Эквивалентность сложных процентных ставок

  Сложная процентная ставка (iсл) Сложная учетная ставка (dсл)
Сложная учетная ставка (dсл) Эквивалентность сложных процентных ставок - student2.ru (21)   Эквивалентность сложных процентных ставок - student2.ru (22)  
Сложная номинальная процентная ставка (j) при начислении процентов m раз в год Эквивалентность сложных процентных ставок - student2.ru (23)   Эквивалентность сложных процентных ставок - student2.ru (24) Эквивалентность сложных процентных ставок - student2.ru (25)   Эквивалентность сложных процентных ставок - student2.ru (26)

Внимание! Полученная по формуле (23) годовая ставка сложных процентов, эквивалентная номинальной процентной ставке, называется эффективной ставкой сложных процентов.

Эффективная ставка измеряет тот реальный относительный доход, который получает кредитор в целом за год. Иначе говоря, она отвечает на вопрос: какую годовую ставку сложных процентов необходимо установить, чтобы получить такой же финансовый результат, как при m – разовом начислении процентов год по ставке Эквивалентность сложных процентных ставок - student2.ru . Эффективную ставку сложных процентов полезно знать, чтобы оценить реальную доходность финансовой операции, или сравнивать процентные ставки в случае, когда используются различные интервалы начисления. Очевидно, что значение эффективной ставки больше значения номинальной, а совпадают они при m=1.

Задача 8. Можно ли с помощью двух различных ставок получить один и тот же финансовый результат? Поясните на примере.

__

__

Задача 9. Определите номинальную ставку сложных процентов при их ежеквартальном начислении, эквивалентную сложной учетной ставке dc =15% годовых.

Решение:

Проверка:

Задача 10. Определите эффективную ставку сложных процентов с тем, чтобы получить такую же наращенную сумму, как и при использовании номинальной ставки j = 18%, при ежеквартальном начислении процентов.

Решение:

Проверим данный расчет. Предположим, что выдан кредит в размере 400 тыс. руб. по ставке _______ (сложные проценты) на срок два года. Наращенная сумма долга составит:

FV =

FV =

Задача 11. Срок уплаты по долговому обязательству – полгода, простая учетная ставка равна 18 %. Какова доходность данной операции, измеренная в виде простой ставки ссудного процента?

Решение:

Задача 12. Рассчитать Эффективную ставку сложных процентов, если номинальная ставка равна 24 % и начисление процентов происходит ежемесячно.

Решение:

Задача 13. Определить, под какую ставку процентов выгоднее поместить капитал в 10 000 000 руб. на пять лет:

а) под простую

б) под сложную ставку в 25 % при ежеквартальном начислении?

Решение: В данном случае не обязательно считать величину наращенной суммы, получаемой при различных ставках. Поэтому не важна величина первоначального капитала. Достаточно найти, например, простую процентную ставку, эквивалентную данной сложной процентной ставке:

Так как простая процентная ставка, которая дала бы одинаковый с данной сложной процентной ставкой результат значительно превышающий предложенный (30%), ясно, что гораздо выгоднее использовать сложную процентную ставку. Подсчитаем теперь наращенные суммы, получаемые в обоих случаях, чтобы выяснить насколько более выгодна сложная ставка. Используем для этого формулы (1) и (20)

FV =

FV =

Задача 14. Определить номинальную ставку процентов, которая обеспечивала бы годовую доходность в 26 %, если начисление процентов происходит ежемесячно по сложной процентной ставке.

Решение:

Определение эквивалентности, при несовпадении начальных условий. Можно определить также процентную ставку, эквивалентную данной, когда начальные условия полностью или частично не со­впадают. Данная ситуация может возникнуть, например, если есть возможность выбора между различными коммерческими предложениями.

Рассмотрим следующую задачу:

Какова должна быть сложная учетная ставка dc чтобы сумма РV1, вложенная под эту ставку на n1 лет, достигла той же величи­ны, что и сумма РV2, вложенная под сложную ставку ссудного про­цента iс на n2 лет?

Поскольку финансовые результаты обеих операций должны быть равны, составляем следующее уравнение эквивалентности:

Эквивалентность сложных процентных ставок - student2.ru (27)

Отсюда

Эквивалентность сложных процентных ставок - student2.ru (28)

Можно решить уравнение относительно iс, тогда

Эквивалентность сложных процентных ставок - student2.ru (29)

Как определить, что выгоднее, заплатить сумму FV1 через n1 лет или сумму FV2 через n2 лет? Будем считать, что FV1 < FV2 и n1 < n2 (иначе задача имеет тривиальное решение).

В зависимости от размера процентной ставки (возьмем для примера сложную ставку ссудного процента), под которую могут быть вложены деньги, суммы FV1 и FV2 имеют различные современ­ные величины PV1 и РV2:

Эквивалентность сложных процентных ставок - student2.ru (30)

В этом случае выгоднее выплачивать меньшую сумму FV1. По­скольку n1< n2, для достаточно больших ic будет выполняться PV1> РV2. Тогда найдется i0, уравнивающая ставка, при которой современные величины обеих сумм совпадут.

Т.е.

Эквивалентность сложных процентных ставок - student2.ru  

Откуда

Эквивалентность сложных процентных ставок - student2.ru (31)

ü Для всех ic < i0 предпочтительнее вариант с меньшей суммой и меньшим сроком.

ü Для ic > i0 - с большими.

ü При iс= i0 финансо­вые результаты обеих операций эквивалентны.

Аналогичные формулы могут быть получены для всех видов процентных ставок.

Задача 15. Капитал, взятый в кредит, вложен под сложную ставку ссудного процента 22% годовых. Для расчета с кредиторами необходимо выплатить 30 000 000 через два года или 36 000 000 через три года. Какой вариант предпочтительней?

Решение: По формуле (31) найдем уравнивающую процентную ставку:

Наши рекомендации