Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах

Кратко рассмотрим основные термодинамические процессы идеального газа, закономерности которых понадобятся в дальнейшем, в частности, при рассмотрении циклов двигателей.

Изохорный процесс. При изохорном процессе выполняется условие dv = 0 или v = const. Из уравнения состояния идеального газа следует, что Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru , т.е. давление газа прямо пропорционально его абсолютной температуре:

Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru . (4.1)

На рис. 4.1. представлен график процесса.

Рис. 4.1. Изображение изохорного процесса в p, v – (а) и T, s – (б) координатах

Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru

Работа расширения в этом процессе равна нулю, так как dv = 0.

Количество теплоты, подведенной к рабочему телу в процессе 12

Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru .

Так как l = 0, то в соответствии с первым законом термодинамики Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru и

Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru . (4.2)

Поскольку внутренняя энергия идеального газа является функцией только его температуры, то формула (4.2) справедлива для любого термодинамического процесса идеального газа.

Изменение энтропии в изохорном процессе определяется из формулы (3.4) при v1 = v2, поскольку Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru :

Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru , откуда Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru , (4.3)

т.е. зависимость Т от s (в T-s диаграмме) является экспоненциальной (см. рис. 4.1).

Изобарный процесс. Из уравнения состояния идеального газа при р = const находим Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru , или

Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru , (4.4)

т.е. в изобарном процессе объем газа пропорционален его абсолютной температуре (закон Гей-Люссака, 1820 г.). На рис. 4.2 изображены графики процесса в p, v- и T, s-диаграммах.

Рис. 4.2. Изображение изобарного процесса в p, v - и T, s - координатах

Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru

Из выражения (2.6) следует, что

Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru . (4.5)

Так как Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru и Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru , то одновременно

Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru . (4.6)

Количество теплоты, сообщаемой газу при нагревании (или отдаваемой им при охлаждении), находим из уравнения (2.24)

Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru . (4.7)

Из уравнения (2.28) Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru при р = const получим

Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru или Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru ,

т.е. количество теплоты, подведенной в изобарном процессе к закрытой системе, равно разности ее энтальпий. Сравнивая выражение первого закона термодинамики, определенное через энтальпию для изобарного процесса, с формулой (4.7), получим выражение для подсчета энтальпии

Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru .

Формулу для изменения энтропии в изобарном процессе получим, подставив в уравнение Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru отношение Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru вместо Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru (из уравнения (4.4)) и ср вместо cv+R из уравнения (2.20):

Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru или Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru . (4.8)

В T,s - диаграмме изобара тоже является экспонентой, как и изохора, но поскольку cp > cv, она положе.

Изотермический процесс. При изотермическом процессе температура постоянна, следовательно, Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru , или

Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru , (4.9)

т.е. давление и объем обратно пропорциональны друг другу, так что при изотермическом сжатии давление газа возрастает, а при расширении – падает (закон Бойля – Мариотта, 1662 г.).

Графиком изотермического процесса в p, v - координатах, как показывает уравнение (4.9) является равнобокая гипербола, для которой координатные оси служат асимптотами (рис. 4.3).

Поскольку температура не меняется, то внутренняя энергия идеального газа в данном процессе остается постоянной (Du = 0) и вся подводимая к газу теплота полностью превращается в работу расширения:

Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru . (4.10)

Рис. 4.3. Изображение изотермического процесса в p, v - и T, s - координатах

Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru

При изотермическом сжатии от газа отводится теплота в количестве, равном затраченной на сжатие работе.

Адиабатный процесс. Процесс, происходящий без теплообмена с окружающей средой (dq = 0), называется адиабатным. Для того чтобы осуществить такой процесс, следует либо теплоизолировать газ, т.е. поместить его в адиабатную оболочку, либо провести процесс настолько быстро, чтобы изменение температуры газа, обусловленное его теплообменом с окружающей средой, было пренебрежимо мало по сравнению с изменением температуры, вызванным расширением или сжатием газа.

Уравнение первого закона термодинамики для адиабатного процесса в закрытой системе можно записать в виде

Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru и Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru . (4.11)

Имея в виду, что Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru , а Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru , и поделив с учетом этого первое из уравнений (4.11) на второе, получим,

Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru или Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru .

Интегрируя последнее уравнение при условии, что Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru , находим

Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru и Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru .

После потенцирования имеем Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru , или

Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru . (4.12)

Это и есть уравнение адиабаты идеального газа при постоянном отношении теплоемкостей (k = const).

Величина

Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru (4.13)

называется показателем адиабаты. Для одноатомного газа k = 1,66, для двухатомного k = 1,4, для трех- и многоатомных газов k = 1,33.

Поскольку k > 1, то в координатах p, v (рис. 4.4) линия адиабаты идет круче линии изотермы: при адиабатном расширении давление понижается быстрее, чем при изотермическом, так как в процессе расширения уменьшается температура газа.

Рис. 4.4. Изображение адиабатного процесса в p, v - и T, s - координатах

Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru

Записав из уравнения Клапейрона, написанного для состояний 1 и 2, отношение температуры через отношение давлений и заменив в нем отношение давлений через отношение объемов из уравнения (4.12) или наоборот, получим уравнение адиабатного процесса в форме, выражающей зависимость температуры от объема или давления:

Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru ; Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru . (4.14)

Работа расширения в адиабатном процессе согласно первому закону термодинамики совершается за счет уменьшения внутренней энергии и может быть вычислена по формуле

Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru .

Из Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru имеем Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru . Подставив отсюда cv в предыдущее соотношение, получим

Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru . (4.15)

В данном процессе теплообмен газа с окружающей средой исключается, поэтому q = 0. Выражение Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru показывает, что теплоемкость адиабатного процесса равна нулю.

Поскольку при адиабатном процессе dq = 0, энтропия рабочего тела не изменяется (ds = 0 и s = const). Следовательно, на Т, s - диаграмме равновесный адиабатный процесс изображается вертикальной прямой линией.

Политропный процесс и его обобщающее значение. Любой произвольный процесс можно описать в p, v - координатах (по крайней мере, на небольшом участке) уравнением

Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru , (4.16)

подбирая соответствующее значение n. Процесс, описываемый уравнением (4.16), называется политропным. Показатель политропы n может принимать любое численное значение в пределах от -¥ до +¥, но для данного процесса он является величиной постоянной.

Связь между параметрами в политропном процессе выражается теми же формулами, что и в адиабатном процессе с заменой показателя адиабаты k на показатель политропы n. Работа в политропном процессе Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru .

Смеси идеальных газов

Все зависимости, полученные выше для идеальных газов, справедливы и для их смесей, если в них подставлять газовую постоянную, молекулярную массу и теплоемкость смеси.

Закон Дальтона. В инженерной практике часто приходится иметь дело с газообразными веществами, близкими по свойствам к идеальным газам и представляющими собой механическую смесь отдельных компонентов различных газов, химически не реагирующих между собой. Это так называемые газовые смеси. В качестве примера можно назвать продукты сгорания топлива в двигателях внутреннего сгорания, топках печей и паровых котлов, влажный воздух в сушильных установках и т.д.

Основным законом, определяющим поведение газовой смеси, является закон Дальтона: полное давление смеси идеальных газов равно сумме парциальных давлений всех входящих в нее компонентов:

Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru . (4.17)

Парциальное давление pi – давление, которое имел бы газ, если бы он один при той же температуре занимал весь объем, занимаемый смесью.

Способы задания смеси. Состав смеси может быть задан массовыми, объемными или мольными долями.

Массовой долей называется отношение массы отдельного компонента Мi к массе смеси М:

Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru . (4.18)

Очевидно, что Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru и Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru .

Массовые доли часто задаются в процентах. Например, для сухого воздуха Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru 77 %; Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru 23 %.

Объемная доля представляет собой отношение приведенного объема газа Vi к полному объему смеси V:

Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru . (4.19)

Приведенным называется объем, который занимал бы данный газ, если бы его давление и температура равнялись давлению и температуре смеси.

Для вычисления приведенного объема Vi запишем два уравнения состояния для i-го компонента:

Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru ; (4.20)

Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru . (4.21)

Первое уравнение относится к состоянию компонента газа в смеси, когда он имеет парциальное давление pi и занимает полный объем смеси, а второе уравнение – к приведенному состоянию, когда давление и температура компонента равны, как и для смеси, р и Т. Из уравнений следует, что

Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru . (4.22)

Просуммировав соотношения (4.22) для всех компонентов смеси, с учетом закона Дальтона Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru получим Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru . Объемные доли также часто задаются в процентах. Для воздуха Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru 79 %, Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru 21 %.

Иногда бывает удобнее задать состав смеси мольными долями. Мольной долей называется отношение количества молей Ni рассматриваемого компонента к общему количеству молей смеси N.

Пусть газовая смесь состоит из N1 молей первого компонента, N2 молей второго компонента и т.д. Число молей смеси Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru , а мольная доля компонента будет равна Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru .

В соответствии с законом Авогадро объемы моля любого газа при одинаковых р и Т, в идеально газовом состоянии одинаковы. Поэтому приведенный объем любого компонента может быть вычислен как произведение объема моля Vm на число молей этого компонента, т.е. Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru , а объем смеси – по формуле Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru . Тогда Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru и, следовательно, задание смеси идеальных газов мольными долями равнозначно заданию ее объемными долями.

Газовая постоянная смеси газов. Просуммировав левые и правые части уравнения Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru (4.20) для всех компонентов смеси и имея в виду, что Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru , получим Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru . Учитывая, что Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru (4.17), можно записать

Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru , (4.23)

где

Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru . (4.24)

Из уравнения (4.23) следует, что смесь идеальных газов также подчиняется уравнению Клапейрона.

Поскольку в соответствии с (1.6) Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru , то из (4.24) следует, что газовая постоянная смеси [Дж/(кг×К)] равна

Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru , (4.25)

где mi выражена в кг/кмоль.

Кажущаяся молекулярная масса смеси. Выразим формально газовую постоянную смеси по формуле (1.6), введя кажущуюся молекулярную массу смеси mсм:

Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru . (4.26)

Сравнивая правые части соотношений (4.25) и (4.26), найдем

Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru . (4.27)

Из определения массовых долей следует, что

Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru . (4.28)

Просуммировав это соотношение для всех компонентов и учитывая, что Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru , получим выражение для кажущейся молекулярной массы смеси, заданной объемными долями:

Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru . (4.29)

Соотношение между объемными и массовыми долями.Подставив (4.29) в (4.28), получаем

Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru . (4.30)

Поскольку Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru , то

Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru .

Разделив числитель и знаменатель этой формулы на массу смеси М, получим

Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru . (4.31)

Теплоемкость смеси идеальных газов. Если смесь газов задана массовыми долями, то ее массовая теплоемкость с определяется как сумма произведений массовых долей на массовую теплоемкость каждого компонента, т. е.

Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru ; Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru . (4.32)

При задании смеси объемными долями объемная теплоемкость смеси

Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru ; Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru . (4.33)

Аналогично мольная теплоемкость смеси равна произведению объемных долей на мольные теплоемкости составляющих смесь газов:

Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru ; Термодинамические процессы идеальных газов в закрытых системах - student2.ru . (4.34)

Наши рекомендации