Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. €

Считается, что законы Кеплера послужили экспериментальной основой ля вывода закона тяготения.

Законы Кеплера:

1) все планеты движутся по эллиптическим траекториям, в одном из фокусов которого Солнце.

2) за любые равные промежутки времени радиус-вектор планеты описывает одинаковую площадь,

то есть Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru

3) отношение квадратов периода вращения планет к кубу длин больших полуосей одинаков для всех планет: Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru .

Покажем, что законы Кеплера могут быть использованы для вывода закона всемирного тяготения.

Предположим, что все орбиты круговые и так как вектор Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru направлен то касательной к траектории, то Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru . Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru , где Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru , так как движение равномерное.

Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru
Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru
Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru , где Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru

согласно третьему закону Кеплера.

Таким образом Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru

Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru . По третьему закону Ньютона: Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru . Следовательно Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru . Таким образом, Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru => Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru

Ньютон предположил, что Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru , где Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru - гравитационная постоянная.

Таким образом, Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru – закон тяготения между планетами солнца. Ньютон также предположил, что все тела во вселенной испытывают притяжения друг к другу. Для точечных тел закон всемирного тяготенияимеет вид: Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru

Эта сила прямо пропорциональна произведению их масс точечных тел и обратно пропорциональна квадрату расстояний между ними.

Особенности: 1) Силы тяготения всегда силы притяжения;

2) не зависят от физической (химической) природы тела;

3)в силу малости гравитационной постоянной Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru гравитационные силы имеют значимое значение для больших масс. Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru =g Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru . где Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru ускорение силы тяжести. Таким образом, для небольших высот Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru , тогда Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru , ускорение силы тяжести Земли одинаково для всех тел. (Закон справедлив и для тел сферической формы).

4) Сравним закон тяготения со вторым законом Ньютона: Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru , Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru

Одинакова ли масса гравитационная и инерционная? Было показано с точностью Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru

Принцип эквивалентности:

Если есть система, движущаяся с ускорением Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru и находящаяся в гравитационном поле, то исследователь, находящийся в этой системе, не может определить, какая часть сил обусловлена гравитационными силами , а какая – ускоренным движением системы.

Ньютон не стал давать объяснения физической природы гравитационных сил, назвав их силами дальнодествия. Соврененая теория- это теория полевого взаимодествия материальных тел.

Полевая теория

Любое тело создает вокруг себя поле – гравитационное поле.

Свойства гравитационного поля:

1) Оно непрерывно распределено в пространстве, проникает в другие поля и вещества.

2) Это поле действует с некоторой силой на все тела, помещенные в это поле.

Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru – сила тяготения зависит не только от выбора точки поля (x,y,z) и массы тела, создающего поле ( Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru ,) , но и от массы «пробного» тела (m), что крайне не удобно для характеристики поля. Поэтому введем другую величину.

Напряженность гравитационного поля Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru - -численно равна силе, дейсвующей на единичную массу, помещённую в данную точку поля. Тогда закон примет вид:

Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru

1) Поле Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru имеет точно такую же структуру, что и точечное тело такой же массs M, помещенной в центре сферы. (для Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru )

2) Это поле цетральное (поле центробежных сил.)

То есть поле потенциально, то:

1) работа сил поля A зависит только от начальной и конечной точки, а не от траектории.

Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru Знак минус т.к. угол между силой и радиус-вектором Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru Тогда Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru

2) Так как работа равна изменению энергии,то имеет смысл разность потенциальных энергий

тела в двух точках поля:

Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru Найдём эту энергию через работу

Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru . Тогда Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru -разность потенциалов двух точек гравитационного поля: численно равна работе сил поля по перемещению единичной массы из первой точки во вторую.

Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru

1. Если Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru Тело удаляется, работа совершается против сил поля (притяжения). Работа отрицательна, потенциальная энергия растет.

2. Если Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru . Тела сближаются силами поля, работа положительна, потенциальная энергия уменьшается.

3. Если принять: Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru Здесь Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru -радиус Земли.

Так как Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru .

4. Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru = Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru

Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru Тогда потенциал произвольной точки поля :

Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru –относительно бесконечности: численно равен работе, которую нужно совершить, чтобы единичную массу перенести из данной точки в бесконечность.

Определим энергии гравитационного поля Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru .

Пусть имеем шар массы Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru и радиусом-R. Энергию гравитационного поля шара можно определить как работу по переносу всей массы тела в бесконечность. Так как потенциал поверхности будет меняться с изменением размеров шара (и его массы), то следует переносить массу б.малыми порциями dm. Тогда Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru -текущее значение потенциала поверхности шара. Выразим m(r): Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru dr и можно записать в явном виде: Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru .

Подставляя в выражение для работы: Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru => Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru Таким образом Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru , Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru

Примеры

1. Считая, что полная энергия электрона равна его гравитационной, получим: Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru

Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru см – совпадает с другими методами вычислений. 2..Применим последнюю формулу к произвольному гравитационному объекту:

Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru = Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru Это гравитационный радиус объекта.

Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru величина Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru оказалась чрезвычайно информативной и важной.

1) Можно оценить гравитационную энергию объекта. Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru (Посчитав плотность энергии, излучаемой Солнцем , учёные пришли к выводу о наличии еще каких- то источников энергии , в частности, энергию термоядерной реакции.

2) Если сравнить истинный радиус планеты и её гравитационный радиус, то при Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru , с планеты нельзя излучать никакие виды энергии ( в том числе и свет). То есть, мы эту планету не увидим. Следовательно, возникает ЧЁРНАЯ ДЫРА.

Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru
Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru

Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru
Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru
Движение в гравитационном поле

Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru
Поставим задачу о движении двух тел:

Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru
Имеем два тела: массами Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru и Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru . Одно движется в

гравитационном поле другого от точки отсчета проведены радиус-векторы.

Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru , где Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru - единичный вектор.

Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru

Начальные условия: Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru , Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru , еще наложить условия Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru

Вычтем: Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru – приведённая масса, тогда

Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru - уравнение движения одного тела, относительно другого.

Решение этого уравнения достаточно сложное. Для качественных оценок можно использовать

законы сохранения:

Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru Здесь два последних слагаемых есть функции координат (r) т.е потенциальная энергия- Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru ,(Так как N = const по закону сохранения момента импульса

Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru функция от r) Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru

Замечания Качественный анализ.

1) Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru кинетическая энергия тела может быть только положительной

Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru : Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru но полное не может быть меньше Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru

Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru

1. Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru - для частицы с массой m.

Единственное решение Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru движение строго по окружности с Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru . r

2. Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru , то Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru существует два решения в некотором интервале Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru

Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru движение по эллипсу.

3. Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru движение по параболе (разомкнута относительно Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru ).

4. Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. € - student2.ru движение по гиперболе (разомкнута вообще).

Наши рекомендации