Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне

Выведем формулы скорости и расхода жидкости при истечении через малое отверстие. Пусть жидкость вытекает из большого резервуара через малое отверстие в его дне или стенке (рис. 39).

Опытами установлено, что сжатое сечение струи находится от внутренней поверхности резервуара на расстоянии около половины диаметра отверстия. Эта величина обычно бывает мала сравнительно с напором Н в резервуаре, и можно считать, что центр отверстия и центр сжатого сечения струи находятся на одинаковой высоте, тем более при отверстии в боковой стенке.

Высоту уровня жидкости в резервуаре Н над центром отверстия называют геометрическим напором. В общем случае давление Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru в резервуаре отличается от давления Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru в пространстве, куда истекает жидкость.

Проведем плоскость сравнения 2-2 через центр сжатого сечения струи.

Уравнение Д. Бернулли применить к сечению отверстия нельзя, так как струйки в последнем сходятся под большими углами, и движение жидкости в нем не плавно изменяющееся.

Напишем уравнение Д. Бернулли для сечений 1-1 и 2-2

Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru , (124)

где Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru – скорость подхода жидкости к отверстию в резервуаре; Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru – средняя скорость течения в сжатом сечении; Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru –коэффициент местного сопротивления при истечении через отверстие.

Перенесем наружное давление Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru в левую часть и обозначим величину

Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru . (125)

Эта величина называется напором истечения.

В правой части уравнения (124) вынесем за скобки Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru . Тогда уравнение Д. Бернулли сведется к

Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru ,

откуда

Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru .

Обозначим величину

Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru . (126)

Величину Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru называют коэффициентом скорости.

С учетом введенного обозначения

Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru . (127)

Так как коэффициент Кориолиса Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru , а коэффициент местных потерь напора в отверстии Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru , то Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru . По опытным данным Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru , а Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru . Отсюда

Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru .

Для идеальной жидкости Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru и Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru . Тогда

Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru . (128)

Это уравнение называется формулой Торичелли. Оно показывает, что скорость в начале вытекающей струи равна скорости свободного падения тела, упавшего с высоты Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru .

Когда поперечное сечение резервуара много больше площади живого сечения отверстия, а скорость жидкости в резервуаре незначительна (к примеру, меньше 0,1 м/сек), то скоростным напором Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru можно пренебречь. В случае, когда давления снаружи и в резервуаре одинаковы Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru ,то весь напор истечения сводится к геометрическому напору, т. е. Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru . Это бывает обычно при расчете истечения из открытых резервуаров в атмосферу.

Расход жидкости определится как произведение скорости истечения на площадь сжатого сечения струи

Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru , (129)

где Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru –коэффициент сжатия струи, равный отношению площади сжатого сечения Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru кплощади отверстия Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru .

Величину Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru обозначают через Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru и называют коэффициентом расхода.

Таким образом, расход жидкости, вытекающей через отверстие, определяют по формуле

Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru . (130)

При точных измерениях размеров сжатого сечения струи установлено, что при совершенном сжатии струи Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru . В этом случае Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru . В общем же случае коэффициент расхода Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru зависит от условий сжатия.

При истечении не в газовую среду, а в смежный резервуар с той же жидкостью (что принято называть истечением «под уровень»), т. е. когда отверстие затоплено с обеих сторон, в качестве геометрического напора Н принимают разность уровней жидкости в резервуарах. Числовые значения коэффициентов Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru , Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru и Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru остаются при этом практически теми же.

В случае круглого отверстия, расположенного на значительном расстоянии от стенок, струя сжимается со всех сторон одинаково, и в сжатом сечении имеет также форму круга; при этом сжатое сечение находится от кромок отверстия на расстоянии около половины диаметра отверстия – Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru . Величина коэффициента сжатия зависит от относительных размеров отверстия и от положения его относительно стенок резервуара и поверхности жидкости.

В зависимости от расположения отверстия различают следующие виды сжатия (рис. 40):

1) полное сжатие со всех сторон (отверстия 1 и 2);

2)неполное, когда сжатия нет с одной или нескольких сторон (отверстия 3, 4и 5).

Полное сжатие подразделяют на:

а) совершенное, когда Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru и Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru (отверстие 1);

б) несовершенное, когда Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru и Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru (отверстие 2).

Форма сечения струи жидкости при истечении претерпевает изменения.

Эти изменения называются инверсией. Инверсия происходит вследствие того, что скорости подхода к отверстию в разных точках его периметра различны и вследствие сил поверхностного натяжения. На рис. 41 показано изменение формы струи при истечении через квадратное отверстие по мере удаления от резервуара.

При несовершенном сжатии коэффициент расхода Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru вычисляют по формулам:

Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru для круглых отверстий

Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru (131)

для прямоугольных отверстий

Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru (132)

где Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru – значение коэффициента расхода при совершенном сжатии; Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru и Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru – поправочные коэффициенты, зависящие от отношения площади сечения отверстий Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru к площади сечения сосуда Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru . Значения этих коэффициентов принимают по таблице:

Значение величин Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru и Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru при несовершенном сжатии

Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00
Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru 0,014 0,034 0,059 0,092 0,134 0,189 0,26 0,351 0,471 0,631
Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru 0,019 0,042 0,071 0,107 0,152 0,208 0,278 0,365 0,473 0,608

При неполном сжатии коэффициент расхода вычисляют по уравнениям:

для круглых отверстий

Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru ; (133)

для прямоугольных отверстий

Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru , (134)

где Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru – коэффициент расхода при полном сжатии; Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru –часть периметра, на котором нет сжатия; Р – полный периметр отверстия.

При расчете больших отверстий значения коэффициентов расхода, рекомендованных Н. Н. Павловским, приведены в таблице:

Значения коэффициентов расхода для больших отверстий

Виды отверстий и характер сжатия струи коэффициент расхода Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при постоянном уровне - student2.ru
Большие отверстия с несовершенным, но всесторонним сжатием ............................................................ 0,70
Большие отверстия с умеренным боковым сжатием, без сжатия по дну .......................................................... 0,80
Средние отверстия (шириной до 2 м) с весьма слабым боковым сжатием, без сжатия по дну ………. 0,90
Большие отверстия (шириной 5-6 м) с весьма слабым боковым сжатием, без сжатия по дну ………… 0,95

Наши рекомендации