Расчет уровня процентной ставки и срока платежа при заданных современных или будущих суммах денежных средств.

При анализе финансовых контрактов, при их разработке бывает необходимо знать не только наращенные или дисконтированные суммы денежных средств, но и, наоборот, при известных суммах уметь рассчитать уровень процентной ставки или определить срок ссуды при прочих заданных параметрах. Формулы для расчета этих величин легко вывести из соответствующих формул для определения наращенных или дисконтированных сумм. Так, срок ссуды для простой процентной ставки можно определить по формуле:

Расчет уровня процентной ставки и срока платежа при заданных современных или будущих суммах денежных средств. - student2.ru (24)

а для простой учетной ставки по формуле:

Расчет уровня процентной ставки и срока платежа при заданных современных или будущих суммах денежных средств. - student2.ru (25)

Уровень процентной ставки (учетной ставки) определяется по формулам:

Расчет уровня процентной ставки и срока платежа при заданных современных или будущих суммах денежных средств. - student2.ru (26)

Расчет уровня процентной ставки и срока платежа при заданных современных или будущих суммах денежных средств. - student2.ru (27)

Пример 9. Сколько времени потребуется для того, чтобы при простой процентной ставке 20 % нарастить сумму с 50 до 80 тыс. руб.

Решение:

Расчет уровня процентной ставки и срока платежа при заданных современных или будущих суммах денежных средств. - student2.ru (28)

Пример 10. В финансовом контракте заемщик обязуется погасить долговое обязательство на сумму 100 тыс. руб. через 270 дней и в сумме 130 тыс. руб. Определить доходность операций для кредитора, если бы он применил:

а) простую процентную ставку r;

б) простую учетную ставку d;

В обоих случаях процент обыкновенный, то есть год принимается за 360 дней.

Решение:

а)

Расчет уровня процентной ставки и срока платежа при заданных современных или будущих суммах денежных средств. - student2.ru = 40,0 %

б)

Расчет уровня процентной ставки и срока платежа при заданных современных или будущих суммах денежных средств. - student2.ru = 30,8 %

Несколько сложнее рассчитать срок ссуды и уровень процентной ставки для сложных процентов. Для определения срока ссуды при использовании сложной процентной ставки необходимо прологарифмировать выражение S = P * (1 + r) n (формула 9).

(1 + r) n = S/P

log (1 + r) n = log S/P

n log (1 + r) = log S/P

Расчет уровня процентной ставки и срока платежа при заданных современных или будущих суммах денежных средств. - student2.ru (29)

Соответственно, для номинальной процентной ставки:

Расчет уровня процентной ставки и срока платежа при заданных современных или будущих суммах денежных средств. - student2.ru (30)

Для определения срока ссуды при использовании постоянной силы роста (непрерывной ставки) удобно воспользоваться натуральным логарифмом, основанием которого является число е. В этом случае

Расчет уровня процентной ставки и срока платежа при заданных современных или будущих суммах денежных средств. - student2.ru (31)

Аналогично можно определить сроки ссуды для учетной ставки:

Расчет уровня процентной ставки и срока платежа при заданных современных или будущих суммах денежных средств. - student2.ru (32)

Для номинальной учетной ставки:

Расчет уровня процентной ставки и срока платежа при заданных современных или будущих суммах денежных средств. - student2.ru (33)

Пример 11. Предприятие имеет 100 тыс. руб. свободных денежных средств. На покупку оборудования ему необходимо 300 тыс. руб. За какой срок предприятие может получить необходимую сумму, если положит свободные деньги на депозитный счет при условии начисления:

а) 20% годовых раз в год по сложной ставке;

б) 20% годовых поквартальной капитализацией процентов по сложной ставке.

Решение:

а) Расчет уровня процентной ставки и срока платежа при заданных современных или будущих суммах денежных средств. - student2.ru = 6,02576

б) Расчет уровня процентной ставки и срока платежа при заданных современных или будущих суммах денежных средств. - student2.ru = 5,63

Из формул 3, 6, 9, 10, 14 легко можно вывести формулы для определения уровня процентной ставки для заданных параметров денежных сумм и периодов начисления. Сложная годовая ставка равна:

r = (S/P)1/n – 1 (34)

Формула 34 выведена из формулы (9) следующим образом:

S = P *(1 + r)n

(1 + r)n = S/P

[(1 + r)n] 1/n = (S/P) 1/n

1 + r = (S/P) 1/n

r = (S/P) 1/n – 1

Аналогично:

Для номинальной процентной ставки:

r = m [(S/P)1/mn - 1] (35)

для годовой учетной ставки:

d = 1 - (P/S) 1/n (36)

для номинальной учетной ставки:

d = m *(1 - (P/S)1/mn ) (37)

для непрерывной ставки:

Расчет уровня процентной ставки и срока платежа при заданных современных или будущих суммах денежных средств. - student2.ru (38)

Пример12. Определить сложную процентную ставку, если P = 100 руб., S = 1500 руб., n = 2.

Решение:

r = (1500/1000)1/2 – 1 = 22,4 %

Все вышеприведённые формулы для расчётов сгруппированы в таблице

Вид ставки Наращённая сумма Дисконтирование Расчёт срока ссуды (n) при других заданных условиях Расчёт уровня ставки при других заданных условиях
Процентная ставка Учётная ставка Процентная ставка Учётная ставка Процентная ставка Учётная ставка Процентная ставка Учётная ставка
Простая S = P(1+ nr) S= P   P = S   P = S(1 - nd)   n = S/P-1     n = 1 - P/S     r = S/P - 1   d = 1 - P/S
1 - nd   1+ nr     r     d     n   n
Сложная S = P(1+ r)n S= P   P = S   P = S(1 - d)n   n = log S/P   n = log P/S     r = ( S )1/n - 1 d = 1 - ( P )1/n
(r - d)n   (1+ r)n     log (1+ r)   log (1- d)     P S
Сложная с несколькими начислениями S=P(1+ r )n m     P = S P = S(1- d )m n n = log S/P n = log P/S r = m[( S )1/m n - 1] d=m[1-( P )1/m n]
m     (1+ r )m n m log (1+ r )m m log (1- d ) P S
          m         m   m              
Непрерывная S = Per n         P = Se-r n       n = ln S/P             r = ln S/P        
              r             n        
Эффективная re = (1+ r )m - 1 de=1-(1- d )m                                            
m m                                            
                                                           
                                                           
P - первоначальная стоимость     n - срок ссуды             r - процентная ставка                
                                                           
S - сумма с наращением       m - число начислений в году         d - учётная ставка (discont)            
                                                             

Наши рекомендации