Вероятность. теоремы сложения и умножения вероятностей

Основные понятия комбинаторики

В разделе математики, который называется комбинаторикой, решаются некоторые задачи, связанные с рассмотрением множеств и составлением различных комбинаций из элементов этих множеств. Например, если взять 10 различных цифр 0, 1, 2, 3,: , 9 и составлять из них комбинации, то будем получать различные числа, например 143, 431, 5671, 1207, 43 и т.п.

Мы видим, что некоторые из таких комбинаций отличаются только порядком цифр (например, 143 и 431), другие - входящими в них цифрами (например, 5671 и 1207), третьи различаются и числом цифр (например, 143 и 43).

Таким образом, полученные комбинации удовлетворяют различным условиям.

В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций: перестановки, размещения, сочетания.

Предварительно познакомимся с понятием факториала.

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториаломи пишут вероятность. теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru .

Пример 1.

Вычислить: а) вероятность. теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru ; б) вероятность. теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru ; в) вероятность. теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru .

Решение. а) вероятность. теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru .

б) Так как вероятность. теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru и вероятность. теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru , то можно вынести за скобки вероятность. теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru

Тогда получим

вероятность. теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru .

в) вероятность. теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru .

Перестановки.

Комбинация из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов, называются перестановками.

Перестановки обозначаются символом Рn, где n- число элементов, входящих в каждую перестановку. (Р - первая буква французского слова permutation- перестановка).

Число перестановок можно вычислить по формуле

вероятность. теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru

или с помощью факториала:

вероятность. теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru

Запомним, что 0!=1 и 1!=1.

Пример 2. Сколькими способами можно расставлять на одной полке шесть различных книг?

Решение. Искомое число способов равно числу перестановок из 6 элементов, т.е.

вероятность. теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru .

Размещения.

Размещениями из m элементов в n в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо порядком из расположения.

Размещения обозначаются символом вероятность. теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru, где m- число всех имеющихся элементов, n- число элементов в каждой комбинации. (А-первая буква французского слова arrangement, что означает "размещение, приведение в порядок").

При этом полагают, что n вероятность. теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru m.

Число размещений можно вычислить по формуле

вероятность. теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru ,

т.е. число всех возможных размещений из m элементов по n равно произведению n последовательных целых чисел, из которых большее есть m.

Запишем эту формулу в факториальной форме:

вероятность. теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru .

Пример 3. Сколько вариантов распределения трех путевок в санатории различного профиля можно составить для пяти претендентов?

Решение. Искомое число вариантов равно числу размещений из 5 элементов по 3 элемента, т.е.

вероятность. теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru .

Сочетания.

Сочетаниями называются все возможные комбинации из m элементов по n, которые отличаются друг от друга по крайней мере хотя бы одним элементом (здесь m и n-натуральные числа, причем n вероятность. теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru m).

Число сочетаний из m элементов по n обозначаются вероятность. теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru (С-первая буква французского слова combination - сочетание).

В общем случае число из m элементов по n равно числу размещений из m элементов по n, деленному на число перестановок из n элементов:

вероятность. теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru

Используя для чисел размещений и перестановок факториальные формулы, получим:

вероятность. теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru

Пример 4. В бригаде из 25 человек нужно выделить четырех для работы на определенном участке. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Так как порядок выбранных четырех человек не имеет значения, то это можно сделать вероятность. теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru способами.

Находим по первой формуле

вероятность. теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru .

Кроме того, при решении задач используются следующие формулы, выражающие основные свойства сочетаний:

вероятность. теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru вероятность. теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru

(по определению полагают вероятность. теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru и вероятность. теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru );

вероятность. теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru .

Решение комбинаторных задач

Задача 1. На факультете изучается 16 предметов. На понедельник нужно в расписание поставить 3 предмета. Сколькими способами можно это сделать?

Решение. Способов постановки в расписание трех предметов из 16 столько, сколько можно составить размещений из 16 элементов по 3.

вероятность. теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru .

Задача 2. Из 15 объектов нужно отобрать 10 объектов. Сколькими способами это можно сделать?

Решение.

вероятность. теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru

Задача 3. В соревнованиях участвовало четыре команды. Сколько вариантов распределения мест между ними возможно?

Решение.

вероятность. теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru .

Задача 4. Сколькими способами можно составить дозор из трех солдат и одного офицера, если имеется 80 солдат и 3 офицера?

Решение. Солдат в дозор можно выбрать

вероятность. теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru

способами, а офицеров вероятность. теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru способами. Так как с каждой командой из солдат может пойти любой офицер, то всего имеется вероятность. теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru способов.

Задача 5. Найти вероятность. теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru , если известно, что вероятность. теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru .

Решение.

Так как вероятность. теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru , то получим

вероятность. теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru ,

вероятность. теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru ,

вероятность. теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru ,

вероятность. теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru

вероятность. теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru , вероятность. теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru .

По определению сочетания следует, что вероятность. теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru , вероятность. теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru . Т.о. вероятность. теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru .

Ответ: 9

Наши рекомендации