Иммунизация портфеля облигаций

Под иммунизацией портфеля облигаций понимается такое управление портфелем, которое обеспечивает более высокий уровень его доходности в течение некоторого интервала времени при изменении рыночной процентной ставки, как в меньшую, так и в большую сторону относительно первоначального значения

Покажем возможность такого управления портфелем на примере бескупонных облигаций. Для этого сравним доходность двух портфелей. Предположим, что первый портфель состоит из облигаций номинальной стоимостью со сроком до погашения лет. Рыночная стоимость данного портфеля и его дюрация будут равны:

(5.41)

Второй портфель сформируем из двух облигаций с номинальными стоимостями и и сроками до погашения соответственно равными и лет, которые будут удовлетворять неравенству:

Портфель, состоящий из этих двух облигаций, будем считать облигацией II.

Текущая стоимость этого портфеля и его дюрацию можно определить по формулам:

(5.42)

При приобретении портфелей I и II они должны быть эквивалентны, т. е. они должна иметь одинаковые рыночные стоимости и дюрации:

(5.43)

Из решения системы уравнений (5.43) определяются характеристики облигаций, составляющие портфель II, которые обеспечивают эквивалентность портфелей при некоторой доходности На рис. 5.9 приведены зависимости текущей рыночной стоимостей портфелей I и II в зависимости от доходности рассчитанные по данным примера 5.3. из приведенных графиков видно, что кривая II текущей стоимости второго портфеля является более выпуклой, так как выполняется неравенство:

при и (5.44)

При обеспечивается равенство текущих стоимостей портфелей Определим требования к срокам до погашения и облигаций портфеля II. Для этого вычислим вторые производные от текущих доходностей первого и второго портфелей:

(5.45)

Умножив и разделив данное выражение на получим:

Аналогично для второго портфеля получим:

(5.46)

С учетом того, что отношения определяют стоимостную долю первой и второй облигаций в портфеле II выражение (5.46) можно записать в виде:

(5.47)

Для выполнения неравенства (5.44) вторая производная (выпуклость) должна быть больше чем вторая производная

(5.48)

С учетом условий (5.43) и и с учетом формул (5.45) и (5.47) неравенство (5.48) можно записать в виде:

(5.49)

Из условия равенства дюраций портфелей можно записать:

(5.50)

Подставляя данное равенство в формулу (5.49) получим:

Так как данное неравенство всегда соблюдается из этого следует вывод, что для соблюдения неравенств (5.48) и (5.49) необходимо и достаточно выполнение условия (5.50) о равенстве дюраций первого I и второго II портфеля облигаций.

Таким образом, для выполнения условия (5.43) достаточно потребовать, чтобы выполнялись условия:

(5.51)

Рассмотрим иммунизацию портфеля облигаций на примере.

Пример 5.3. Сформировать портфель из четырехгодичной и восьмигодичной бескупонных облигаций, иммунизирующий портфель, состоящий из одной бескупонной пятигодичной облигации номинальной стоимостью руб. при доходности облигации

Решение: Определим номинальные и текущие стоимости облигаций портфеля II из решения системы уравнений (5.51), которая для данных условий будет иметь вид:

Из решения данной системы уравнений находим стоимостные доли и облигации портфеля II:

Определяем текущую стоимость облигации портфеля I:

С учетом равенства и стоимостных долей облигаций и определяем текущие стоимости облигаций, входящих в портфель II:

Определяем номинальные стоимости этих облигаций:

На рис. 5.9 приведены графики зависимости текущей стоимости портфеля облигаций и от доходности к погашению r, рассчитанные по формулам (5.41) и (5.42). Результаты расчетов приведены также в табл. 5.4.

Таблица 5.4

r	0,03	0,07	0,11	0,15	0,19	0,23	0,27
VI	3450,4	2851,9	2373,8	1988,7	1674,2	1420,8	1210,7
VII	3518,4	2875,3	2378,4	1988,7	1679,1	1430,1	1227,5

Рис. 5.9

Рассчитаем зависимость текущей стоимость первого и второго портфеля облигации в зависимости от времени прошедшего после их приобретения. Расчет данных зависимостей проводится по формулам:

Результаты расчетов приведены в табл. 5.5 и на рис. 5.10.

Таблица 5.5

	t		0,5		1,5		2,5		3,5
r = 0,07	VI	2851,9	2950,1	3051,6	3156,6	3265,2	3377,5	3493,7	3614,0	3738,3
VII	2875,3	2974,3	3076,6	3182,5	3292,0	3405,2	3522,4	3643,6	3769,0
∆V	23,4	24,2	25,0	25,9	26,8	27,7	28,7	29,6	30,7
r = 0,3	VI	1077,3	1228,3	1400,5	1596,8	1820,7	2075,9	2366,9	2698,6	3076,9
VII	1099,8	1254,0	1429,8	1630,2	1858,7	2119,3	2416,3	2755,0	3141,2
∆V	22,5	25,7	29,3	33,4	38,0	43,4	49,4	56,4	64,3

На рис. 5.10 приведена зависимость разности текущих стоимостей второго и первого портфеля облигаций (∆V = V_II(t) - V_I(t). Из приведенных расчетов видно, что при уменьшении и при увеличении значений доходности облигаций к погашению второй портфель облигаций имеет бóльшую текущую стоимость, чем первый. При увеличении времени разница в текущих стоимостях облигаций портфеля II и I увеличивается.

Рис. 5.10

Контрольные вопросы и задания

1. Основные понятия и характеристики доходности облигаций.

2. Понятие текущей стоимости облигаций, рыночной стоимости облигации, текущего курса облигации, текущей и средней доходности облигаций.

3. Определить текущую стоимость бескупонной облигации номинальной стоимостью P_N = 10000 руб. за 4 года до погашения при ставке дисконтирования i = 9 % годовых.

4. Определить текущую стоимость облигации номинальной стоимостью 10000 руб. с купонной ставкой "с" = 10 % за 5 лет до погашения при ставке дисконтирования i = 8 % годовых.

5. Определить текущий курс и текущую доходность облигации номинальной стоимостью P_N = 20000 руб. и купонной ставкой дохода "с" = 9 %, если ее рыночная стоимость равна V = 18000 руб.

6. Определить понятие текущей доходности облигации к погашению и ее связь с рыночной стоимостью облигации.

7. Определить текущую доходность бескупонной облигации за три года до погашения n = 3, если текущий курс облигации равен 0,8.

8. Определить текущую (рыночную) стоимость облигации номинальной стоимостью P_N = 40000 руб. с купонным доходом с = 10 % за n = 4 года до ее погашения, если текущая доходность облигации равна r = 8 %.

9. Если доходность облигации и погашению больше купонной ставки, то чему будет равен курс облигации (K < 1 и K > 1).

10. Чему будет равен средний срок поступления дохода бескупонной облигации номинальной стоимостью P_N = 10000 руб. и сроком до погашения t = 4,5 года.

11. Чему будет равен средний срок поступления дохода облигации с купонным доходом "с" = 11 % и сроком до ее погашения n = 4 года.

12. Чему будет равен средний срок поступления дохода облигации при ежеквартальных выплатах купонного дохода по ставке с/r = 2,5 % при сроке до погашения облигации 3 года.

13. Дюрация финансового потока ее смысловое толкование и формула для ее вычисления.

14. Вычислить дюрацию финансового потока:

при ставке доходности i = 12 % годовых.

15. Вычислить дюрацию облигации со сроком погашения n = 4 года, купонной ставкой с = 10 % и доходностью к погашению равной r = 8 %.

16. Чему равна дюрация бескупонной облигации?

17. Определить относительное изменение рыночной стоимости облигации с доходностью к погашению r = 10 % и дюрацией D = 3,5 при относительном уменьшении доходности к погашению на 5 %.

18. Чему будет равен текущий курс облигации, если доходность к погашению равна купонной ставке облигации?

19. Вычислить значение дюрации облигации со сроком до погашения n = 4 года, если купонная ставка и доходность к погашению равны с = r = 9 %.

20. Пояснить понятие выпуклости облигации.

21. Определить значение выпуклости облигации с купонной ставкой "с" = 9 %, сроком погашения n = 3 года, если текущий курс облигации равен K = 1.

22. Определить относительное изменение рыночной стоимости облигации с учетом ее выпуклости, если срок до погашения облигации n = 3 года, купонная ставка дохода "с" = 0,1, доходность к погашению r = 0,08, а текущий курс облигации равен K = 0,8, а относительное изменение доходности к погашению

23. Портфель облигаций состоит из двух видов облигаций со следующими характеристиками:

= 3000 руб.; "с₁" = 0,09; r₁ = 0,11; n₁ = 3 года

= 4000 руб.; "с₂" = 0,07; r₂ = 0,2; n₂ = 4 года.

Количество облигаций первого и второго вида в портфеле соответственно равны Определить суммарную рыночную стоимость портфеля облигаций.

24. По условию задачи 23 определить доходность портфеля облигаций При расчетах принять

25. По условию задачи 23 определить средний срок поступления дохода портфеля облигаций.

26. Для портфеля облигаций приведенного в условии задачи 23 определить дюрацию портфеля облигаций.

27. Определить выпуклость портфеля облигаций по условию задачи 23.