Формулы для определения стоимости финансовой ренты

Дополнительные условия рентных платежей	Наращенная стоимость финансовой ренты с постоянными платежами	Современная стоимость постоянной финансовой ренты
ренты постнумерандо S	ренты пренумерандо S'	ренты постнумерандо А	ренты пренумерандо А'
р=1; m=1		S' =		А' =
р=1; m>1		S' =		А' =
р>1; m=1		S' =		А' =
р>1; m>1; р≠m		S' =		А' =
р>1; m=р>1;		S' =		А' =
р=1; непрерывное начисление процентов		S' =		А' =
р>1; непрерывное начисление процентов		S' =		А' =

Дисконтирование денежных потоков - это приведение стоимости потоков платежей, выполненных в разные моменты времени, к стоимости на текущий момент времени. Это делается, например, при экономической оценке эффективности инвестиций или при оценке бизнеса.

Дисконтирование отражает тот экономический факт, что сумма денег, которой мы располагаем в настоящий момент, имеет большую реальную стоимость, чем равная ей сумма, которая появится в будущем. Это обусловлено несколькими причинами, например:

Имеющаяся сумма может принести прибыль, например, будучи положена на депозит в банке.

Покупательная способность имеющейся суммы будет уменьшаться из-за инфляции.

Всегда есть риск неполучения предполагаемой суммы.

Очень часто в контрактах финансового характера предусматривают не отдельные разовые платежи, а серию платежей, распределенных во времени. Примерами могут быть регулярные выплаты с целью погашения долгосрочного кредита вместе с начисленными на него процентами, периодические взносы на расчетный счет, на котором формируется некоторый фонд различного назначения (инвестиционный, пенсионный, страховой, резервный, накопительный и т.д.), дивиденды, выплачиваемые по ценным бумагам, выплаты пенсий из пенсионного фонда и пр. Ряд последовательных выплат и поступлений называют потоком платежей. Выплаты представляются отрицательными величинами, а поступления - положительными.

Обобщающими характеристиками потока платежей являются наращенная сумма и современная величина. Каждая из этих характеристик является числом.

Наращенная сумма потока платежей — это сумма всех членов последовательности платежей с начисленными на них процентами к концу срока ренты.

Под современной величиной потока платежей понимают сумму всех его членов, дисконтированных (приведенных) на некоторый момент времени, совпадающий с началом потока платежей или предшествующий ему.

Конкретный смысл этих обобщающих характеристик определяется природой потока платежей, причиной, его порождающей.

Например, наращенная сумма может представлять собой итоговый размер формируемого инвестиционного или какою-либо другого фонда или общую сумму задолженности. Современная величина может характеризовать приведенную прибыль или приведенные издержки.

КРЕДИТНЫЕ СДЕЛКИ, ВЫБОР ВАРИАНТА ПОГАШЕНИЯ

ДОЛГА И СОСТАВЛЕНИЕ ПЛАНА ПОГАШЕНИЯ КРЕДИТА

Кредит как экономическое явление является передачей во временное пользование материальных ценностей в денежной или товарной форме. При этом кредитные отношения проявляются в виде конкретных кредитных сделок, формы и условия которых отличаются значительным многообразием. Сущность же кредита всегда устойчива и неизменна; независимо от специфики проявления она сохраняет черты, присущие экономическим отношениям, лежащим в основе кредита.

Как экономическая категория кредит представляет собой совокупность определенных экономических отношений. Их обособление в отдельный вид происходит на основе особенностей субъектов и объектов этих отношений. С этих позиций кредит можно характеризовать как отношения между кредитором и заемщиком по поводу возвратного движения стоимости.

Кредитные сделки отличает их большое разнообразие: выдача кредита банком, открытие сберегательного счёта в банке, учёт векселя и др. Конкретные условия сделок должны определяться в соответствующем финансовом контракте, который будет служить её юридическим обеспечением.

Финансовый контракт, на основе которого осуществляется кредитная сделка, обуславливает возврат полученного долга должником через указанный срок и начисленный процент за его использование.

Со стороны кредитора сущность кредитной сделки представляет собой определённую выгоду. В свою очередь заёмщик получает возможность воспользоваться необходимыми дополнительными средствами.

Простая кредитная сделка в общем случае представляет собой единовременную выдачу займа (кредита, ссуды), который будет погашен в конце срока сделки одним платежом и подразумевает участие двух лиц.

Основная сумма долга может быть погашена целиком по оконча­нии срока кредита или может погашаться постепенно в течение всего срока. Проценты обычно выплачивают от суммы непогашенного ос­татка кредита (от остаточной суммы долга).

Существуют различные варианты порядка погашения основной суммы долга:

1) единовременное погашение основного долга и процентов;

2) погашение периодическими взносами:

а) с равномерным погашением основной суммы долга;

б) с неравномерным погашением основной суммы долга;

3) амортизационное - постепенная выплата равномерными по­гасительными взносами основной суммы долга и процентов.

Рассмотрим различные варианты на примере, где размер креди­та, процентная ставка и срок пользования кредитом будут постоянны, но будут меняться условия погашения основной суммы долга, а про­центы будут выплачиваться ежегодно.

С точки зрения снижения риска во взаимоотношениях с заемщи­ком кредитору более выгоден вариант распределенных во времени платежей.

При погашении основного долга частями текущий его размер пос­ле каждой выплаты уменьшается, а следовательно, сумма процентов также будет уменьшаться, поскольку они начисляются на остаточную сумму основного долга. Вариантов погашения основного долга перио­дическими взносами с неравномерным погашением основного долга может быть очень много.

Например, при погашении кредита периодическими взносами определенная часть основной суммы долга выплачивается на протя­жении всего срока пользования кредитом. Однако в момент погаше­ния кредита может быть предусмотрен значительно больший платеж, чем размер более ранних погашений.

Пример.Вариант 1.Компания получает кредит 50 тыс. дол. на три года. Каждые полгода в течение двух с половиной лет выплачивается по 5 тыс. дол. плюс проценты. Процентная ставка составляет 10% го­довых.

Таким образом, к концу трехлетнего периода непогашенной ос­тается 25 тыс. дол. (см. табл. 6, гр. 2). Остаточная стоимость долга на начало соответствующего периода определяется вычитанием из ос­таточной суммы на начало предыдущего периода суммы погашения ос­новного долга следующего по порядку платежа (см. гр. 3 табл. 6). Сум­ма процентов получается умножением остаточной суммы основного долга на начало периода на размер процентной ставки и срок между дву­мя платежами. Так как между платежами полугодовой период (0,5 года), то, например, сумма процентов первого платежа составит:

50 000 х 0,1 х 0,5 = 2500 дол.

Всего в этом варианте погашения кредита заемщиком выплачива­ется 11 250 дол. в виде процентов.

Таблица 6.

План погашения кредита с неравномерными периодическими взносами, дол.

Номер шестимесячного периода	Сумма погашения основного долга	Остаточная сумма долга на начало периода	Сумма процентов	Погасительный платеж
Итого

Размер погасительного платежа (гр. 5) получают суммированием сумм погашения основного долга и процентов (гр. 2 + гр.4). Величина погасительного платежа характеризует ту сумму, которую должен иметь заемщик на дату каждого платежа в соответствии с составленным в про­цессе переговоров между заемщиком и кредитором графиком платежа. Итоговая строка гр. 5 характеризует общую сумму, которую заемщик должен выплатить в течение всего срока кредита.

Второй вариант будет представлен равномерным погашением ос­новного долга на протяжении всего срока кредита, поскольку они на­числяются на остаточную сумму основного долга. Вариантов погаше­ния основного долга периодическими взносами с неравномерным погашением основного долга может быть очень много.

Вариант 2.Погашение предоставленного компании кредита на три года в размере 50 тыс. дол. под процентную ставку 10% годовых осуществля­ется равномерными выплатами основной суммы долга в конце каждого полугодия. Проценты выплачиваются от остаточной суммы долга так­же в конце полугодия.

Для разработки плана погашения кредита первоначально опреде­лим сумму разового погашения основного долга. Поскольку всего за три года будет шесть платежей, сумма разового платежа равна 8333 дол. (50000/6). Из-за округлении несколько будет отличаться величина последнего (шестого) платежа (см. гр. 2 табл. 7).

Таблица 7.

План погашения кредита с равномерными выплатами основной суммы долга, дол.

Номер платежа	Сумма погашения основного долга	Процент за кредит	Погасительный платеж	Остаточная сумма долга на конец периода
Итого

Для определения общей суммы погасительного платежа нужно рас­считать сумму процентов. В конце первого полугодия их величина составит 2500 долл. (50000 * 0,10/2), а следовательно сумма погасительного платежа будет равна 10 833 дол. (8333 + 2500). В графе 5 табл. 7 приво­дится остаточная сумма основного долга, которая используется для оп­ределения процентов за кредит для каждого следующего платежа. Так, за второе полугодие заемщик должен уплатить 5% от суммы 41 667 дол., т.е. сумму в 2083 дол. За третье полугодие проценты составят 1667 дол. (33334 * 0,10/2) т.д.

В связи с тем, что в каждом последующем погасительном платеже сумма процентов снижается (т.к. уменьшается остаточная сумма долга) при неизменной сумме погашения основного долга, будет снижаться общий размер погасительного платежа и удельный вес суммы выплачи­ваемых процентов в погасительном платеже.

Рассмотрим вариант амортизационного погашения долга.

Вариант 3. Компания получает кредит в размере 50 тыс. дол. на срок три года и выдала обязательство выплачивать 10% годовых от остаточной сум­мы долга на начало периода. Выплата процентов и погашение основного долга производится 2 раза в год равными погасительными платежами.

Последовательность платежей в данном варианте погашения дол­га будет представлять собой финансовую ренту, современная стоимость которой должна быть равна сумме полученного кредита (долга).

В условии данного варианта известна величина долга - 50 тыс. дол. Размер процентной ставки - 10%, число платежей в году и начислений процентов р = т = 2, срок кредита п = 3 года.

Первоначально следует найти величину погасительного платежа, т.е. размер той суммы, которую заемщик должен выплачивать кредитору каждое полугодие - величину R/p. Воспользуемся формулой, используемой для расчета современной стоимости финансовой ренты, когда р=m.

(5000 *0,10/2)/(1-(1+0,10/2)^-2*3 = 9850,28 дол.

Таким образом, каждые полгода фирма должна выплачивать кредитору 9850,28 дол., т.е. мы определили размер постоянного погасительного платежа на протяжении всего срока действия кредитного соглашения (см. гр. 4 табл. 8). Для того чтобы выделить из состава погасительного платежа сумму погашения основного долга, необходимо дли каждого платежа определить сумму выплачиваемых процентом.

Таблица 8.

План погашения кредита равными погасительными платежами, дол.

Номер шестимесячного периода	Сумма кредита на начало периода	Сумма процентов за период	Погасительный платеж	Остаток погашения основного долга
			9850,28	7350,28
	42649,72	2132,49	9850,28	7717,79
	34931,93	1746,60	9850,28	8103,68
	26828,25	1341,41	9850,28	8508,87
	18319,38	915,97	9850,28	8934,31
	9385,07	469,25	9850,28	9385,07
Итого		9105,72	59105,72

На начало первого шестимесячного периода сумма долга составляет 50 тыс. дол., а следовательно, величина процентов за это полугодие составит 2500 дол. (50000 * 0,10/2). Сумма погашения основного долга определится вычитанием из суммы погасительного платежа суммы процентов за период. Для второго платежа проценты определяются от остаточной суммы 42649,72 дол. и составят 2132,49 дол. (42649,72 * 0,10/2) и т.д.

Теперь можно сопоставить размеры процентов по четырем из мно­жества различных вариантов погашения кредита.

При единовременном погашении основной суммы долга и вып­лате процентов по полугодиям их общая сумма составит 17 005 дол. [50000 (1+0,10/2)⁶ -50000].

При одном из приведенных вариантов неравномерного погашения основной суммы долга (см. табл. 6) проценты должны будут составлять 11250 дол.

При равномерном погашении основного долга (см. табл. 7) проценты составляют 8750 дол.

И наконец, амортизационное погашение кредита приводит к сумме процентов 9105,72 дол. (см. табл. 8).

С точки зрения заемщика более выгодным является возможность расплатиться с кредитором как можно позже, и с этих позиций заемщику наиболее выгоден, казалось бы, вариант единовременного погашения долга. Однако нельзя упускать из виду и задачу минимизации процентных расходов по обслуживанию долга, а в этом случае сумма процентов является наибольшей из приведенных вариантов погашения кредита.

Вместе с тем для банка наименее желательным является вариант единовременного погашения основной суммы долга. Способы, предполагающие периодические выплаты в счет погашения основной суммы долга, являются предпочтительными, поскольку постепенно снижаются риски по мере истечения срока кредита. Как правило, вариант единовременного погашения долга используется при краткосрочном кредитовании первоклассных заемщиков.

Остановимся более подробнее на втором и третьем способах погашения ссуды и постараемся ответить на вопрос о том, какой вариант предпочтительнее с точки зрения заемщика. Если в качестве критерия рассматривать минимизацию суммы процентов, то предпочтение, казалось бы, следует отдать периодическим взносам с равномерным погашением ос­новной суммы долга (вариант № 2). Однако если сравнить погаситель­ные платежи, то в первом, втором и третьем полугодии они меньше при способе амортизации долга соответственно на 982,72, 565,72 и 149,72 дол. Возможность инвестирования этих средств может перекрыть не только разность процентов по этим способам погашения долга, но и даст дополнительный доход. По этим соображениям заемщику окажется предпочтительнее вариант амортизации долга.

Для кредитора вариант погашения кредита равными погаситель­ными платежами в сравнении с равномерными выплатами основной суммы долга привлекателен большей суммой процентных выплат (9105,72 дол. против 8750 дол.), хотя, с другой стороны, большей оста­ется на начало периода непогашенная сума основного долга, что означает наличие большего кредитного риска для банка. Поэтому при выборе варианта погашения долга должна быть учтена цель, поставленная кредитором: максимизация процентного дохода или минимизация кредитно­го риска. Следует учитывать также и необходимость минимизации операционных издержек по ведению и контролю за погашением долга. И этой связи широкое распространение получил вариант погашения долга равными погасительными платежами. Этот вариант применяется так же в потребительском и ипотечном кредитах.

В последние годы в России наблюдается несомненный прогресс в развитии взаимоотношений коммерческих банков с населением. Это проявляется не только в росте депозитных операций, расширении спек­тра депозитных вкладов, но и в развитии различных форм кредитова­ния физических лиц. Учитывая длительный опыт работы с населени­ем западных банков, безусловный интерес представляет изучение и обобщение опыта их работы в этой сфере.

Для приобретения товаров длительного пользования за рубежом населению представляются так называемые «потребительские» ссуды. Эти ссуды могут предоставляться в форме прямого банковского кре­дита, когда кредитный договор заключается между банком и заемщи­ком, а также в форме косвенного банковского кредита. Косвенный бан­ковский кредит предполагает наличие посредника в кредитных отношениях банка и клиента, которым обычно являются крупные пред­приятия розничной торговли. Косвенное банковское кредитование представляет интерес для клиента, поскольку он получает ссуду в мо­мент возникновения потребности (при приобретении товаров длитель­ного пользования в магазине) и для него нет необходимости обращаться непосредственно в банк за получением ссуды.

Некоторые российские торговые компании стали развивать эту форму потребительского кредита и в своей рекламе стараются сделать ее как можно более привлекательной для населения. Вместе с тем каж­дому потребителю этой услуги нужно уметь грамотно прочитать информацию рекламы и сделать правильный выбор, руководствуясь либо требованием минимизации финансовых издержек по обслуживанию долга, либо минимизацией затрат времени на оформление кредита и приобретение нужного товара.

Рассмотрим подробнее приводимый в рекламе пример покупки товара в кредит.

Пример.Телевизор определенной марки на момент покупки его клиен­том стоит в магазине 17 500 руб. Клиент должен заплатить наличными 3500 руб. (20% от 17500 руб.). Следовательно, 14 тыс. руб. «Банк Рус­ский Стандарт» представляет в качестве кредита.

График платежей по кредиту, предлагаемый банком, представлен в табл. 9.

Номер платежа	Погасительный платеж	В том числе
проценты	погашение основного долга
1-й
2-й
3-й
4-й
5-й
6-й
Итого

И далее на основе представленных расчетов покупателю сообща­ют, что проценты по кредиту (1460 руб.) составляют 10,45% от размера кредита (14 тыс. руб.).

Можно ли принимать представленную здесь величину 10,45% за раз­мер процентной ставки и, следовательно, сравнивать с процентной став­кой по кредитам населению в банках? (Например, в тот же период в Сбер­банке России процентная ставка по кредитам населению составляла 28%.)

Рассмотрим подробнее, как получена величина 10,45%. Размер про­центов составил 1460 руб. Но ведь это сумма за полгода, а процентная ставка приводится в расчете на год. Воспользуемся формулой процентов для простой процентной ставки и рассчитаем годовую процентную ставку:

1460/ (14000 *0,5) =0,20857, т.е. 20,86%.

Потребительский кредит предоставляется физическим лицам на покупку товаров длительного пользования, образовательные цели, отдых и т.п. Сегодня с его помощью может удовлетворяться и текущий потребительский спрос клиента при покупке товаров с помощью кредитных карточек. Потребительские кредиты чаще всего погашаются в рассрочку.

Потребительский кредит может быть направлен на инвестиционные цели. Например, заем идет на улучшение жилищных условий, создание подсобного домашнего хозяйства, кооперативное и индивидуальное жилищное строительство, капитальный ремонт жилых домов. Потребительский кредит может быть использован на текущие потребности. Он предоставляется в виде рассрочек платежей за товары, денежных ссуд на их приобретение и неотложные нужды, ссуд под залог имущества в ломбардах и т. д.

Кредитование потребительских нужд населения осуществляется на принципах, возвратности, срочности, целевой направленности, платности, обеспеченности. Важным условием при выдаче ссуд является платежеспособность заемщика. Потребительский кредит без обеспечения предоставляется если требуется незначительная сумма денежных средств. Если требуется значительная сумма денежных средств, потребительский кредит банки предоставляют под поручительство физических лиц.

Привлекательность ипотечного кредитования для банков оп­ределяется рядом факторов. Прежде всего кредитование под залог недвижимости обеспечивает определенную гарантию для банка воз­врата средств, кроме того, в России существует устойчивый спрос на ипотечные ссуды со стороны покупателей жилья. С другой стороны, развитие ипо­теки в Российской Федерации сдерживается пока еще достаточно высокими процентными ставками и наличием достаточно широко­го спектра дополнительных условий в виде комиссионных за рас­смотрение заявок на ипотеку, за ведение ссудного счета и др.