Энтропия. Закон возрастания энтропии.Статистический смысл энтропии - student2.ru

друг от друга (см. рис. 1.16). Построим площадку S произвольной формы, перпендикулярную линиям вектора D, и определим поток индукции через нее как произведение D на S:

N=DS.(5.9)

Поскольку через единицу площади проходят D линий индукции, то величина N численно равна полному числу линий индукции, пронизывающих эту площадку. Проведем теперь площадку S наклонно к линиям индукции (см. рис. 1.17). Ориентация площадки в пространстве характери­зуется перпендикулярным к ней вектором нормали n. При этом сторона площадки, из ко­торой выходит нормаль n, называется положительной, а противоположная сторона отрицательной. Угол α между на­правлением вектора ин­дукции и нормалью n к площадке может изменять­ся от 0 до 180°. Для нахождения числа N линий индукции, проходящих че­рез эту площадку, спроек­тируем последнюю на плос­кость, перпендикулярную вектору D. Из рис. 1.17 видно, что через площадку S и ее проекцию Sпр проходит одинако­вое число линий индукции, равное

N=DSпр=DScos α =DnS (5.10) где Dn=Dcos a — проекция вектора индукции на направление нормали к площадке. Величина N определяемая формулой (5.10), называется потоком вектора электростатической индукции (или потоком вектора электрического смещения) через площадку S. Термин поток заимствован из гидродинамики определяемый аналогично (5,10) поток вектора скорости численно равен объему жидкости, протекающей за единицу времени через данную площадку. Поток индукции есть скаляр, который в зависимости от величины угла α может быть как положительным, так и

отрицательным. При α <90° линии индукции направлены по отношению к площадке в ту же сторону, как и вектор n, выходят из ее положительной стороны, и, следовательно, N>0 (см. рис. 1.18, а). При α >90° линии индукции вхо­дят в положительную сторону площадки и N<О (см. рис. 1.18, б). Наконец, при α = 90° соsα=0 и N=0, так как линии индукции в этом случае скользят вдоль пло­щадки и не пересекают последнюю (см. рис. 1.18, в).

В общем случае неоднородного поля (D≠const) и про­извольной неплоской поверхности S (D≠const) для нахождения полного потока вектора электростатической ин­дукции N через площадку ее следует мысленно разбить на отдельные бесконечно малые площадки ∆S (см. рис. 1.19). Считая каждую такую площадку практически плоской и поле в ее пределах практически постоянным, можно по формуле (5.10) вычислить поток линий индукции, проходящих через эту площадку:

N=Dcosα∆S=Dn∆S (5.11)

Суммируя элементарные потоки ∆N, проходящие через каж­дый участок поверхности ∆S, по всем таким элементарным участкам, мы найдем полное число линий индукции N, про­низывающих поверхность S:

Энтропия. Закон возрастания энтропии.Статистический смысл энтропии - student2.ru

Закон Кулона и правило наложения электрических нолей в принципе позволяют рассчитать поле, создаваемое любой системой точечных зарядов. В слу­чае непрерывного распределения заряда в пространстве суммирование следует заменить соответствующим интегрированием. Практически, однако, вычисление соответ­ствующих сумм и интегралов часто представляет собой весьма трудоемкую математическую задачу. Поэтому был разработан целый ряд вспомогательных методов и приемов, упрощающих вычисление. Одним из таких практически важ­ных и простых методов является применение теоремы Гаусса, краткий вывод которой мы приведем ниже. Эта теорема позволяет найти поток вектора электростатической индукции через замкнутую поверхность, внутри которой находятся электрические заряды.

Рассмотрим сначала один точечный заряд q, помещен­ный в центре сферы произвольного радиуса r (см. рис. 1,20), и вычислим полный поток индукции N, проходящий через всю поверхность этой сферы наружу. В этом случае численное значение вектора D на всей сфере S (r=const) одинаково и равно Dточеч.зар.=k0(q/r2)

Энтропия. Закон возрастания энтропии.Статистический смысл энтропии - student2.ru Кроме того, направление вектора D при этом в каждой точке совпадает с направлением внешней нормали к сфере. Тогда входящий в формулу (5.12) соsα=соs0°=1. По­этому полный поток индукции через нашу сферу равен N=∑D∆S*1=D∑∆S=k0(q/r2)*4πr2=k0*4πq (6.2)

так как полная поверхность сферы S=4πr2.

Из (6.2) следует, что поток индукции, создаваемый то­чечным зарядом, для сферы любого радиуса с центром в источнике поля одинаков и численно равен k0*4πq. Про­ведя две такие концентрические сферы радиусами r1 и r2 (см. рис. 1.21), мы видим, что число линий индукции N. пронизывающих обе сферы, одинаково. Между этими сфе­рами линии индукции идут непрерывно, нигде не заканчи­ваясь и не возникая вновь. Поэтому, если мы проведем между этими двумя сферами замкнутую поверхность S1 произвольной формы, тоже охватывающую наш точечный заряд q, то полное число линий индукции N через эту поверхность будет также равно k0*4πq.

При вычислении потока через замкнутую поверхность, так же как и в случае сферы, вектор нормали п следует считать направленным по отношению к поверхности наружу. Линии индукции, выходящие из объема, ограниченного дан­ной поверхностью, создают положительный поток, линии же, входящие в объем - отрицательный поток.

Если между нашими сферами с произвольными радиуса­ми расположить замкнутую поверхность S2, не охватывающую заряда q, то, как видно из рис. 1.21, каждая линия индукции будет пересекать эту поверхность дважды, один раз с положительной стороны (войдет в по­верхность) , а другой раз с отрицательной стороны (выйдет из поверхности). Поэтому алгебраическая сумма линий ин­дукции, проходящих через замкнутую поверхность S2, т. е. полный поток индукции N через эту поверхность, будет равна нулю.

Таким образом, для одного точечного заряда q полный поток индукции через любую замкнутую поверхность S будет равен

N= k0*4πq, если заряд расположен внутри замкнутой поверхности;

N=0, если заряд расположен вне замкнутой поверхности,

и результат этот от формы поверхности не зависит.

В соответствии с (5.14) в общем случае электрического поля, создаваемого произвольной системой точечных зарядов (см. рис. 1.22), полный поток индукции, проходящий через замкнутую поверхностьS, равен

Энтропия. Закон возрастания энтропии.Статистический смысл энтропии - student2.ru (6.4)

где окончательное сум­мирование распростра­няется только на за­ряды, расположенные внутри этой поверхнос­ти. Отсюда получает­ся окончательная формулировка теоремы Гаусса: поток вектора электростатической индукции через любую замкнутую поверхность численно равен алгебраической сумме находящихся внутри этой поверхности зарядов, умноженной на 4πk0

Наши рекомендации