В качестве целевой функции в данной задаче выступает минимум дисперсии
2 = Wi * Wj , min
где – ковариация ценных бумаг i и j.
В качестве ограничения выступаетсредняя доходность портфеля
Rр = RiWi,
где Ri , Wi–доходность и удельный вес включенной в портфель i – ой ценной бумаги.
При этом сумма удельных весов бумаг должна быть равна 1, т.е.
Wi. = 1.
Для того, чтобы найти решение такой задачи вводят набор переменных λ1 и λ2, называемых множителями Лагранжа и составляется функция Лагранжа:
L= Wi * Wj +λ1 *( RiWi - Rр)+ λ2 *( Wi. - 1),
где λ1, λ2— множители Лагранжа.
Структура портфеля, имеющего минимизирующий риск, определяется решением системы уравнений:
dL/dWi =0
dL/d λк, =0.
где к = 1,2.
Данная система уравнений представляет собой модель, позволяющая определить структуру оптимального портфеля.
Пример. Необходимо сформировать портфель из двух ценных бумаг Альфа и Омега, обладающий минимальным риском. Бумаги имеют следующие показатели доходности и риска: RА = 12%, RО = 5.1%, = 21.1%, = 8.3%., коэффициент корреляции равен 0.18. Доходность портфеля Rр должна составлять 8.9%. Функция Лагранжа для данной задачи будет иметь вид
L = *WА2 + **WО2 +2*WА * WО* + λ1 *(RАWА + RОWО – Rр)+ λ2 *(WА+. WО – 1).
dL/dWА = 2 *WА +2* WО* + λ1 *RА + λ2 = 0
dL/dW2 = 2 *WА +2* WО* + λ1 *RО + λ2 = 0
dL/d λ1, =RАWА + RОWО – Rр = 0.
dL/d λ2, = WА+. WО - 1 =0
Представим данную систему уравнений в матричном виде:
| 2 | 2 | RА | WА | ||||
| 2 | 2 | RО | * | WО | = | ||
| RА | RО | λ1 | Rр | ||||
| Λ2 |
| 2 | 2 | RА | WА | ||||
| 2 | 2 | RО | * | WО | = | ||
| RА | RО | λ1 | Rр | ||||
| Λ2 |
Если обозначить матрицу через Н, вектор – через А и вектор в правой части – через G, то получим уравнения в матричной форме:
Н*А = G,
А = Н-1* G.
Рассмотрим далее задачу для случая портфеля состоящего из трех ценных бумаг:
L = *W12 + *W22 + *W32 +2*W1 * W2* +2*W1 * W3* +2*W2 * W3* + λ1 *(R1W1 + R2W2 + R3W3 – Rр)+ λ2 *(W1+. W2 W3 – 1).
dL/dW1 = 2 *W1 +2* W2* + 2W3* + λ1 *R1 + λ2 = 0
dL/dW2 = 2 *W1 +2* W2* + 2W3* + λ1 *R2 + λ2 = 0
dL/dW3 = 2 *W1 +2* W2* + 2W3* + λ1 *R3 + λ2
dL/d λ1, =R1W1 + R2W2 + R3W3 – Rр = 0.
dL/d λ2, = W1+. W2 W3 - 1.
Представим данную систему уравнений в матричном виде:
| 2 | 2 | 2 | R1 | W1 | ||||
| 2 | 2 | 2 | R2 | W2 | ||||
| 2 | 2 | 2 | R3 | * | W3 | = | ||
| R1 | R2 | R3 | λ1 | Rр | ||||
| Λ2 |
Если обозначить матрицу через Н, вектор – через А и вектор в правой части – через G, то получим уравнения в матричной форме:
Н*А = G,
А = Н-1* G.
Пример. Имеются три акции. Их параметры представлены в таблице
| Номер акции | Ri | ||
| 0,06 0,09 0,18 | 0,35 0,42 0,75 | = -0,1 = 0,42 = 0,30 |
Матрица Н G и Н-1 для данной задачи будет иметь следующий вид
| 0,7 | -0,2 | 0,6 | 0,06 | |
| -0,2 | 0,84 | 1,0 | 0,09 | |
| 0,6 | 1,0 | 1,5 | 0,18 | |
| 0,06 | 0,09 | 0,18 | ||
| Rр |
| 0,416 | -0,555 | 0,138 | -3,481 | 0,723 |
| -0,55 | 0,74 | -0,185 | -6,47 | 1,035 |
| 0,139 | -0,185 | 0,046 | 9,951 | -0,759 |
| -3,481 | -6,4695 | 9,951 | -12,836 | -4,057 |
| 0,724 | 1,035 | -0,759 | -4,057 | -0,399 |
Удельные веса акций будут равны
| W1 | - 3,481* Rр +0,723 | |
| W2 | = | -6,470* Rр +1,035 |
| W3 | 9,951* Rр +0,759 |
Если инвестор хочет получить доходность Rр = 12%, то получим: W1 = 0,305, W2 = 0,259, W3 = 0,435.
Рассмотренный пример иллюстрирует вычислительные трудности, связанные с использованием модели Марковица. Так сам Марковиц подсчитал, что анализ 100 ценных бумаг требует вычисления 100 ожидаемых значений доходности, 100 дисперсий и почти 5000 ковариаций. В связи с этим уже 1962 корпорацией IBM была разработана первая компьютерная программа для реализации модели Марковица.