Тема 1. Основы детерминированной финансовой математики

Финансовая математика. Обзорная лекция

Вводная часть

Уважаемые студенты!

Вашему вниманию предлагается обзорная (установочная) лекция профессора В.Я. Габескирия по дисциплине «Финансовая математика» для студентов четвертого курса.

В лекции рассматривается структура курса, основные контрольные мероприятия, подлежащие выполнению студентами, дается обзор тем курса и методические рекомендации по его изучению, с указанием разделов учебных и учебно-методических пособий, в которых более подробно изложено содержание каждой темы курса

Курс «Финансовая математика», широко использует материалы, уже изученные студентами в курсах: «Высшая математика», «Теории вероятностей и математической статистики» и «Экономико-математические методы и прикладные модели». Знание этих дисциплин необходимо для успешного освоения данного курса.

Цель изучения курса «Финансовая математика» заключается в углублении теоретических знаний о современной экономике с использованием средств математического моделирования, в освоении математических методов и моделей, используемых в экономическом анализе, в принятии управленческих решений, в планировании и прогнозировании в различных сферах хозяйственной деятельности, в том числе в условиях неопределенности. Конечной целью изучения данного курса является формирование у будущих специалистов твердых теоретических и практических навыков по использованию современных экономико-математических методов н моделей при анализе, расчете, прогнозировании и принятии решений в сфере финансовой деятельности.

Студенту предоставляются следующие учебно-методические материалы:

1. Обзорная (установочная) лекция по данной дисциплине.

2. Учебное пособие «Экономико-математические методы и прикладные модели» (под редакцией В.В.Федосеева), М: ЮНИТИ, 1999 г. (в дальнейшем будем его называть «учебное пособие»)

3. Учебно-методическое пособие «Финансовая математика Методические указания. Контрольные задания », 2008 (В дальнейшем именуемое «методичка»).

4. Учебно-методическое пособие «Финансовая математика Методические указания по вып. лабораторных работ, 2008

В данной обзорной лекции изложены цели и задачи курса, контрольные мероприятия, а также основные вопросы, на которые необходимо в обязательном порядке обратить внимание при изучении курса «Финансовая математика».

Учебное пособие является основополагающей работой по экономико-математическим методам и моделям. Эти методы широко применяются практически во всех темах данного курса. В процессе изучения конкретных тем данного курса на это учебное пособие будут делаться ссылки.

В методичке приведена программа курса «Финансовая математика», указания по изучению отдельных тем курса, а также дополнительная литература, которую студенты могут использовать при изучении того или иного раздела курса. В дополнение к этой литературе в изучаемых темах могут даваться ссылки на другие источники, необходимые для более глубокого изучения отдельных вопросов.

В методичке также приведены варианты контрольных работ, рассмотрены примеры их решения и даны рекомендации по выполнению контрольных заданий. Студенты должны выполнить одну контрольную работу, пройти по ней собеседование и сдать экзамен. Номер варианта контрольной работы соответствует последней цифре его зачетной книжки. Оформленная работа сдается преподавателю на проверку и затем возвращается студенту с отметкой «допущена» или «не допущена» к собеседованию. Если работа допущена к собеседованию и если в ней есть замечания, сделанные преподавателем при ее проверке, то только после устранения всех замечаний в письменной форме студент может представить работу к собеседованию. На собеседовании преподавателем могут быть заданы вопросы, касающиеся существа и порядка решения задач контрольной работы, а также вопросы из соответствующих теоретических разделов курса. При удовлетворительных ответах на поставленные вопросы студент получает зачет, который проставляется преподавателем в зачетную книжку. Если контрольная работа к собеседованию не допущена, то студент должен выполнить повторно контрольную работу, сдать ее на проверку преподавателю и по ней проходить собеседование. К экзамену студент допускается только после получения зачета по контрольной работе.

Все изучаемые по данной дисциплине темы условно можно разделить на финансовые расчеты, выполняемые в условиях определенности (тема 1), и стохастические методы финансовой математики (темы 2-6).

Тема 1. Основы детерминированной финансовой математики. Финансовые расчеты, выполняемые в условиях определенности (детерминированные методы), имеют многовековую историю. Основу этих методов составляют расчеты, связанные с расчетами простых и сложных процентов (выдача ссуды, продажа товара в кредит, помещение средств на депозитный счет, учет векселя, покупка облигаций, проведение лизинговых операций, потоки платежей и т.д.). Для проведения таких расчетов , как правило, достаточно применение методов, базирующиеся на элементарной математике. Изучению детерминированных методов финансовой математики посвящена тема 1.

Тема 2. Характеристики методов и моделей финансовой математики. Курс «Финансовая математика» опирается на теоретические основы, изученные уже студентами в курсах: «Высшая математика», «Основы теории вероятностей и математической статистики» и «Экономико-математические методы и прикладные модели». Знание этих основ необходимо для успешного освоения данного курса. Целью изучения настоящей темы 2 является углубление полученных знаний о современной экономике с использованием средств математического моделирования, освоение математических методов и моделей, используемых в экономическом анализе, в принятии управленческих решений, в планировании и прогнозировании в различных сферах хозяйственной деятельности, в том числе в условиях неопределенности. Конечной целью изучения данной темы является формирование у будущих специалистов твердых теоретических и практических навыков по использованию современных экономико-математических методов и моделей при анализе, расчете, прогнозировании и принятии решений в сфере финансовой деятельности.

Тема 3. Графические и количественные методы анализа тенденций развития показателей финансового рынка. Эти методы нашли широкое применение в практике биржевой торговли. При принятии решений о покупке или продаже финансовых инструментов (акций, облигаций, фючерсов, опционов и др.) брокеры широко используют различные индикаторы, позволяющие прогнозировать направление движения цен на финансовых рынках (скользящие средние, осцилляторы и стохастические линии). В теме рассмотрены методы расчета ряда часто используемых -на практике индикаторов и их применение в процессе биржевой торговли. В теме также рассмотрены количественные методы прогнозирования экономических показателей, имеющих сезонную компоненту.

Тема 4. Использование моделей стохастических процессов для анализа и прогнозирования финансовых показателей. В ряде случаев уровни ряда экономического показателя взаимосвязаны, то есть существует автокорреляция между уровнями одного и того же ряда, расположенными на различных расстояниях друг от друга. Методы изучения этой взаимосвязи и использование этих методов для прогнозирования значений экономического показателя изучаются в теме 4.

Тема 5. Моделирование взаимосвязей финансово-экономических показателей. В этой теме изучается метод прогнозирования зависимого от ряда факторов экономического показателя, основанный на исследовании его связей с этими факторами. На основе этих исследований строится модель парной или множественной регрессии. Прогнозные значения факторов получают вне многофакторной модели. Значения факторов могут быть директивными заданиями, получены методом экспертной оценки и т.д. Подстановка этих значений в уравнение регрессии дает возможность найти прогнозные значения зависимого экономического показателя.

Тема 6. Использование метода экспертных оценок в финансовом анализе и прогнозировании. В тех случаях, когда не существуют методы расчета экономического показателя, он может быть определен экспертным методом. В данной теме изложены методы обработки результатов экспертных оценок, а также определения компетентности экспертов.

Остановимся теперь на существенных вопросах, изучаемых в конкретных темах дисциплины «Финансовая математика».

Тема 1. Основы детерминированной финансовой математики

При изучении детерминированных методов финансовой математики следует обратить внимание на то, что основу этих методов составляют расчеты зависимостей значений активов от временного фактора.

Под активами мы понимаем любые объекты, способные приносить прибыль в процессе коммерческой деятельности. Примером могут служить денежные средства, ценные бумаги, недвижимость, товары, оборудование, интеллектуальная собственность, товарные знаки, известные имена фирм, интеллектуальная собственность, ноу-хау и т.д.. Все эти активы могут быть оценены и иметь денежное выражение, которое и фигурирует в финансовых расчетах. Поэтому в дальнейшем мы будем вести речь о денежных средствах (или просто «средствах»), полагая, что все рассуждения и расчеты в равной степени могут относиться и к другим видам активов.

Целью любой коммерческой деятельности является получение прибыли, то есть наращивание со временем средств, на базе которых проводится эта деятельность. Временной фактор при этом играет не меньшую роль, чем сами размеры средств. Это связано не только с инфляцией (хотя в отдельных случаях ее роль весьма существенна), но и с принципиальной возможностью прибыльного инвестирования средств.

Поясним эту мысль примером. Американская компания «Юнион Карбайд», на заводе которой в Индии произошла авария, приведшая к экологической катастрофе, ущерб от которой оценивался в 200 млн. долл., предложила Индии компенсацию в размере 200 млн. долл. равными ежемесячными выплатами в течение 35 лет. Предложение было отвергнуто, так как расчеты показывают, что эти выплаты можно осуществить, положив в банк 57.6 млн. долл. под 10% годовых. Это значит, что 56.7 млн. долл. сегодня эквивалентны 200 млн. долл., выплачиваемым в течение 35 лет. Этот пример наглядно демонстрирует принцип неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени.

Различные правила, позволяющие определить на некоторый момент времени сумму, эквивалентную денежным средствам, относящимся к другим моментам времени, составляют основу детерминированных методов финансовой математики.

Приведение - это определение любой стоимостной величины на некоторый момент времени. Если некоторая сумма приводится к более ранней дате, чем текущая, то применяется дисконтирование, если же речь идет о более поздней дате, то - наращение.

Различные виды наращения и дисконтирования составляют основу детерминированных методов финансовой математики.

Приведение осуществляют по методам, широко используемым в практике банковской деятельности.

Под процентами в финансовых расчетах понимают абсолютную величину дохода от предоставления средств в долг в любой форме: в виде выдачи денежной ссуды, продажи товаров в кредит, помещения денег на сберегательный счет, учета векселя, покупки сберегательного сертификата или облигаций и т.д.

Наращением или ростом первоначальной суммы называют процесс увеличения денег в связи с присоединением процентов к сумме долга. Проценты рассчитывают по указанной в договоре процентной ставке. Последняя представляет собой отношение дохода за определенный период начисления (год, квартал, месяц, день) к величине суммы долга - базы для начисления процентов. Процентная ставка при расчетах выражается в долях (обычно десятичных).

В практике существуют различные способы начисления процентов, зависящие от условий контрактов. Соответственно применяют различные виды процентных ставок. Одно из основных отличий связано с выбором исходной базы (суммы) для начисления процентов. Ставки процентов могут применяться к одной и той же начальной сумме на протяжении всего срока ссуды или к сумме с начисленными в предыдущем периоде процентами. В первом случае они называются простыми, а во втором - сложными.

Рассмотрим вначале приведение (то есть наращение и дисконтирование) с применением простых процентов.

Простые проценты рассчитывают как произведение трех сомножителей: количества периодов начисления, процентной ставки и начальной суммы долга. Таким образом, за каждый период начисления простые проценты увеличиваются на одну и ту же величину, равную произведению процентной ставки на начальную сумму долга.

Под наращенной суммой понимают начальную сумму долга с присоединенными к ней процентами. Нетрудно видеть, что наращенная сумма представляет собой арифметическую прогрессию, первым членом которой является начальная сумма долга, а разность равна произведению процентной ставки на начальную сумму долга.

Часто в качестве периода начисления выбирают один год. При этом, если срок кредита меньше одного года, то требует уточнения понятие количества периодов начисления. Последнее представляет собой частное от деления продолжительности ссуды в днях на количество дней в году.

Количество дней в году может быть принято либо 360 дней (обыкновенные проценты), либо фактическое количество дней в году (365 или 366, точные проценты). Определение числа дней пользования ссудой также может быть точным или приближенным. В первом случае вычисляют фактическое число дней между двумя датами, во втором - продолжительность ссуды определяется числом месяцев и дней ссуды, приближенно считая все месяцы равными, содержащими по 30 дней. В обоих случаях дата выдачи и дата погашения долга считается за один день.

Практикуется три варианта расчета:

а) точные проценты с точным числом дней ссуды (число дней в году и число дней ссуды считается точно по календарю);

б) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (число дней в году считают равным 360 дням, а число дней ссуды рассчитывают точно по календарю);

в) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (число дней в году считают равным 360 дням, а число дней ссуды рассчитывают приближенно, считая все месяцы равными, содержащими по 30 дней);

В практике часто приходится решать задачу обратную наращению процентов, когда по заданной сумме S , соответствующей концу финансовой операции, требуется найти исходную сумму Р. Расчет Р по S называется дисконтированием суммы S . Величину Р, найденную дисконтированием, называют современной величиной (текущей стоимостью) суммы S . Проценты в виде разности D = S - P называются дисконтом или скидкой. Процесс начисления и удержания процентов вперед (в виде дисконта) называют учетом.

Таким образом, при дисконтировании некоторая сумма приводится к более ранней дате, то есть решается задача обратная наращению процентов.

Известны два вида дисконтирования: математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учет.

Математическое дисконтирование представляет собой решение задачи, обратной наращению первоначальной ссуды.

Банковский или коммерческий учет заключается в том, что банк до наступления срока платежа по векселю или другому платежному обязательству покупает его у владельца (являющегося кредитором) по цене ниже той суммы, которая должна быть выплачена по нему в конце срока, т.е. приобретает (учитывает) его с дисконтом.

Для расчета процентов при учете векселей применяется учетная ставка, которую применяют не к сумме, выданной владельцу векселя, а к конечной сумме, которая должна быть получена банком при погашении векселя.

Поясним на условных примерах понятия наращения, математического дисконтирования и банковского учета.

Пример 1 . Завод продал фирме оборудование стоимостью 800 000 руб. с отсрочкой платежа на 2 года. Сверх первоначальной стоимости оборудования за пользование кредитом фирма обязуется выплатить простые проценты из расчета 25% годовых. Таким образом, проценты через 2 года будут равны произведению 800 000*2*0.25 = 400 000 руб., а наращенная сумма будет равна 800 000 + 400 000 = 1 200 000 руб.

Мы видим, что первоначальная сумма долга возросла в 1 200 000/800 000 раз, то есть в 1.5 раза. Этот коэффициент называют множителем наращения.

Рассмотрим пример математического дисконтирования.

Пример 2. Завод поставил фирме оборудование с отсрочкой платежа. По договору фирма должна заплатить через 2 года 1200 000 руб. Какова стоимость оборудования на момент поставки если завод за предоставление кредита берет простые проценты из расчета 25% годовых?

Иными словами, задача может быть сформулирована так: «Какова первоначальная сумма долга, если при начислении простых 25% годовых через 2 года наращенная сумма будет равна 1200 000 руб.?

Из предыдущего примера ясно, за 2 года первоначальная сумма при 25% годовых возрастает в 1.5 раза. Следовательно, если через 2 года наращенная сумма равна 1200 000 руб., то на момент заключения договора ей эквивалентна сумма в 1.5 раза меньше. Таким образом в момент поставки стоимость оборудования составляет 1200 000/1.5 = 800 000 руб. Коэффициент 1/1.5 называют дисконтным множителем. Он равен обратной величине множителя наращения из предыдущего примера, так как математическое дисконтирование - это задача обратная задаче нахождения наращенной суммы.

Такой же пример по банковскому учету можно сформулировать следующим образом.

Пример 3 . Завод, получив обязательство, по которому фирма должна выплатить ему через 2 года 1200 000 руб., тут же перепродал это обязательство банку. Банк приобрел это обязательство с дисконтом или скидкой.

Допустим, банк учитывает обязательства по простой учетной ставке, равной 25% годовых. Принципиальное различие банковского учета от математического дисконтирования состоит в том , что учетная ставка применяется к конечной сумме 1200 000 руб. Таким образом, размер дисконта будет равен произведению трех сомножителей: конечной суммы обязательства (1200000 руб), количества периодов начисления (2 периода) и учетной ставки (0.25).

Итого дисконт или скидка равна 1200 000*2*0.25= 600 000 руб. Сумма, которую выдаст банк заводу, равна 1200 000 - 600 000 = 600 000 руб.

Сложные проценты от простых отличаются тем, что проценты не выплачиваются периодически сразу после их начисления за прошедший интервал времени, а присоединяются к сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служит базой для их определения, часто называют капитализацией процентов.

Рассмотрим данные примера 1 при условии, что завод ведет расчеты по сложным процентам. Исходная сумма 800 000 руб. через год после начисления процентов в размере 800 000*0,25*1 = 200 000 руб. и их капитализации превратится в 800 000 + 200 000 = 1000 000 руб. Таким образом, множитель наращения через один год равен 1000 000 /800 000 = 1.25. Проценты за второй год будут начисляться уже на новую сумму и будут равны 1000 000*0,25*1=250 000руб., а наращенная сумма составит 1 250 000 руб. Сумма за второй год также увеличилась в 1.25 раза. Таким образом, за два года множитель наращения будет 1.25*1.25 или 1.25 ²=1.5625. В общем случае множитель наращения по сложной процентной ставке за n периодов начисления будет равен возведенной в n -ную степень суммы единицы и процентной ставки, выраженной в виде дроби (как правило, десятичной).

При математическом дисконтировании по сложной ставке процентов решается обратная задача. Поэтому дисконтный множитель будет равен обратной величине множителя наращения и будет равен возведенной в минус n -ную степень суммы единицы и процентной ставки.

Таким образом, мы познакомились с элементами финансовых операций, из которых складываются более сложные схемы (потоки платежей, финансовые ренты и др.) с различными периодами начисления процентов и выплаты средств. Однако, расчеты всех эти схем можно свести к перечисленным выше операциям и действиям. При расчете сложных схем приходится работать с членами арифметической и геометрической прогрессии, находить их суммы или другие элементарные функции . Основные, наиболее часто применяемые схемы рассмотрены в данной теме, а для более подробного ознакомления с практикой расчетов более сложных финансовых схем необходимо обратиться к источникам, приведенным в этой теме.