Термодинамические процессы, циклы

Примеры решения задач

20.Азот массой Термодинамические процессы, циклы - student2.ru г занимает объем Термодинамические процессы, циклы - student2.ru л и находиться под давлением Термодинамические процессы, циклы - student2.ru 0 МПа. Сначала этот газ нагревается при неизменном давлении до объема Термодинамические процессы, циклы - student2.ru л, а затем при постоянном объеме до давления Термодинамические процессы, циклы - student2.ru МПа. Найти:

а) изменение Термодинамические процессы, циклы - student2.ru внутренней энергии газа;

б) совершенную системой работу Термодинамические процессы, циклы - student2.ru ;

в) количество теплоты Термодинамические процессы, циклы - student2.ru , переданной газу;

г) конечную температуру Термодинамические процессы, циклы - student2.ru .

Построить график процесса на P – V-диаграмме.

Дано: Термодинамические процессы, циклы - student2.ru г Термодинамические процессы, циклы - student2.ru л Термодинамические процессы, циклы - student2.ru МПа Термодинамические процессы, циклы - student2.ru л Термодинамические процессы, циклы - student2.ru МПа Термодинамические процессы, циклы - student2.ru кг/моль Решение Анализ условия задачи начнём с построения графика процесса на P – V-диаграмме, учитывая соотношения величин Термодинамические процессы, циклы - student2.ru , Термодинамические процессы, циклы - student2.ru , Термодинамические процессы, циклы - student2.ru , Термодинамические процессы, циклы - student2.ru . Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru  
 
а) Термодинамические процессы, циклы - student2.ru – ? б) Термодинамические процессы, циклы - student2.ru – ? в) Термодинамические процессы, циклы - student2.ru – ? г) Термодинамические процессы, циклы - student2.ru – ?    
 
 
 

Как видно из рисунка, система из состояния 1 переходит в конечное состояние 3 сначала по изобаре 1 – 2, а затем по изохоре 2 – 3. Из графика следует, что работа Термодинамические процессы, циклы - student2.ru , совершенная газом в этом процессе, равна площади прямоугольника под изобарой 1 – 2, т. е.

Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Дж.

Для определения изменения внутренней энергии газа в рассматриеваемом процессе Термодинамические процессы, циклы - student2.ru используем уравнение Клапейрона – Менделеева

pV = Термодинамические процессы, циклы - student2.ru (1)

и выражение для внутренней энергии двухатомного идеального газа:

Термодинамические процессы, циклы - student2.ru (2)

Из уравнений (1) и (2) для Термодинамические процессы, циклы - student2.ru U следует

Термодинамические процессы, циклы - student2.ru

Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Дж.

Из первого закона термодинамики для количества теплоты Термодинамические процессы, циклы - student2.ru , переданного газу, получается:

Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Дж.

Из уравнения Клапейрона – Менделеева (1) для конечной температуры газа Т3 имеем:

Термодинамические процессы, циклы - student2.ru К.

Ответ: Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Дж; Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Дж; Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Дж; Термодинамические процессы, циклы - student2.ru К.

21.Одноатомный газ, имевший при давлении Термодинамические процессы, циклы - student2.ru кПа объем Термодинамические процессы, циклы - student2.ru м3, сжимался изобарически до объема Термодинамические процессы, циклы - student2.ru ,0 м3 , затем – адиабатически сжимался и на последнем участке цикла, расширялся при постоянной температуре до начального объема и давления. Найти теплоту Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru , полученную газом от нагревателя, теплоту Термодинамические процессы, циклы - student2.ru , переданную газом холодильнику, работу Термодинамические процессы, циклы - student2.ru , совершенную газом за весь цикл, КПД цикла Термодинамические процессы, циклы - student2.ru . Изобразить цикл на P – V-диаграмме.

Дано: Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru кПа Термодинамические процессы, циклы - student2.ru м3 Термодинамические процессы, циклы - student2.ru ,0 м3 Решение Анализ условия задачи начнём с построения графика цикла на P – V-диаграмме, учитывая соотношения величин Термодинамические процессы, циклы - student2.ru , Термодинамические процессы, циклы - student2.ru , Термодинамические процессы, циклы - student2.ru , Термодинамические процессы, циклы - student2.ru , Термодинамические процессы, циклы - student2.ru . Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru    
Термодинамические процессы, циклы - student2.ru ? Термодинамические процессы, циклы - student2.ru ? Термодинамические процессы, циклы - student2.ru ? Термодинамические процессы, циклы - student2.ru ?  
 
 
 

Как видно из рисунка, на первом участке цикла 1 – 2 газ сжимался изобарически, отдавая холодильнику количество теплоты Термодинамические процессы, циклы - student2.ru и совершая работу Термодинамические процессы, циклы - student2.ru . По первому закону термодинамики для перехода из состояния 1 в состояние 2 можно записать:

Термодинамические процессы, циклы - student2.ru , (1)

где Термодинамические процессы, циклы - student2.ru – изменения внутренней энергии газа. Выражение для внутренней энергии одноатомного газа имеет вид:

Термодинамические процессы, циклы - student2.ru , (2)

где Термодинамические процессы, циклы - student2.ru – количество вещества, а уравнение Клапейрона – Менделеева:

Термодинамические процессы, циклы - student2.ru (3)

Используем уравнения (2), (3) и тот факт, что работа газа на участке 1 – 2 равна площади прямоугольника (с обратным знаком) под изобарой 1 – 2, для количества теплоты Термодинамические процессы, циклы - student2.ru из соотношения (1) получим

Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Дж.

Знак “минус” показывает, что количество теплоты Термодинамические процессы, циклы - student2.ru отдаётся газом холодильнику.

Количество теплоты Термодинамические процессы, циклы - student2.ru , которое получает газ от нагревателя на изотерме 3 – 1 при температуре Термодинамические процессы, циклы - student2.ru , по первому закону термодинамики равно:

Термодинамические процессы, циклы - student2.ru , (4)

где Термодинамические процессы, циклы - student2.ru – работа, совершённая газом на участке 3 – 1.

Как известно, работа газа при изотермическом процессе определяется формулой

Термодинамические процессы, циклы - student2.ru . (5)

Состояния (3) и (1) находятся на одной изотерме, поэтому

Термодинамические процессы, циклы - student2.ru . (6)

В то же время состояния (3) и (2), как видно из рисунка, соответствует одной адиабате, поэтому из уравнения Пуассона следует

Термодинамические процессы, циклы - student2.ru (7)

где Термодинамические процессы, циклы - student2.ru – показатель адиабаты одноатомного идеального газа Термодинамические процессы, циклы - student2.ru . Исключая из уравнений (6) и (7) величины давления Термодинамические процессы, циклы - student2.ru и Термодинамические процессы, циклы - student2.ru , получим Термодинамические процессы, циклы - student2.ru (8)

Используя формулы (3), (5) и (8) для количества теплоты Термодинамические процессы, циклы - student2.ru из соотношения (4) имеем

Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Дж.

Работа Термодинамические процессы, циклы - student2.ru , совершённая газом за цикл, как вытекает из первого закона термодинамики, Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Дж.

Для КПД цикла Термодинамические процессы, циклы - student2.ru имеем: Термодинамические процессы, циклы - student2.ru

Ответ: Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Дж; Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Дж; Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Дж; Термодинамические процессы, циклы - student2.ru

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

2.20. Молекулярный кислород массой m = 250 г, имевший температуру Т1 = 200 К, был адиабатно сжат. При этом была совершена работа А = 25 кДж. Определить конечную температуру Т2 газа.

(354 K)

2.21. Газ адиабатически расширяется, изменяя объем в 2 раза, а давление в 2,64 раза. Определить молярные теплоемкости Cp и Cv этого газа.

(Cp = 29,1 Дж/(моль×К), Cv = 20,8 Дж/(моль×К))

2.22. Некоторое количество азота n, имеющего параметры состояния p1, V1, T1, переходит при постоянной температуре в состояние 2, а затем при постоянном объеме – в состояние 3. Определить работу перехода 1 – 3, изменение внутренней энергии газа и теплоту, полученную при переходах, если в конце процесса установилась температура T3 и давление p3 = p1. Изобразить процесс 1 – 3 на диаграмме V-T.

(A1-3 = nRT1ln(T3/T1); DU1-3 = (5/2)nR(T3 – T1);

Q = nR[(5/2)(T3-T1)+T1ln(T3/T1)])

2.23. Азот плотностью r1 = 1,4 кг/м3 занимает объем V1 = 5 л при температуре t1 = 27 °C. Газ адиабатически переведен в состояние с плотностью r = 3,5 кг/м3. Определить температуру газа T2 в конце перехода и изменение его внутренней энергии. Построить переход на диаграмме S – T.

(T2 = 433 К; DU = 691 Дж)

2.24. Нагревается или охлаждается идеальный газ, если он расширяется по закону р1/2×V = const? Изобразите этот закон на диаграмме (V – T). Считая этот процесс политропическим, определить, чему равен показатель политропы h. При расширении газа тепло подводится к нему или отводится от него? Сравнить теплоёмкость С этого процесса с СV.

V > С)

2.25. Нагревается или охлаждается идеальный газ, если он расширяется по закону р2V = const? Изобразите этот закон на диаграмме (р-Т). Считая этот процесс политропическим, определить чему равен показатель политропы h. При расширении газа тепло подводится к нему или отводится от него? Сравнить теплоёмкость С этого процесса с СV.

η = Термодинамические процессы, циклы - student2.ru ; С>Сv)

2.26. В сосуде вместимостью V = 10 л находится идеальный газ под давлением p1 = 1,0×105 Па. Стенки сосуда могут выдержать максимальное давление p2 = 1,0×106 Па. Какое максимальное количество тепла Q можно сообщить газу? Постоянная адиабаты g = 1,4.

(Q = 23 кДж)

2.27. Некоторую массу азота сжали в 5 раз (по объёму) двумя разными способами: один раз изотермически, другой раз адиабатически. Начальное состояние газа в обоих случаях одинаково. Найти отношение соответствующих работ, затраченных на сжатие газа. Изобразить процессы в координатах P – V и Т – S.

(AТ/AА = 0,712)

2.28. В бензиновом автомобильном двигателе степень сжатия горючей смеси равна 6,2. Смесь засасывается в цилиндр при температуре t1 = 15 °C. Найти температуру t2 горючей смеси к концу такта сжатия. Горючую смесь рассматривать как двухатомный идеальный газ, процесс считать адиабатным.

(324 °С)

2.29. Тепловая машина работает по циклу Карно, КПД которого h = 0,25. Каков будет холодильный коэффициент k Термодинамические процессы, циклы - student2.ru машины, если она будет совершать тот же цикл в обратном направлении? Холодильным коэффициентом называется отношение количества теплоты, отнятого от охлаждаемого тела, к работе двигателя, приводящего в движение машину.

(k Термодинамические процессы, циклы - student2.ru = 3)

2.30. Один моль одноатомного идеального газа совершает тепловой цикл Карно между тепловыми резервуарами с температурами t1 = 127 °С и t2 = 27 °С. Наименьший объем газа в ходе цикла V1 = 5,0 л, наибольший V3 = 20 л. Какую работу А совершает эта машина за один цикл? Сколько тепла Q1 берет она от высокотемпературного резервуара за один цикл? Сколько тепла Q2 поступает за цикл в низкотемпературный резервуар?

(Q1 = 3,2×103 Дж; Q2 = 2,4×103 Дж; A = 8,1×102 Дж)

2.31.Трехатомный идеальный газ с жесткой связью между молекуламисовершает цикл Карно, при этом в процессе адиабатного расширения объем газа увеличивается в 4 раза. Определите термический КПД цикла.

( Термодинамические процессы, циклы - student2.ru )

2.32. Найти КПД цикла, состоящего из двух изохор и двух изотерм, если в пределах цикла объём изменяется в k раз, а абсолютная температура в t раз. Рабочим веществом является идеальный газ с показателем адиабаты g.

Термодинамические процессы, циклы - student2.ru

Энтропия

Пример решения задачи

22. При нагревании двухатомного идеального газа ( Термодинамические процессы, циклы - student2.ru = 2 моля) его термодинамическая температура увеличилась в 2 раза (n = 2). Определите изменение энтропии, если нагревание происходит: 1)изохорно; 2) изобарно.

Дано: i = 5 Термодинамические процессы, циклы - student2.ru = 2,0 моля Термодинамические процессы, циклы - student2.ru = Термодинамические процессы, циклы - student2.ru 1) V = const 2) p = const Решение 1)V = const. Из определения энтропии Термодинамические процессы, циклы - student2.ru . Изменение энтропии Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru , где Термодинамические процессы, циклы - student2.ru – молярная теплоёмкость при постоянном давлении. Так как Термодинамические процессы, циклы - student2.ru , то Термодинамические процессы, циклы - student2.ru = 28,8 Дж/К Термодинамические процессы, циклы - student2.ru 29 Дж/К
Термодинамические процессы, циклы - student2.ru ? Термодинамические процессы, циклы - student2.ru ?

2) р = const.

Учитывая что Термодинамические процессы, циклы - student2.ru , где Термодинамические процессы, циклы - student2.ru – молярная теплоёмкость при постоянном давлении аналогично п. 1 получим:

Термодинамические процессы, циклы - student2.ru

= Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Дж/К.

Ответ: 1) Термодинамические процессы, циклы - student2.ru 29 Дж/К; 2) Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Дж/К.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

2.33. Какое количество тепла Q нужно сообщить 75 г водяных паров, чтобы нагреть их от 100 С до 250 °С при постоянном давлении? Определите изменение энтропии водяного пара.

(Q = 20,8 кДж; DS = 47,5 Дж/К)

2.34. Определить изменение DS энтропии при изотермическом расширении кислорода массой m = 10 г от объема V1 = 25 л до объема V2 = 100 л. (Относительная молекулярная масса кислорода 32).

(3,6 Дж/К)

2.35. Найти изменение DS энтропии при нагревании воды массой m = 100 г от температуры t1 = 0 °C до температуры t2 = 100 °C и последующим превращении воды в пар той же температуры. Удельная теплоемкость воды C = 4,18 кДж/(кг×К), удельная теплота парообразования воды 2,25×103 кДж/кг.

(737Дж/К)

2.36. Найти изменение DS энтропии при превращении массы m = 200 г льда, находившегося при температуре t1 = -10,7 °C в воду при t2 = 0 °C.

Теплоемкость льда считать не зависящей от температуры. С = 2,1×103 Дж/(кг×К). Температуру плавления принять равной 273 К.Удельная теплота плавления льда l = 333×103 Дж/кг.

(DS = m[C×ln(T2/T1)+l/T2] = 261 Дж/К)

2.37. Один киломоль газа изобарически нагревается от 20 до 600 °С, при этом газ поглощает 1,20×107 Дж тепла. Найти число степеней свободы молекулы газа i; построить зависимость энтропии S как функцию от температуры Т газа.

(i = 3)

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ

Электростатика. Диэлектрики

Примеры решения задач

23. По тонкому кольцу равномерно распределен заряд Q = 40 нКл с линейной плотностью Термодинамические процессы, циклы - student2.ru = 50 нКл/м. Определить напряженность Термодинамические процессы, циклы - student2.ru электрического поля, создаваемого этим зарядом в точке А, лежащей на оси кольца и удаленной от его центра на расстояние, равное половине радиуса.

Дано: Q = 40 нКл = Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Кл Термодинамические процессы, циклы - student2.ru = 50 нКл/м = = Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Кл/м h = Термодинамические процессы, циклы - student2.ru  
Термодинамические процессы, циклы - student2.ru

Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru

Напряженность поля, создаваемого этим зарядом Термодинамические процессы, циклы - student2.ru

где Термодинамические процессы, циклы - student2.ru – электрическая постоянная; Термодинамические процессы, циклы - student2.ru – единичный вектор, направленный вдоль r . Разложим вектор Термодинамические процессы, циклы - student2.ru на две составляющие: Термодинамические процессы, циклы - student2.ru вдоль оси Z, и Термодинамические процессы, циклы - student2.ru , перпендикулярную оси z ,т.е.

Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru .

Напряжённость Термодинамические процессы, циклы - student2.ru электрического поля в точке А найдём интегрированием

Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru ,

где интегрирование ведется по всем элементам заряженного кольца. Заметим, что для каждой пары зарядов dQ и d Термодинамические процессы, циклы - student2.ru , расположенных симметрично относительно центра кольца, векторы Термодинамические процессы, циклы - student2.ru и Термодинамические процессы, циклы - student2.ru , в точке А равны по модулю и противоположны по направлению Термодинамические процессы, циклы - student2.ru = – Термодинамические процессы, циклы - student2.ru , т.е компенсируют друг друга.

Составляющие Термодинамические процессы, циклы - student2.ru для всех элементов кольца сонаправлены с осью z, т.е. Термодинамические процессы, циклы - student2.ru = Термодинамические процессы, циклы - student2.ru .

Тогда Термодинамические процессы, циклы - student2.ru

Так как Термодинамические процессы, циклы - student2.ru , Термодинамические процессы, циклы - student2.ru ; Термодинамические процессы, циклы - student2.ru , то

Термодинамические процессы, циклы - student2.ru .

Таким образом Термодинамические процессы, циклы - student2.ru .

Поскольку Термодинамические процессы, циклы - student2.ru , то радиус кольца Термодинамические процессы, циклы - student2.ru .

Тогда Термодинамические процессы, циклы - student2.ru .

Значение напряженности на расстоянии z = h = R/2.

Термодинамические процессы, циклы - student2.ru = 7000 В/м = 7,9 кВ/м

Ответ: Е = 7,9 кВ/м.

24. Электрическое поле создается бесконечным цилиндром радиусом R, равномерно заряженным с линейной плотность τ. Определите разность потенциалов между двумя точками этого поля, лежащими на расстоянии Термодинамические процессы, циклы - student2.ru и Термодинамические процессы, циклы - student2.ru от поверхности этого цилиндра. Решение

       
  Термодинамические процессы, циклы - student2.ru
    Термодинамические процессы, циклы - student2.ru
 


Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Дано Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru R Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru τ Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru
Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru φ1 – φ2 ?

Интегрирал по гауссовой поверности, верхности раскладываем на три интеграла: по верхнему и нижнему основаниям, по боковой поверхности. Интеграл по верхнему основанию Термодинамические процессы, циклы - student2.ru , так как угол Термодинамические процессы, циклы - student2.ru между вектором элементарной площадки Термодинамические процессы, циклы - student2.ru и вектором Термодинамические процессы, циклы - student2.ru равен π /2 и cos π /2 = 0. Аналогично для нижнего основания. Остается интеграл по боковой поверхности Термодинамические процессы, циклы - student2.ru , здесь угол Термодинамические процессы, циклы - student2.ru = 0, cos 0 = 1, значение напряженности Е на одном и том же расстоянии r одинаково, Е выносим за знак интеграла Термодинамические процессы, циклы - student2.ru . В правой части теоремы Гаусса заряд, охватываемый гауссовой поверхностью Термодинамические процессы, циклы - student2.ru . Таким образом, получаем

Термодинамические процессы, циклы - student2.ru

Термодинамические процессы, циклы - student2.ru

Для нахождения разности потенциалов воспользуемся связью напяженности и потенциала

Термодинамические процессы, циклы - student2.ru .

Для случая радиальной симметрии, реализующейся у нас,

Термодинамические процессы, циклы - student2.ru .

Интегрируя это выражение, получим

Термодинамические процессы, циклы - student2.ru или

Термодинамические процессы, циклы - student2.ru .

Ответ: Термодинамические процессы, циклы - student2.ru .

25. Плоский конденсатор, между обкладками которого помещена стеклянная пластинка Термодинамические процессы, циклы - student2.ru ( Термодинамические процессы, циклы - student2.ru = 6) толщиной l = 2,00 мм, заряжен до напряжения U = 200 В (рис. 1). Пренебрегая величиной заряда между пластинкой и обкладками, найти а) поверхностную плотность Термодинамические процессы, циклы - student2.ru свободных зарядов на обкладках конденсатора, а также б) поверхностную плотность Термодинамические процессы, циклы - student2.ru связанных зарядов (зарядов поляризации) на стекле. Изобразить силовые линии электрического поля в стекле и воздушном зазоре между стеклом и обкладками.

Решение: Величину σ выразим через напряженность поля Е внутри конденсатора. Поскольку введение диэлектрика между его обкладками уменьшает эту напряженность поля в Термодинамические процессы, циклы - student2.ru раз, используем формулу поля напряженности для плоского конденсатора Термодинамические процессы, циклы - student2.ru = Термодинамические процессы, циклы - student2.ru , с учетом наличиия диэлектрика  
Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Дано:

Термодинамические процессы, циклы - student2.ru = 6,0

Термодинамические процессы, циклы - student2.ru = 2,00 мм

U = 200 В

σ – ? σ´ – ? Термодинамические процессы, циклы - student2.ru силовые линии Е

Термодинамические процессы, циклы - student2.ru (1)

Отсюда, учитывая соотношение Е = Термодинамические процессы, циклы - student2.ru , справедливое для однородного поля конденсатора, найдем:

Термодинамические процессы, циклы - student2.ru (2)

Чтобы определить величину Термодинамические процессы, циклы - student2.ru , воспользуемся формулой Термодинамические процессы, циклы - student2.ru = Термодинамические процессы, циклы - student2.ru (поверхностная плотность связанных зарядов равна проекции вектора поляризованности Термодинамические процессы, циклы - student2.ru на внешнюю нормаль к поверхности диэлектрика). Так как вектор Термодинамические процессы, циклы - student2.ru параллелен вектору напряженности Термодинамические процессы, циклы - student2.ru поля в диэлектрике, направленному по нормали к поверхности стеклянной пластинки, то Термодинамические процессы, циклы - student2.ru = Термодинамические процессы, циклы - student2.ru . Учитывая соотношение Термодинамические процессы, циклы - student2.ru = æ Термодинамические процессы, циклы - student2.ru , где æ – диэлектрическая проницаемость среды и соотношение Термодинамические процессы, циклы - student2.ru æ, получим:

Термодинамические процессы, циклы - student2.ru æ Термодинамические процессы, циклы - student2.ru (3)

Подставляя в формулы (2) и (3) величины в единицах СИ: U = 200 B, Термодинамические процессы, циклы - student2.ru = 2,00 Термодинамические процессы, циклы - student2.ru м, Термодинамические процессы, циклы - student2.ru = 8.85 Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Ф/м, найдем:

Термодинамические процессы, циклы - student2.ru = Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru = Термодинамические процессы, циклы - student2.ru

Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Чтобы изобразить силовые линии электрического поля в стекле и воздуш ном зазоре, надо помнить, что густота силовых линий пропорциональна напряженности поля, а диэлектрическая проницаемость среды Термодинамические процессы, циклы - student2.ru показывает во сколько раз поле внутри диэлектрика слабее поля внутри зазора, следовательно густота силовых линий внутри стеклянной пластинки в шесть раз меньше, чем в зазоре (рис. 2).

Ответ: Термодинамические процессы, циклы - student2.ru = Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru = Термодинамические процессы, циклы - student2.ru

26. Определить дивергенцию следующих векторных полей:

a) Термодинамические процессы, циклы - student2.ru , где f(x) – некоторая функция декартовой координаты х;

b) Термодинамические процессы, циклы - student2.ru , где Термодинамические процессы, циклы - student2.ru – радиус-вектор точки, в которой определяется дивергенция.

Дано: а) Термодинамические процессы, циклы - student2.ru ; b) Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Решение По определению Термодинамические процессы, циклы - student2.ru . a) Термодинамические процессы, циклы - student2.ru ; b) Выразим радиус-вектор через компоненты:
div Термодинамические процессы, циклы - student2.ru - ?

Термодинамические процессы, циклы - student2.ru ,

Термодинамические процессы, циклы - student2.ru .

Ответ:а) Термодинамические процессы, циклы - student2.ru ; b) div Термодинамические процессы, циклы - student2.ru = 3.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

3.1. Шар радиусом R заряжен однородно с объёмной плотностью r. Найти напряженность поля Термодинамические процессы, циклы - student2.ru для точек внутри и вне шара.

( Термодинамические процессы, циклы - student2.ru ; Термодинамические процессы, циклы - student2.ru )

3.2. Бесконечно тонкая прямая нить заряжена однородно с плотностью l. Найти напряженность электрического поля Е и потенциал j как функции расстояния r от нити. Потенциал на расстоянии r0 положить равным нулю.

(E = (1/2pe0) l/r; j = -(l/2pe0) ln(r/r0))

3.3. Тонкий длинный стержень равномерно заряжен с линейной плотностью t = 1,5 нКл/см. На продолжении оси стержня на расстоянии d = 12 см от его конца находится точечный заряд Q = 0,20 мкКл. Определить силу взаимодействия заряженного стержня и точечного заряда.

(F = 2,2 мН)

3.4. По тонкому проволочному кольцу радиусом r = 60 мм равномерно распределен заряд q = 20 нКл.

а) приняв ось кольца за ось х, найти потенциал j и напряженность поля Термодинамические процессы, циклы - student2.ru на оси кольца как функцию х (начало отсчета х поместить в центр кольца);

б) исследовать случаи х = 0 и ½х½>> r.

(E = (1/4pe0Термодинамические процессы, циклы - student2.ru ; j = (1/4pe0) Термодинамические процессы, циклы - student2.ru )

3.5. Чему равен поток вектора Термодинамические процессы, циклы - student2.ru через поверхность сферы, внутри объема которой находится:

а) заряд е;

б) заряд -е;

в) диполь с моментом Термодинамические процессы, циклы - student2.ru ?

Объясните результат с помощью картины силовых линий электрического поля.

3.6. Металлический шар радиусом R помещен в однородное электрическое поле. Изобразите качественную картину силовых и эквипотенциальных линий электрического поля.

3.7. Два точечных заряда +е и -е расположены в точках с координатами (а/2,0,0), (-а/2,0,0). Построить качественно график зависимости проекции напряженности поля Ех(х) для точек, лежащих на оси х (у = 0).

3.8. Найти зависимость плотности зарядов от декартовых координат ρ(x,y, z), при которой напряженность поля описывалась бы функцией Термодинамические процессы, циклы - student2.ru (В/м).

(ρ(x,y, z) = Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Кл/м3)

3.9. Потенциал поля, создаваемого некоторой системой зарядов, имеет вид: j = a(x2+y2)-bz2, где а и b – положительные константы. Найти напряженность поля Е и ее модуль ½Е½. Построить графики зависимости Ex = f(x), Ez = f(z).

(E = Термодинамические процессы, циклы - student2.ru ; Термодинамические процессы, циклы - student2.ru )

3.10. Плоский воздушный конденсатор подключили к батарее, а затем отключили от неё. После этого уменьшим расстояние между пластинами конденсатора в 2 раза. Как изменится:

а) энергия, запасенная конденсатором;

б) заряд на обкладках конденсатора;

в) плотность энергии электрического поля конденсатора?

3.11. Диэлектрическая пластина шириной 2а с проницаемостью e = 2 помещена в однородное электрическое поле напряженности Е, силовые линии которого перпендикулярны пластине.

а) изобразите на рисунке линии полей Е и D электрического поля;

б) постройте качественно графики зависимостей Ех, Dх от х (ось х перпендикулярна пластине, вектор Е направлен вдоль оси х, точка х = 0 находится в середине пластины).

3.12. Диэлектрическая пластинка с проницаемостью e = 2 помещена в однородное электрическое поле с напряженностью Е. Линии поля Е образуют некоторый угол j с поверхностью пластины. Изобразите качественно линии полей Е и D в вакууме и в пластине. Постройте качественно графики зависимостей Еx = f(x) и Dx = f(x).

3.13. Внутри плоской однородной диэлектрической пластины с e = 3 вектор напряженности однородного электрического поля составляет угол j с поверхностью пластины. Считая, что с одной стороны пластины вакуум, а с другой стороны диэлектрик с e = 2, изобразить качественно линии Е и D электрического поля в трех указанных средах. Построить качественно зависимости Еx = f(x) и Dx = f(x). Ось ОХ перпендикулярна поверхностям пластины, а ее толщина d.

3.14. Плоский воздушный конденсатор опустили в воду так, что поверхность воды параллельна плоскостям пластин, а ее уровень расположен на расстоянии h от нижней пластины. Найти зависимость электроемкости конденсатора от величины h, если площадь пластины S, а расстояние между ними d.

(С = Термодинамические процессы, циклы - student2.ru )

3.15. Электрическое поле создается равномерно заряженным шаром радиусом R с объемной плотностью заряда r. Определить зависимость вектора электрического смещения электрического поля от r. Построить качественно график D = f(r).

(D = (1/3)rr; D = (r/3)×(R3/r2))

Постоянный ток

Примеры решения задач

27. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено многослойным диэлектриком, обладающим слабой электропроводностью. Диэлектрическая проницаемость диэлектрика Термодинамические процессы, циклы - student2.ru монотонно уменьшается от пластины 1 от значения Термодинамические процессы, циклы - student2.ru до значения Термодинамические процессы, циклы - student2.ru у пластины 2. Удельная электропроводность Термодинамические процессы, циклы - student2.ru монотонно уменьшается от пластины 1 от значения Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Ом.-1 м-1 до значения Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Ом.-1 м-1 у пластины 2. Конденсатор включен в цепь с постоянной ЭДС, и в нем устанавливается постоянный электрический ток силой Термодинамические процессы, циклы - student2.ru А, текущий через диэлектрик от стороны 1 конденсатора к стороне 2. Найти величину свободного заряда Термодинамические процессы, циклы - student2.ru , возникшего в диэлектрике при протекании тока.

Дано: Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Ом.-1м-1 Термодинамические процессы, циклы - student2.ru Ом.-1м-1 Термодинамические процессы, циклы - student2.ru А Решение Среда между пластинами конденсатора обладает как электропроводящими, так и диэлектрическими свойствами. Поэтому в решении используется закон Ома в диф

Наши рекомендации