ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов

Задачи

Задача 1. Рассмотреть применение принципа Ле Шателье для случая стационарного состояния при термодиффузии.

Решение. Представим себе, что в смеси поддерживается температурный градиент, вызывающий появление градиента концентрации. Предположим также, что смесь состоит из двух компонентов. Пусть концентрация компоненты 1 увеличивается у горячей стенки резервуара, в котором эта смесь заключена. Добавим некоторое количество вещества в холодную часть резервуара. Тогда градиент концентрации понижается. По принципу Ле Шателье, возникает поток, который перемещает некоторое количество вещества 1 к горячей стороне резервуара. Таким образом, возмущение компенсируется этим потоком, как этого требует принцип Ле Шателье.

Задача 2. Найти дифференциальную формулу динамического уравнения состояния однородной системы и, пользуясь им, определить выражение для релаксации объема, температуры и давления.

Решение. Рассмотрим закрытую систему, в которой протекает процесс релаксации соответствующий внутреннему параметр у ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru . Пусть система немного отклоняется от исходной системы, которая характеризуется температурой ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru , давлением ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru и внутренним параметром ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru . Подобно формуле

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru . (1)

при условиях близких к равновесию,

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru , (2)

где A – сродство внутреннего превращения,

a – феноменологический коэффициент, зависящий от ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru , ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru , ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru .

Выбираем в качестве независимых параметров ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru и ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru . Тогда ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru . Как и в случае (1), в исходном состоянии ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru равно нулю. Для условий близких к начальным имеем

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru . (3)

Уравнение состояния системы вблизи исходного состояния можно представить в виде

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru . (4)

Входящие в формулы (3) и (4) частные производные относятся к исходному состоянию и, следовательно, для данной системы постоянны. Выразим их через термодинамические коэффициенты:

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru ,

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru ,

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru ,

где ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru - коэффициент расширения;

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru - коэффициент изотермической сжимаемости;

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru - изменение объема в результате реакции;

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru - энтропия реакции.

Уравнения (2) и (4) принимают такой вид:

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru , (6)

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru . (7)

Дифференцируя уравнение (7) по времени получаем

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru . (8)

Исключая ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru и ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru из уравнений (6) - (8), находим

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru (9)

Так как ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru и ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru , то

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru ,

а используя формулу (5) получаем

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru .

Аналогично

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru .

Поэтому уравнение (9) принимает вид

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru (10)

Введем времена релаксации изотермоизобарного ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru , изотермоизохорного ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru и изобарноизохорного ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru процессов внутреннего превращения:

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru

Используя эти соотношения в формуле (10) получаем динамическое уравнение состояния в дифференциальной форме:

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru

Оно связывает переменные ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru и их производные ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru . В него входят величины, определяемые из условий равновесия ( ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru ) и три времени релаксации ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru . Если все эти величины известны, то можно, например, определить изменение объема со временем, т.е. получить ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru , если давление и температура заданны как функции времени: ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru и ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru .

Для объемной релаксации при постоянной температуре и постоянном давлении получаем

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru ;

для релаксации давления при постоянной температуре и объеме получаем

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru ;

для температурной релаксации при постоянном объеме и давлении получаем

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru ,

где ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru - постоянные интегрирования, зависящие от начальных условий.

Задача 3. Выразить коэффициенты Пельтье, Томсона и термоэлектродвижущей силы через поток энтропии, вызванный движением заряженных частиц.

Решение.Если подставитьв выражение для плотности потока энтропии в термически неоднородном проводнике с током выражение ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru из формулы ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru , то

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru .

Здесь первое слагаемое определяет поток энтропии, вызванный движением зарядов, а второе теплопроводностью. Обозначим величину первого слагаемого через ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru . Тогда ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru и ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru . Пользуясь вторым соотношением Томсона ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru , получаем

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru и ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru .

Аналогично,

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru .

Отсюда видно, что термоэлектрические явления связаны с переносом энтропии, чем объясняется их известная “обратимость”.

Задача 4. Применима ли термодинамика необратимых процессов к живым организмам?

Решение. Термодинамика изучает общие закономерности систем из большого числа частиц в независимости от специфических особенностей рассматриваемых объектов и механизмов протекания в них процессов. Это позволяет распространять положения термодинамики на любые системы, в том числе живые организмы, если в системах выполняются ограничения, выдвигаемые термодинамикой.

Классическая термодинамика рассматривающая равновесные процессы, весьма приближенно применима к биологии, поскольку живые организмы не находятся в состоянии равновесия. Этим объясняется то, что многочисленные попытки использования равновесной термодинамики для анализа жизненных явлений оказались неудачными.

Живой организм при термодинамическом рассмотрении представляет собой открытую систему, внутри которой протекают различные необратимые процессы (химические реакции, диффузия, осмос и т.д.). Поэтому к биологическим системам гораздо лучше применимы положения термодинамики необратимых процессов.

Определенным количественным ограничением применимости изложенной термодинамики необратимых процессов к описанию жизнедеятельности организмов является ее линейность, соответствующая рассмотрению систем, не слишком далеко отстоящих от положения равновесия и процессы, протекающие в них, являются существенно необратимыми.

Линейная термодинамика не в силах объяснить процессы роста и дифференцировки клеток, возникновение новых структур. Расширение термодинамики на сильно неравновесные системы, в которых связь между термодинамическими потоками и силами перестает быть линейной, осуществлено в последнее десятилетие Пригожиным и Глансдорфом и привело к построению нелинейной неравновесной термодинамики. Основу этой термодинамики составляет критерий эволюции Пригожина – Глансдорфа, согласно которому в сильно неравновесной системе скорость производства энтропии уменьшается.

Занятие №4

ТЕМА: Производство энтропии

Задачи

Задача 1. На примере процесса теплопроводности в системе показать, что допущение локального равновесия позволяет вычислить при переходе от отдельных элементов объема к системе в целом изменение энтропии, вызванное необратимостью этого процесса.

Решение. Выделим в неравномерно нагретом теле некоторый объем. При допущении локального равновесия и отсутствии потока частиц основное уравнение термодинамики необратимых процессов для рассматриваемого объема принимает вид

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru .

Если ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru - плотность потока теплоты, то энергия в данном объеме может изменятся только за счет притока теплоты извне через поверхность ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru , ограничивающую выделенный объем, поэтому

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru

и количество теплоты, сообщенное элементу объема,

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru ,

откуда,

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru ,

и изменение энтропии системы

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru

или

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru ,

где ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru - количество теплоты, которое входит в систему через элемент поверхности. Учитывая, что ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru , получаем

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru . (1)

Здесь первое слагаемое определяет изменение энтропии системы, за счет притекающей в нее теплоты. Эта величина и стоит в правой части неравенства Клаузиуса классической термодинамики. Второе слагаемое представляет собой изменение энтропии, вызванное необратимостью процесса теплопроводности внутри выделенного объема. Так как этот член внутри положителен, то выражение (1) не противоречит неравенству Клаузиуса.

Задача 2. Найти производство энтропии при процессе перехода теплоты от одного тела к другому.

Решение. Когда при тепловом контакте двух тел, однако, с температурой ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru получает количество теплоты ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru , а другое тело с температурой ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru отдает эту теплоту, то суммарное изменение энтропии (при малом ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru )

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru .

Если за интервал времени ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru произошел обмен теплотой в объеме ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru ( ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru - площадь соприкосновения тел) , то скорость возникновения энтропии в единице объема

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru ,

где ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru - составляющая по оси ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru плотность потока теплоты;

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru - соответствующая этому потоку сила.

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru .

Задача 3. Определить производство энтропии в электрической цепи.

Решение. Если в цепи с Э.Д.С. ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru протекает ток силой ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru , то по закону Джоуля-Ленца в ней выделяется в единицу времени количество теплоты ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru , а в единице объема контура (в общем случае и не однородного) в единицу времени выделяется теплота

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru ,

где ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru - плотность тока; ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru - потенциал электрического поля. В стационарном состоянии, когда температура контура поддерживается постоянной, электрическая энергия полностью передается в виде теплоты окружающей среде. Поэтому скорость возникновения энтропии в контуре

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru ,

а производство энтропии, т.е. скорость ее локального возникновения

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru .

Задача 4. Показать, что кинетические коэффициенты ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru обладают следующими свойствами:

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru , ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru , ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru и т.д.

Решение. Производство энтропии представляет собой положительно определенную квадратичную форму термодинамических сил

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru .

Но квадратичная форма является положительно определенной, если детерминант, составленный из ее коэффициентов ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru и его диагональные миноры, получившиеся последовательным вычеркиванием строк и столбцов, положительны. Эти условия на коэффициенты ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru и выражают указанные в условии задачи их свойства.

Задача 5. Вычислить среднюю энтропию, ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru переносимую молем газа Кнудсена при прохождении через малое отверстие, соединяющие два резервуара с газом.

Решение. Найдем среднюю энтропию ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru , переносимой молекулой при прохождении через отверстие в случае ультразаряженного газа Кнудсена, когда диаметр отверстия, соединяющего два резервуара с газом, мал по сравнению со средней длинной свободного пробега молекулы.

Пусть ось ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru перпендикулярна плоскости отверстия. Если ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru - плотность числа молекул, то средняя плотность молекул, имеющих составляющую по оси ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru , скорость в пределах от ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru до ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru , по Максвеллу равна

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru

Средний поток молекул через единицу площади отверстия в единицу времени

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru .

Средний поток энергии в единицу времени через единицу площади отверстия по оси ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru .

Каждая молекула переносит кинетическую энергию

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru .

Среднее значение ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru для тех молекул, которые проходят через отверстие, равно отношению среднего потока энергии к среднему потоку молекул:

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru .

Эта величина в 2 раза больше средней кинетической энергии на одну степень свободы ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru , поскольку молекулы с большими скоростями имеют большую вероятность пройти через отверстие, чем молекулы с меньшими скоростями.

Средние значения ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru и ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru равны ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru . Поэтому средняя энергия, переносимая проходящими через отверстие молекулами,

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru ,

а средняя молярная энергия переноса

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru .

Задача 5. Показать, что при установлении стационарного состояния в двух соединенных капилляром сосудах с газом Кнудсена энтропия газов уменьшается.

Решение. Согласно принципу Пригожина, по мере перехода системы в стационарное состояние производство энтропии уменьшается и, когда стационарное состояние достигнуто, эта величина принимает наименьшее значение, совместимое с внешними условиями. Сама энтропия системы в этом процессе установления стационарного состояния также часто уменьшается. Покажем это на примере с газом Кнудсена. Пусть соединенные капилляром сосуды с газом Кнудсена имеют одинаковый объем и в начальном состоянии имеют по молю газа:

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru , ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru . (1)

Распределение вещества в стационарном состоянии определяется уравнением

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru ,

или

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru (2)

Поскольку ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru и ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru из второго уравнения (1) и уравнения (2) находим:

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru , ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru .

Энтропия ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru молей идеального газа

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru и ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru .

Поэтому энтропия системы

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru .

применяя это уравнение к начальному и стационарному состояниям, и разлагая потом ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru по степеням ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru , получаем

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru .

Это означает, что энтропия системы в стационарном состоянии меньше, чем в начальном. То же самое наблюдается при термодиффузии. Происходящее при этом разделение веществ соответствует уменьшению энтропии по сравнению с начальным состоянием. Однако в некоторых других случаях энтропия возрастает.

Занятие №5

ТЕМА: Кинетика

Задачи

Задача 1. Водород находится в сосуде при температуре 300 К и давлении 2 атм.. Принимая во внимание распределение Больцмана по скоростям, вывести формулу для давления газа и вычислить число столкновений в 1 с, испытываемых участком стенки сосуда площадью 10 ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru . Чему равно среднее время между двумя столкновениями?

Решение. Будем предполагать, что между не имеющими размеров молекулами идеально газа не происходит столкновений. В то же время учтем распределение скоростей по абсолютной величине и по направлениям. Рассмотрим на стенке сосуда площадку размером ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru и определим число попадающих на эту площадку за время dt частиц, имеющих скорость от v до v + dv,

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru

и угол падения от ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru до ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru . Эти частицы заключены в цилиндре, объем которого равен

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru (1)

(рис.2). Из числа содержащихся в ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru частиц под углом к стенке, лежащем в пределах от ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru до ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru , движутся

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru (2)

частиц, имеющих произвольный азимутальный угол ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru . (Фактически при фиксированном угле ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru молекулы летят из пространства между двумя конусами.- Ред.). Величину С определим из условия

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru или ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru (3)

откуда

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru . (4)

Если теперь учесть распределение скоростей Максвелла – Больцмана, то для числа dv частиц, сталкивающихся с площадкой ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru и имеющих при этом скорость и угол падения, заключенных в интервалах от v до v + dv, и от ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru до ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru , согласно (1) и (4) получаем

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru , (5)

где f(v) – функция распределения.

При каждом соударении стенке передается импульс

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru . (6)

Отсюда находим силу, действующую на площадку ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru :

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru . (7)

Полную силу, приложенную к площадке ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru , получим посредством интегрирования по всем углам падения ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru и по всем скоростям v. В результате после деления на ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru находим давление

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru (8)

Интегрирование по углу ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru в (8) дает

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru , (9)

а интегрируя по скоростям, получаем

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru . (10)

Таким образом, статистическая модель, учитывающая больцмановское распределение по скоростям, приводит к следующему выражению для давления:

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru . (11)

Подставляя сюда вместо числа частиц в ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru выражение ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru и используя соотношение ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru , получаем

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru . (12)

Для вычисления среднего числа столкновений необходимо проинтегрировать выражение (5). Тогда для числа столкновений, происходящих за 1 с, имеем

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru . (13)

Необходимые нам интегралы имеют следующие значения:

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru , (14)

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru . (15)

Таким образом, для числа столкновений в единицу времени имеем

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru , (16)

где ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru относительная молекулярная масса, ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru число кило-молей в объеме V. Используя уравнение состояния идеального газа, можно записать выражение (16) для числа столкновений в в виде

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru . (17)

Подставляя численные значения, найдем число столкновений с участком площадью ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru :

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru .

Отсюда определяем среднее время между двумя столкновениями с площадкой ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru :

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru .

Задача 2. Вычислить число столкновений молекул водорода при температуре ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru и давления 0,5 атм. Чему равна средняя длина свободного пробега ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru ? Найти полное число столкновений в 1 кмоле водорода. Молекулы рассматривать как невзаимодействующие твердые шары, движущиеся с одинаковыми скоростями. Газокинетический эффективный диаметр принять равным ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru .

Решение. Рассмотрим две частицы, которые движутся со скоростями ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru и ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru . Если ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru , то их относительная скорость составляет

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru , (1)

где ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru угол между векторами этих скоростей. Усреднение по всем направлениям дает

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru . (2)

С данной молекулой за 1 с в среднем столкнуться все молекулы, центры тяжести которых окажутся внутри кругового цилиндра с основанием ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru и высотой ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru . Если в ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru содержится ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru , то число столкновений для одной частицы составляет

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru . (3)

В качестве величины v используем среднее значение для распределения Максвелла – Больцмана

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru . (4)

Величину ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru найдем из уравнения состояния ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru для ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru . Тогда формула (3) дает для числа столкновений

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru . (5)

В рассматриваемой модели средняя длина свободного пробега есть

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru . (6)

В 1 кмоль содержится ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru молекул. Полное число столкновений, происходящих в 1 кмоле за 1 с, составляет

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru . (7)

Подставив численные выражения, получим ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru ,

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru .

Задача 3. Смесь из 3 л водорода и 1 л азота находится при нормальных условиях. Найти число столкновений между молекулами в 1 с. Чему равны средние длины пробега между соударениями различных частиц?(Диаметр газокинетического эффективного сечения составляет: ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru ,

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru , относительные молекулярные массы: ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru , ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru .).

Решение. Число столкновений частиц сорта 1 с частицами сорта 2 составляет

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru . (1)

Аналогично получим число столкновений частиц 2 с частицами 1

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru . (2)

Полное число соударений частиц 1 и 2 в объеме ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru , есть

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru . (3)

В данном случае полный объем газа ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru . Для парциальных давлений имеем ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru , ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru , а плотность числа частиц ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru , ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru ( ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru ).

Число столкновений между частицами двух в объеме V = 4л равно

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru ; (4)

При заданных числовых значениях имеем ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru

Средняя длина свободного пробега частицы 1 между соударениями с частицами 2 составляет

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru . (5)

Подставив численные значения, получим длину свободного пробега молекул водорода между столкновениями с молекулами азота:

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru .

Для средней длины свободного пробега молекул азота между столкновениями с молекулами водорода имеем

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru .

Задача 4. В тонкостенном сосуде, помещенном в вакуум, имеется очень маленькое отверстие, на которое извне направляется параллельный пучок одноатомных молекул, летящих с одной и той же скоростью ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru , перпендикулярно к площади отверстия. Концентрация молекул в пучке равна ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru . Найти в установившемся равновесном состоянии среднюю скорость ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru , концентрацию молекул ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru и температуру ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru газа в сосуде.

Решение. Из-за столкновений молекул со стенками сосуда и между собой внутри сосуда устанавливается максвелловское распределение скоростей. Условие сохранения числа частиц и кинетической энергии газа в сосуде имеют вид

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru , ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru .

Используя их, а также формулу ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru , находим

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru , ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru , ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru .

Задача 5. Найти полную кинетическую энергию ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru молекул идеального одноатомного газа, ударяющихся о квадратный сантиметр стенки в единицу времени.

Ответ: ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru Для максвелловского распределения ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru .

Задача 6. В тонкостенном сосуде, содержащем идеальный одноатомный газ при температуре ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru , имеется очень маленькое отверстие, через которое молекулы вылетают в вакуум. Определить среднее значение ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru кинетической энергии вылетевшей молекулы в предположении, что за время опыта изменения числа молекул и температуры газа в сосуде пренебрежимо малы.

Ответ: ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru .

Задача 7. Определить, какая часть молекул идеального газа, столкнувшихся со стенкой сосуда за определенное время (например, за одну секунду), имеет кинетическую энергию, превосходящую ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru .

Ответ: ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru .

Задача 8. В опыте Штерна на поверхности вращающегося цилиндра С конденсируются молекулы серебра с различными скоростями. Каким скоростям молекул, попадающих на пластинку DF, соответствует ее наибольшее почернение?

Решение.

 

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru F

 
 
C

D

Если установка неподвижна, то молекулы конденсируются в точке D. При вращении всей установки молекулы со скоростями ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru попадают в F. Смещение по дуге DF равно ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru , где ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru постоянная прибора. Число молекул ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru со скоростями между ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru и ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru , ежесекундно испускаемых источником A, пропорционально ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru . Выражая ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru через ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru , подставим его в виде ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru . Отсюда видно, что линейная плотность распределения молекул, сконденсировавшихся по поверхности цилиндра, пропорциональна ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru , т.е. ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru . Эта плотность максимальна при ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru , где ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru наиболее вероятная скорость.

Задача 9. Газ состоит из молекул с массами ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru и ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru , концентрации которых равны соответственно ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru и ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru . Найти выражение для средней длины свободного пробега молекулы каждого газа с учетом максвелловского распределения скоростей.

Ответ: ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru ,

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru .

Задача 10. Для приближенного вычисления средней длинны свободного пробега молекулы, Клаузиус предположил, что все молекулы газа движутся с одинаковыми скоростями, направления которых распределены в пространстве изотропно. Получить выражение для ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru в этом предположении.

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru Решение.

Найдем среднюю скорость молекул относительно одной из них (например, правой). Относительная скорость молекулы, движущейся под углом ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru к скорости первой молекулы ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru , определяется выражением

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru .

Число молекул, скорости которых образуют с направлением ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru углы между ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru и ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru , дается формулой

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru .

Используя ее, получаем

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru .

После этого по формуле

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru

находим

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru .

Задача 11. Найти выражение для среднего полного числа столкновений ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru молекул газа в единице объема газа в единицу времени.

Решение. Число столкновений одной молекулы с остальными дается выражением

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru .

Для ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru молекул его надо умножить на ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru и разделить на два. Деление на два необходимо потому, что при нашем подсчете каждая молекула учитывается дважды: один раз как ударяющая, другой – как ударяемая. В результате получаем

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru .

Задача 12. Газ состоит из смеси двух газов с концентрациями ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru и ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru . Найти выражение для среднего полного числа столкновений ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru молекул одного газа с молекулами другого газа в единице объема в единицу времени.

Ответ: ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru .

Задача 13. Показать, что в системе центра масс рассеяние шаров при упругих столкновениях сферически симметрично.

Решение. Пусть скорость ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru скорость первого, а ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru скорость второго шара ( см.рис.). В системе центра масс

ТЕМА: Элементы теории неравновесных процессов - student2.ru .

При столкновении шары в этой системе обмениваются нормальными компонентами импульсов, тогда, как касательные компоненты их остаются неизменными. Отсюда следует, что скорости шаров в системе центра масс не изменяются по величине, а только поворачиваются на один и тот же угол