Основы стохастической финансовой математики

Изменение расчетных схем в условиях неопределенности

1. Плавающая ставка процента

Рассмотрим 3 варианта начисления процентов за пользование деньгами на единичном промежутке времени:

· проценты начисляются по ставке i в конце промежутка;

· проценты начисляются по случайной ставке, ставка в среднем равна i процентов;

· проценты начисляются по ставке i дважды: половина незадолго до конца промежутка и вторая половина – на таком же временном расстоянии после окончания промежутка.

1 вариант –вариант детерминированного финансового анализа;

2 вариант. Пусть f(x) –плотность распределения случайной ставки Х, тогда начисляемые процентные деньги есть случайная величина Х с математическим ожиданием М(Х) =i –детерминированный эквивалент случайной ставки.

3 вариант. Поскольку проценты начисляют дважды в моменты времени, близкие к концу некоторого единичного промежутка, то обозначим их соответственно (1-е) и (1+е), где е – небольшое положительное число. Приведем начисленные дважды процентные деньги i/2 к моменту 1. Получим эквивалент суммарных процентных денег в момент1: (i/2)*(1+i)^e +(i/2)*(1+i)^-e>2*i/2. Т.о. детерминированный вариант начисляемой процентной ставки больше чем i.

2 и 3 варианты возникают в том случае, когда банк имеет много филиалов, относительно самостоятельных в части выплаты процентов.

2 вариант возникает, когда все они начисляют проценты в конце промежутка, но сами проценты случайные, хотя в среднем процентная ставка равна i (усреднение по географическому признаку) – такой вариант назовем случайными процентами.

3 вариант получается, когда в каждом филиале начисляют одни и те же проценты, но день начисления случаен. Здесь случайным является момент времени ( усреднение по времени начисления процентов). Детерминированный эквивалент случайного во времени начисления процентов больше чем математическое ожидание ( по моменту времени) начисляемых процентов.

Аналогичные выводы следует сделать по поводу различных вариантов дисконтирования к современному моменту будущих сумм (выплаты займа, выплата дивидендов).

Вывод: если возможно, свой долг плати позже, а долги себе собирай пораньше.

2. Случайные потоки платежей.

Такие потоки могут быть частично детерминированы: полностью определены моменты платежей, либо величины платежей и т.д.

Пример 1.

Пример 2.

3. Рисковые инвестиционные процессы.

4. Подсчет доходности вероятностных операций в условиях неопределенностью

Денежная оценка начала операции обычно известна. Неопределенность конечной оценки может быть двоякой:

· не полностью известна ее величина, но момент окончания операции известен точно; В этом случае вместо конечной оценки используется ее математическое ожидание.

· полностью известна ее величина, но закончиться операция может в любой момент.

Пример 3. Начальный капитал челнока равен 1000 долларам. Опытные люди сказали, что в результате поездки за товаром и его последующей реализации капитал может с равной вероятностью возрасти в два раза, не измениться или уменьшиться в два раза (с вычетом сопутствующих издержек). Найти среднюю ожидаемую доходность планируемой операции.

Решение. Средняя ожидаемая доходность будет: ((2000+1000+500)/3-1000)/1000=17%.

Пример 4. Запас золота в месторождении известен как и начальные инвестиции в его разработку. Фактически полная отдача месторождения тоже фиксирована. Следовательно доходность в процентах годовых будет зависеть от длительности выработки месторождения: чем дольше будет вырабатываться месторождение, тем меньше доходность.

Пример 5. Какова средняя ожидаемая доходность операции, если есть 2 варианта данной операции:

· 1в.- вероятность его оценивается в 0,9 и предусматривает затраты в 10000 долл., а прибыль – 3000 долл.

· 2в.- вероятность =0,1, а затраты равны 20 000 тыс. долл., прибыль равна 10 000 долл.

Решение. Доходность равна 0,9*0,3+0,1*0,5.