Для электростатического поля в диэлектрике

Напряженность электростатическо- го поля, согласно (88.5), зависит от свойств среды: в однородной изотроп- ной среде напряженность поля Е обрат- но пропорциональна Вектор напря- женности Ё, переходя через границу диэлектриков, претерпевает скачкооб- разное изменение, создавая тем самым неудобства при расчетах электростати- ческих полей. Поэтому оказалось необ- ходимым помимо вектора напряженно- сти характеризовать поле еще векто- ром электрического смещения, кото- рый для электрически изотропной сре- ды, поопределению,

(89.1)

Используя формулы (88.6) и (88.2), вектор электрического смещения мож- но выразить как

(89.2)

Единица электрического смещения —

кулон на метр в квадрате (Кл/м2).

Рассмотрим, с чем можно связать вектор электрического смещения. Свя- занные заряды появляются в диэлект- рике при наличии внешнего электро- статического поля, создаваемого систе-

мой свободных электрических зарядов, т. е. в диэлектрике на электростатичес- кое поле свободных зарядов наклады- вается дополнительное поле связанных зарядов. Результирующее поле в ди- электрике описывается вектором на- пряженности Е, и потому он зависит от свойств диэлектрика.

Вектором D описывается электро- статическое поле, создаваемое свобод- ными зарядами. Связанные заряды, воз- никающие в диэлектрике, могут выз- вать, однако, перераспределение сво- бодных зарядов, создающих поле. По- этому вектор электро- статическое поле, создаваемое свобод- ными зарядами (т.е. в вакууме), но при таком их распределении в простран- стве, какое имеется при наличии диэлек- трика.

Аналогично, как и поле поле D изображается с помощью линий элек- трического смещения, направление и густота которых определяются точно так же, как и для линий напряженнос- ти (см. § 79).

Линии вектора могут начинаться и заканчиваться на любых зарядах — свободных и связанных, в то время как линиивектора D — толькопасвободных зарядах. Через области поля, где нахо- дятся связанные заряды, линии векто- ра D проходят не прерываясь.

Для произвольной замкнутой по- верхности вектора D сквозь эту поверхность

где — проекция вектора D на нор- маль п площадке

Теорема Гаусса для электроста- тического поля в диэлектрике:

т. е. поток вектора смещения электро- статического поля в диэлектрике сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключен- ных внутри этой поверхности свобод- ных электрических зарядов. В такой форме теорема Гаусса справедлива для электростатического поля как для од- нородной и изотропной, так и для не- однородной и анизотропной сред.

Для вакуума = = 1), тогда поток вектора напряженности Е сквозь произвольную замкнутую поверхность [ср. с (81.2)] равен

Так как источниками поля Ё в среде являются как свободные, так и связан- ные заряды, то теорему Гаусса (81.2) для поля Ё в самом общем виде можно записать как

где соответственно ал- гебраические суммы свободных и свя- занных зарядов, охватываемых замкну- той поверхностью S. Однако эта форму- ла неприемлема для описания поля Ё в диэлектрике, так как она выражает свойства неизвестного поля Ё через связанные заряды, которые, в свою оче- редь, определяются им же. Это еще раз доказывает целесообразность введения вектора электрического смещения.

§ 90. Условия на границе раздела двухдиэлектрическихсред

Рассмотрим связь между векторами

Ё D на границе раздела двух однород-

ных изотропных диэлектриков (ди- электрические проницаемости которых и при отсутствии на границе сво- бодных зарядов. Построим вблизи гра- ницы раздела диэлектриков 1 2 не- большой замкнутый прямоугольный контур ABCDA длиной ориентировав его так, как показано на рис. 138. Со- гласно теореме (83.3) о циркуляции

вектора Е,

откуда

(знаки интегралов по разные, так как пути интегрирования противо- положны, аинтегралы поучасткам ВС

DA ничтожно малы). Поэтому

(90.1)

Заменив, согласно (89.1), проекции вектора Ё проекциями вектора D, де- ленными наполучим

Награнице раздела двух диэлектри- ков 139) построим прямой ци- линдр ничтожно малой высоты, одно основание которого находится впервом диэлектрике, другое —во втором. Ос-

малы, что в пре- делах каждого из них вектор D одина- ков. Согласно теореме Гаусса (89.3),

(нормали п и п' основаниям цилинд- ра направлены противоположно). По- этому

Рис. 138

Рис. 139

Таким образом, при переходе через границу раздела двух диэлектрических сред тангенциальная составляющая вектора нормальная составля- ющая вектора изменяются не- прерывно (не претерпевают скачка), а нормальная составляющая вектора тангенциальная составляющая

вектора претерпевают скачок.

Из условий для со- ставляющих векторов Ё и D следует, что линии этих векторов испытывают излом (преломляются). Найдем связь между углами и (на рис. 140

> Согласно (90.1) и (90.4), =

и = Разложим векто- ры границы раздела на тан- и нормальные составляю-

щие. Из рис. 140 следует

140

(90.3)

Заменив, согласно (89.1), проекции вектора D проекциями вектора Е, ум- ноженными наполучим

Учитывая записанные выше условия, получим закон преломления линий на- пряженности Е (а значит, и линий сме- щения D)

Эта формула показывает, что, входя в диэлектрик с большей диэлектричес- кой проницаемостью, линии

ляются от нормали.

§ 91. Сегнетоэлектрики

— диэлектрики, обладающие в определенном интерва- ле температур спонтанной {самопроиз- вольной) поляризованностью, т. е. поля- ризованностыо в отсутствие внешнего электрического поля. К сегнетоэлект- рикам относятся, например, детально изученные И.В.Курчатовым (1903 — 1960) и П. П. Кобеко (1897-1954) сег-

нетова соль • (от нее и получили свое название сегнетоэлек- трики) и титанат бария

При отсутствии внешнего электри- ческого поля представ- ляет собой как бы мозаику из доменов — областей с различными направлениями

Это схематически показано на примере титаната бария (рис. где стрелки и знаки зывают направление вектора Р. Так как в смежных доменах эти направления различны, то в целом дипольный мо- мент диэлектрика равен нулю. При вне- сении сегнетоэлектрика во внешнее поле происходит переориентация ди-

польных моментов доменов по полю, а возникшее при этом суммарное элект- рическое поле доменов будет поддер- живать их некоторую ориентацию и после прекращения действия внешне- го поля. Поэтому сегнетоэлектрики имеют аномально большие значения диэлектрической проницаемости (для соли, например, 104).

Сегнетоэлектрические свойства сильно зависят от температуры. Для каждого сегнетоэлектрика имеется оп- ределенная температура, выше которой его необычные свойства исчезают и он становится обычным диэлектриком. Эта температура называется точкой Кюри [в честь французского физика Пьера Кюри Как прави- ло, сегнетоэлектрики имеют только одну точку Кюри; исключение составля- ют лишь сегнетова соль (—18 и +24 °С) и изоморфные с нею соединения. В сег- нетоэлектриках вблизи точки Кюри наблюдается также резкое возрастание теплоемкости вещества. Превращение сегнетоэлектриков в обычный диэлек- трик, происходящее в точке Кюри, сопровождается фазовым переходом II рода (см. § 75).

Диэлектрическая проницаемость (а следовательно, и диэлектрическая восприимчивость сегнетоэлектриков зависит от напряженности Ё поля в ве- ществе, а для других диэлектриков эти величины являются характеристиками вещества.

Для сегнетоэлектриков формула (88.2) не соблюдается; для них связь меж- ду векторами (Р) и

напряженности (Ё) нелинейная и зави- сит от значений Е в предшествующие моменты времени. В сегнетоэлектриках наблюдается явление диэлектриче- ского гистерезиса («запаздывания»). Как видно из рис. 142, с увеличением напряженности Е внешнего электри-

166

Рис. 142

ческого поля поляризованность Р рас- тет, достигая насыщения (кривая 1). Уменьшение Р с уменьшением Е про- исходит по кривой 2, и при Е 0 сегне- тоэлектрик сохраняет остаточную по- ляризованность т.е. сегнетоэлек- трик остается поляризованным в отсут- ствие внешнего электрического поля.

Чтобы уничтожить остаточную по- ляризованность, надо приложить элек- трическое поле обратного направления Величина называется коэрци- тивнойсилой (отлат. coercitio— удер- живание). Если далее изменять Е, то Р изменяется по кривой 3 петли гисте- резиса.

Интенсивному изучению сегнето- электриков послужило открытие акаде- миком Б.М.Вулом (1903—1985) ано- мальных диэлектрических свойств ти- таната бария. Титанат бария из-за его химической устойчивости и механической прочности, а также из-за сохранения сегнетоэлектрических свойств в широком температурном ин- тервале нашел большое научно-техни- ческое в каче-

стве генератора и приемника ультразву- ковых волн). В настоящее время извес- тно более сотни сегнетоэлектриков, не считая их твердых растворов. электрики широко применяются также в качестве материалов, обладающих большими значениями (например, в конденсаторах).

упомянуть еще о пьезоэлект- риках ~ кристаллических веществах, в ко-

торых при сжатии или растяжении в опре- деленных направлениях возникает поляри- зованность даже в отсутствие внешнего электрического поля (прямой пъезоэф-

Наблюдается и обратный пьезоэф- фект — появление механической деформа- ции под действием электрического поля. У некоторых пьезоэлектриков решетка по- ложительных ионов в состоянии термоди- намического равновесия смещена относи- тельно решетки отрицательных ионов, в ре- зультате чего они оказываются поляризо- ванными даже без внешнего электрическо- го поля. Такие кристаллы называются пи- роэлектриками.

Еще существуют электреты — диэлек- трики, длительно сохраняющие поляризо- ванное состояние после снятия внешнего электрического поля (электрические анало- ги постоянных магнитов). Эти группы ве- ществ находят широкое применение в тех- нике и бытовых устройствах.

§92.Проводники

В электростатическом поле

Если поместить проводник во внеш- нее электростатическое поле или его зарядить, то на заряды проводника бу- дет действовать электростатическое поле, в результате чего они начнут пе- ремещаться. Перемещение зарядов (ток) продолжается до тех пор, пока не установится равновесное распределе- ние зарядов, при котором электроста- тическое поле внутри проводника обра- щается в нуль. Это происходит в тече- ние очень короткого времени. В самом деле, если бы поле не было равно нулю, то в проводнике возникло бы упорядо- ченное движение зарядов без затраты энергии от внешнего источника, что противоречит закону сохранения энер- гии. Итак, напряженность поля во всех точках внутри проводника равна нулю:

Отсутствие поля внутри проводни- ка означает, согласно (85.2), что потен- циал во всех точках внутри проводни- ка постоянен = const), т.е. поверх- ность проводника в электростатиче- ском поле является эквипотенциальной (см. § 85). Отсюда же следует, что век- тор напряженности поля на внешней поверхности проводника направлен по нормали к каждой точке его поверхно- сти. Если бы это было не так, то под дей- ствием касательной составляющей Ё начали бы по поверхности про- водника перемещаться, что, в свою оче- редь, противоречило бы равновесному

распределению зарядов.

Если проводнику сообщить некото- рый заряд Q, то

зарядырасполагаютсятолькопаповерх- ности проводника. Это следует непос- редственно из теоремы Гаусса (89.3), согласно которой заряд Q, находящий- ся внутри проводника в некотором объеме, ограниченном произвольной замкнутой поверхностью,

так как во всех точках внутри поверх- ности D = 0.

Найдем взаимосвязь между напря- женностью Е поля вблизи поверхнос- ти заряженного проводника и поверх- ностной плотностью а зарядов на его поверхности. Для этого применим тео- рему Гаусса к бесконечно малому ци- линдру с основаниями AS, пересекаю-

Рис. 143

щему границу «проводник

рик». Ось цилиндра ориентирована вдоль вектора (рис. 143). Поток век- тора электрического смещения через внутреннюю часть цилиндрической поверхности нулю, так как внут- ри проводника (а следовательно, и равен нулю, поэтому поток вектора D сквозь замкнутую цилиндрическую поверхность определяется только пото- ком сквозь наружное основание цилинд- ра. Согласно теореме Гаусса (89.3), этот поток (DAS) равен сумме зарядов охватываемых поверхнос-

тью: DAS т.е.

(92.1)

(92.2)

где е — диэлектрическая проницаемость среды, окружающей проводник.

Таким образом, напряженность электростатического поля у поверхно- сти проводника определяется поверх- ностной плотностью зарядов. Можно показать, что соотношение (92.2) зада- ет напряженность электростатического поля вблизи поверхности проводника любой формы.

Если во внешнее электростатиче- ское поле внести нейтральный провод- ник, то свободные заряды (электроны, ионы) будут перемещаться: положи- тельные — по полю, отрицательные — против поля (рис. 144, На одном кон- це проводника будет скапливаться из- быток положительного заряда, на дру- гом — избыток отрицательного. Эти за- ряды называются индуцированными. Процесс будет происходить до тех пор, пока напряженность поля внутри про- водника не станет равной нулю, а ли- нии напряженности вне проводника — перпендикулярными его поверхности

(рис. 144, б). Таким образом, нейтраль- ный проводник, внесенный в электро- статическое поле, разрывает часть ли- ний напряженности; они заканчивают- ся на отрицательных индуцированных зарядах и вновь начинаются на положи- тельных. Индуцированные заряды рас- пределяются на внешней поверхности проводника. Явление перераспределе- ния поверхностных зарядов на провод- нике во внешнем электростатическом поле называется электростатиче- ской индукцией.

Из рис. 144, следует, что индуци- рованные заряды появляются на про- воднике вследствие смещения их под действием поля, т. е. ст является поверх- ностной плотностью смещенных заря- дов. По (92.1), электрическое смеще- ние D вблизи проводника численно равно поверхностной плотности сме- щенных зарядов. Поэтому вектор D получил название вектора электриче- скогосмещения.

Так как в состоянии равновесия внутри проводника заряды отсутству- ют, то создание внутри него полости не повлияет на конфигурацию расположе- ния зарядов и тем самым на электроста- тическое поле. Следовательно, внутри полости поле будет отсутствовать. Если теперь этот проводник с полостью за- землить, то потенциал во всех точках полости будет нулевым, т.е. полость полностью изолирована от влияния внешних электростатических полей. На этом основана электростатическая защита — экранирование тел, напри- мер измерительных приборов, от влия- ния внешних электростатических по- лей. Вместо сплошного проводника для защиты может быть использована гус- тая металлическая сетка, которая, кста- ти, является эффективной при наличии не только постоянных, и переменных электрических полей.

Рис. 144

Свойство зарядов располагаться на внешней поверхности проводника ис- пользуется для устройства электро- статических генераторов, предназ- наченных для накопления больших за- рядов и достижения разности потенци- алов в несколько миллионов вольт. Электростатический генератор, изобре- тенный американским физиком Р. Ван- дер-Граафом (1901 — состоит из шарообразного полого проводника 1 (рис. 145), укрепленного на изолято- рах 2. Движущаяся замкнутая лента 3 из прорезиненной ткани заряжается от источника напряжения с помощью си- стемы остриев 4, соединенных с одним из полюсов источника, второй полюс которого заземлен. Заземленная плас- тина 5 усиливает стекание зарядов с ос- триев на ленту. Другая система остри- ев б снимает заряды с ленты и передает их полому шару, и они переходят на его

Рис. 145

внешнюю поверхность. Таким образом, сфере передается постепенно большой заряд и удается достичь разности потен- циалов в несколько миллионов вольт. Электростатические генераторы при- меняются в высоковольтных ускорите- лях заряженных частиц, а также в сла- боточной высоковольтной технике.

§ 93. Электроемкость уединенного проводника

Рассмотрим уединенный провод- ник, т. е. проводник, который удален от других проводников, тел и зарядов. Его потенциал, согласно (84.5), пропорци- онален заряду проводника.

Из опыта следует, что разные про- водники, будучи одинаково заряжен- ными, имеют различные потенциалы. Поэтому для уединенного проводника можно записать

Величину

(93.1)

называют электроемкостью (или просто емкостью) уединенного про- водника. Емкость уединенного провод- ника определяется зарядом, сообщение которого проводнику изменяет его по- тенциал на единицу.

Емкость проводника зависит от его размеров и формы, но не зависит от материала, агрегатного состояния, фор- мы и размеров полостей внутри провод- ника. Это связано с тем, что избыточ- ные заряды распределяются на внеш- ней поверхности проводника. Емкость также не зависит от заряда проводника и его потенциала.

Единица электроемкости — фарад

(Ф): 1 Ф — емкость такого уединенно-

гопроводника, потенциал которого из- меняется на 1 Впри сообщении ему за- ряда 1Кл.

Согласно (84.5), потенциал уединен- ного шара радиусом R, находящегося воднородной среде с диэлектрической проницаемостью е, равен

Используя формулу (93.1), полу- чим, что емкость шара

(93.2)

Отсюда следует, что емкостью 1 Фобладал быуединенный шар, находя- щийся ввакууме и имеющий радиус

— •км, что примерно в1400 раз больше радиуса Земли (элект- роемкость Земли 0,7 мФ). Следо- вательно, фарад — очень большая вели- чина, поэтому на практике используют- ся дольные единицы — миллифарад (мФ), микрофарад (мкФ), нанофарад (нФ), пикофарад (пФ). Из формулы (93.2) вытекает также, что единица электрической постоянной — фарад на метр (Ф/м) [см. (78.3)].

§94.Конденсаторы

Чтобы проводник обладал большой электроемкостью, он должен иметь очень большие размеры (см. § 93). На практике, однако, необходимы устрой- ства, обладающие способностью при малых размерах и небольших относи- тельно окружающих тел потенциалах накапливать значительные по величи- не заряды, иными словами, обладать большой емкостью. Эти устройства по- лучили название конденсаторов.

Если к заряженному проводнику приближать другие тела, то на них воз-

пикают индуцированные (на проводни- ке) или связанные (на диэлектрике) заряды, причем ближайшими к наводя- щему заряду Q будут заряды противо- положного знака. Эти заряды, есте- ственно, ослабляют поле, создаваемое зарядом Q, т.е. понижают потенциал проводника, что приводит [см. (93.1)] к повышению его электроемкости.

Конденсатор состоит на двух про- водников (обкладок), разделенных ди- электриком. На емкость конденсатора не должны оказывать влияния окружа- ющие тела, поэтому проводникам при- дают такую форму, чтобы поле, созда- ваемое накапливаемыми зарядами, было сосредоточено в узком зазоре между обкладками конденсатора. Это- му условию удовлетворяют (см. § 82):

1) две плоские пластины; 2) два коак- сиальных цилиндра; 3) две концентри- ческие сферы. Поэтому в зависимости от формы обкладок конденсаторы де- лят на плоские, цилиндрические и сфе- рические.

Так как поле сосредоточено внутри конденсатора, то линии

начинаются на одной обкладке и кон- чаются на другой, поэтому свободные заряды, возникающие на разных об- кладках, являются равными по модулю разноименными зарядами. Под емкос- тью конденсатора понимается физи- ческая величина, равная отношению заряда Q, накопленного в конденсато- ре, к разности потенциалов — между его обкладками:

(94.1)

_ Q

'

Рассчитаем емкость плоского кон- денсатора, состоящего из двух парал- лельных металлических пластин пло- щадью S каждая, расположенных на расстоянии d друг от друга и имеющих заряды + Q и — Q. Если расстояние меж-

ду пластинами мало по сравнению с их линейными размерами, то краевыми эффектами можно пренебречь и поле между обкладками считать однород- ным. Его можно рассчитать, используя формулы (86.1) и (94.1). При наличии диэлектрика между обкладками раз- ность потенциалов между ними, соглас- но (86.1),

(94.2)

где — диэлектрическая проницае- мость.

Тогда из формулы (94.1), заменяя Q = с учетом (94.2), получим выра- жение для емкости плоского конденса- тора:

(94.3)

Для определения емкости цилиндриче- ского конденсатора, состоящего из двух по- лых коаксиальных цилиндров радиусами

вставленных один в другой, опять пренебрегая краевыми эффектами, считаем иоле радиально-симметричным и сосредоточенным между цилиндрическими обкладками.

Разность потенциалов между обкладка- ми вычислим по формуле (86.3) для ноля равномерно заряженного бесконечного ци- линдра с линейной плотностью т = (I —

длина обкладок). При наличии диэлектри- ка между обкладками разность потенциалов

Подставив (94.4) в (94.1), получим вы- ражение для емкости цилиндрического кон- денсатора:

Для определения емкости сферического конденсатора, состоящего из двух концент-

рических обкладок, разделенных сфериче- ским слоем диэлектрика, используем форму- лу (86.2) для разности потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях

> от центра заряженной сферичес- кой поверхности. При наличии диэлектрика между обкладками разность потенциалов

(94.6)

Подставив (94.6) в (94.1), получим

(94.7)

ческой обкладки, то получаем формулу (94.3). Таким образом, при малой величине зазора по сравнению с радиусом сферы вы- ражения для емкости сферического и плос- кого конденсаторов совпадают. Этот вывод справедлив и для цилиндрического конден- сатора: при малом зазоре между цилиндра- ми по сравнению с их радиусами в формуле (94.5) In можно разложить в ряд, ограни- чиваясь только членом первого порядка. В результате опять приходим к формуле (94.3).

Из формул (94.3), (94.5) и (94.7)

вытекает, что емкость конденсаторов любой формы пропорциональна диэ- лектрической проницаемости диэлект- рика, заполняющего пространство меж- ду обкладками. Поэтому применение в качестве прослойки сегнетоэлектриков значительно увеличивает емкость кон- денсаторов.

Конденсаторы характеризуются пробивным напряжением -— разно- стью потенциалов между обкладками конденсатора, при которой происходит

Рис. 146

пробой — электрический разряд через слой диэлектрика в конденсаторе. Про- бивное напряжение зависит от формы обкладок, свойств диэлектрика и его толщины.

Для увеличения емкости и варьиро- вания ее возможных значений конден- саторы соединяют в батареи, при этом используется их параллельное и после- довательное соединения.

1. Параллельное соединение кон- денсаторов (рис. 146). У параллельно соединенных конденсаторов разность потенциалов на обкладках конденсато- ров одинакова и равна — Если ем- кости отдельных конденсаторов

..., то, согласно (94.1), их заряды равны

азаряд батареи конденсаторов

Полная емкость батареи

т. е. при параллельном соединении кон- денсаторов она равна сумме емкостей отдельных конденсаторов.

2. Последовательное соединение конденсаторов (рис. 147). У последова- тельно соединенных конденсаторов заря- ды всех обкладок равны по модулю, а раз- ность потенциалов на зажимах батареи

где для любого из рассматриваемых кон- денсаторов Сдругой стороны,

Рис. 147

откуда

т. е. при последовательном соединении конденсаторов суммируются величи- ны, обратные емкостям. Таким образом, при последовательном соединении кон- денсаторов результирующая емкость С всегда меньше наименьшей емкости, используемой в батарее.