В контуре без активного сопротивления

При рассмотрении электрических колебаний приходится иметь дело с токами, изменяющимися со временем. Закон Ома и вытекающие из него правила Кирхгофа были установлены для постоянного тока. Однако они остаются справедливыми и для мгновенных значений изменяющихся тока и напряжения, если их изменения происходят не слишком быстро. Электромагнитные возмущения распространяются по цепи с огромной скоростью, равной скорости света. Если В контуре без активного сопротивления - student2.ru – длина цепи, то на прохождение её электромагнитное возмущение затрачивает время В контуре без активного сопротивления - student2.ru , где В контуре без активного сопротивления - student2.ru - скорость света в вакууме.

Ток называется квазистационарным, когда мгновенные значения тока оказываются практически одинаковыми на всех участках цепи. Для периодически изменяющихся токов условие квазистационарности будет выполнено, если В контуре без активного сопротивления - student2.ru где В контуре без активного сопротивления - student2.ru - период изменений.

Например, для цепи длиной В контуре без активного сопротивления - student2.ru время В контуре без активного сопротивления - student2.ru , поэтому токи можно считать квазистационарными вплоть до частот В контуре без активного сопротивления - student2.ru (это соответствует В контуре без активного сопротивления - student2.ru ).

Мы будем рассматривать только квазистационарные токи при изучении всех видов электрических колебаний. Мгновенные значения квазистационарных токов подчиняются закону Ома. Следовательно, для них справедливы и правила Кирхгофа.

В цепи, содержащей катушку индуктивностью В контуре без активного сопротивления - student2.ru и конденсатор ёмкостью В контуре без активного сопротивления - student2.ru , могут возникать электрические колебания. Поэтому такую цепь называют колебательным контуром.Выясним, каким образом в колебательном контуре возникают и поддерживаются электрические колебания.

В контуре без активного сопротивления - student2.ru

Пусть вначале верхняя обкладка конденсатора заряжена положительно, а нижняя отрицательно (рис. 17,а). При этом вся энергия колебательного контура сосредоточена в конденсаторе. Замкнем ключ В контуре без активного сопротивления - student2.ru . Конденсатор начнет разряжаться, и через катушку В контуре без активного сопротивления - student2.ru потечет ток. Электрическая энергия конденсатора начнет превращаться в магнитную энергию катушки. Этот процесс закончится, когда конденсатор полностью разрядиться, а ток в цепи достигнет максимума (рис.17,б). С этого момента ток, не меняя направления, начнет убывать. Однако он прекратится не сразу – его будет поддерживать э.д.с. самоиндукции ( В контуре без активного сопротивления - student2.ru ). Ток будет перезаряжать конденсатор, возникает электрическое поле, стремящееся ослабить ток. Наконец ток прекратился, а заряд на конденсаторе достигнет максимума. С этого момента конденсатор начнет разряжаться опять, ток потечет в обратном направлении и т.д. - процесс будет повторяться.

В контуре при отсутствии сопротивления проводников совершаются строго периодические колебания. В ходе процесса периодически изменяются заряд на обкладках конденсатора, напряжение на нём и ток через катушку. Колебания сопровождаются взаимными превращениями энергии электрического и магнитного полей.

Найдем уравнение колебаний в контуре без активного сопротивления. Прежде всего, выберем положительное направление обхода контура, например, по часовой стрелке, т.е. условимся считать положительным ток, заряжающий конденсатор. Тогда

В контуре без активного сопротивления - student2.ru . (58)

Напишем для колебательного контура выражение закона Ома:

В контуре без активного сопротивления - student2.ru . (59)

В нашем случае В контуре без активного сопротивления - student2.ru .

Подставив эти значения в (59), получаем:

В контуре без активного сопротивления - student2.ru . (60)

Учитывая, что В контуре без активного сопротивления - student2.ru , получаем уравнение

В контуре без активного сопротивления - student2.ru . (61)

Сравнение уравнения (61) с уравнением (5) показывает, что уравнение (61) является дифференциальным уравнением гармонических колебаний. Из этого сравнения находим собственную частоту колебаний в контуре:

В контуре без активного сопротивления - student2.ru ,(62)

а уравнение (61) принимает вид:

В контуре без активного сопротивления - student2.ru (63)

Решением этого уравнения является гармоническая функция

В контуре без активного сопротивления - student2.ru . (64)

Для периода собственных колебаний получается так называемая формула Томсона:

В контуре без активного сопротивления - student2.ru . (65)

Напряжение на конденсаторе равно

В контуре без активного сопротивления - student2.ru (66)

Продифференцировав функцию (64), получим выражение для силы тока:

В контуре без активного сопротивления - student2.ru . (67)

Таким образом, сила тока опережает по фазе напряжение на конденсаторе на В контуре без активного сопротивления - student2.ru .

Сопоставление формул (64) и (66) с формулой (67) показывает, что в момент, когда ток достигает наибольшего значения, заряд и напряжение на конденсаторе обращаются в нуль, и наоборот. Из формул (66) и (67) следует, что

В контуре без активного сопротивления - student2.ru , В контуре без активного сопротивления - student2.ru

Взяв отношение этих амплитуд, получаем

В контуре без активного сопротивления - student2.ru (68)

Эту формулу можно получить, исходя из того, что наибольшее значение энергии электрического поля должно быть равно наибольшему значению магнитного поля, т.е.

В контуре без активного сопротивления - student2.ru .

Наши рекомендации