Типовые примеры и методы их решения. Пример 3.3.1. Работник заключает с фирмой пенсионный контракт на 12 лет, согласно которому на счет работника в банке в конце каждого двухлетнего периода будет

Пример 3.3.1. Работник заключает с фирмой пенсионный контракт на 12 лет, согласно которому на счет работника в банке в конце каждого двухлетнего периода будет поступать по 3 тыс. руб. Требуется определить наращенную сумму к концу действия контракта, если на поступающие суммы будут начисляться: а) ежегодно сложные проценты по номинальной годовой процентной ставке 24%; б) ежеквартально сложные проценты по номинальной годовой процентной ставке 24%; в) непрерывны, проценты с силой роста 24% за год.

Решение.Денежные поступления образуют постоянный аннуитет постнумерандо с А = 3 тыс. руб., сроком п = 12 лет и периодом и = 2 года. Следовательно, период аннуитета больше базового периода начисления процентов, равного году. Схематично это выглядит таким образом:

3 3 3 3 3 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 t лет

а) В этом случае r = 24%, m = 1 и по формуле (146) получим:

тыс. руб.

б) Поскольку в этом случае начисление процентов ежеквартальное, то m = 4 и по формуле (146) получим:

тыс. руб.

в) Полагая , по формуле (149) находим:

тыс. руб.

Пример 3.3.2. Определите сумму, которую необходимо поместить на счет в банке, чтобы в течение 15 лет в конце каждого трехлетнего периода иметь возможность снимать со счета 8 тыс. руб., причем к концу срока полностью выбрать все деньги со счета, если на находящиеся на счете денежные суммы будут начисляться: а) ежегодно сложные проценты по ставке 20%; б) каждые полгода сложные проценты по ставке 20%; в) непрерывные проценты с силой роста 20%.

Решение. Во всех случаях надо определить приведенную стоимость постоянного аннуитета с А = 8 тыс. руб., периодом u = 3 года и сроком n = 15 лет.

а) Так как r =20%, то, применяя формулу (147) при m = 1, получим:

тыс. руб.

б) В этом случае m = 2, r = 20%, и поэтому из формулы (147) следует, что:

тыс. руб.

в) Поскольку в этом случае начисляются непрерывные проценты с силой роста = 0,2 , то по формуле (150) получим:

тыс. руб.

Пример 3.3.3. На счет в банке в начале каждого двухлетнего периода будет поступать по 8 тыс. руб. в течение 10 лет. Требуется определить: а) будущую стоимость аннуитета; б) приведенную стоимость аннуитета, если на поступающие суммы будут ежегодно начисляться декурсивные сложные проценты по ставке 22% годовых.

Решение. Согласно условию имеем аннуитет пренумерандо с членом А = 14 тыс. руб., периодом u = 2 года и сроком n = 10 лет. Сложная процентная ставка r = 22% годовых и число начислений процентов m = 1.

а) В соответствии с формулами (146) и (152) получим:

тыс. руб.

б) По формулам (147) и (153):

тыс. руб.

Пример 3.3.4. Предприниматель приобрел оборудование в кредит за 900 тыс. руб. под 25% годовых, начисляемых по схеме сложных процентов на непогашенный остаток. Возвращать долг нужно равными суммами в конце каждого второго года и им платить весь долг за 10 лет. Требуется определить величину каждого платежа и составить план погашения долга.

Решение.Обозначим через А величину каждого искомого платежа. Поток этих платежей представляет собой аннуитет постнумерандо, для которого руб., r = 25%, п = 10, m = 1, u = 2. Поэтому для нахождения величины А можно пользоваться формулой (147), из которой следует:

руб.

Теперь поясним составление плана погашения долга. Поскольку в течение первых двух лет предприниматель пользовался кредитом в размере 900000 руб., то платеж, который равен 567147 руб. и будет сделан в конце второго года, состоит из следующих двух частей: сложных процентов за два года в сумме 506250 руб. ( руб.) и погашаемой части долга в сумм 567147 - 506250 = 60897 руб. В следующем двухлетии расчет будет повторен при условии, что размер кредита, которым пользу предприниматель, составит уже меньшую сумму по сравнению с первыми двумя годами, а именно: 900000 - 60897 = 839103 руб. Таким образом, сложные проценты за два года будут равны 471995руб. ( руб.), а погашаемая часть долга будет равна 567147 – 471995 = 95152 руб. и т.д. Ясно, что с течением времени сумма уплачиваемых процентов снижается, а доля платежа в счет погашения долга возрастает.

План погашения долга представим в виде таблицы

Номер двухлетия	Остаток ссуды на начало двухлетия	Величина платежа	В том числе	Остаток ссуды на конец двухлетия
проценты за два года	погашенная часть долга

Поскольку данные в ходе вычислений округлялись, величина процентов в последней строке найдена балансовым методом, т.е. вначале записываем погашенную часть долга 362972 руб., а затем определяем величину процентов за два года: 567147 – 362972 = 204175 руб. Если же непосредственно найти сложные проценты за два года от суммы в 362972 руб. исходя из процентной ставки 25%, то получим 204172 руб. Суммируя величины в пятом столбце, получим размер кредита: 900000 руб.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

Сводка основных формул

· Процентная ставкаr_t = , (1)

где PV — предоставляемая в долг сумма,

FV — возвращаемая сумма.

· Учетная ставкаd_t = (2)

· Соотношения между ставками:r_t = или d_t = (3)

· Дисконт-фактор:n = (4)

· Индекс роста капитала: B_t = (5)

· Формула вычисления процентов «со 100»: Q’=Q∙r (6)

· Формула вычисления процентов «на 100»: (7)

· Формула вычисления процентов «во 100»: (8)

· Формула наращение простыми процентами:

(9)

· Формула простых процентов в случае нецелого числа лет вид:

(10)

Возможны три варианта начисления:

а) точный процент с точным числом дней, обозначаемый как 365/365 или ACT/ACT;

б) обыкновенные проценты с точным числом дней, обозначаемые как 365/360 или АСТ/360 (t - точное, T=360);

в) обыкновенные проценты с приближенным числом дней, обозначаемые как 360/360 (t - приблизительное, считается, что в месяце 30 дней, T = 360).

· Дивизор: (11)

· Формулы для вычисления процентного платежа (при использовании простой ставки):

а) если известна величина капитала (P): I = P ^. l ^. r; (12)

б) если известна величина капитала, увеличенного на процентный платеж (P+I):

или ; (13)

в) если известна величина капитала, уменьшенного на процентный платеж (P-I):

или (14)

· Формула наращения простыми процентами по переменной процентной ставке:

(15)

где на период n_k установлена ставка i_k и таких периодов m.

· Формула определения простой процентной ставки, доставляющей при наращении такой же результат, как и несколько простых процентных ставок:

(16)

где на период n_k установлена ставка i_k и таких периодов m.

· Формула определения величины начисленных процентов за пользование кредитом с учетом уменьшения долга с течением времени:

(17)

где k – число погасительных платежей в год, n – срок кредита.

· Формула приведенной стоимости (при использовании простой ставки):

(18)

· Формула дисконтирования по простой учетной ставке:

(19)

· Формула наращения по простой учетной ставке:

, (20)

· Формула для определения срока ссуды (при использовании простой ставки):

или (21)

или (22)

· Формулы для определения простой ставки:

или (23)

или (24)

· Эквивалентность простых ставок:

(25)

(26)

· Эквивалентность простых ставок при разных временных базах:

(27)

(28)

где T_r, T_d – временные базы, равные количеству дней в году при использовании соответственно процентной и учетной ставок.

· Формулы определения средних значений:

а) простой процентной ставки:

(29)

(30)

б) срока:

(31)

(32)

где i₁, i₂, …, i_m – простые процентные ставки, под которые взяты соответственно суммы P₁, P₂,…,P_m на сроки где n₁, n₂, …, n_m.

· Формулы для определения средних значений:

а) простой учетной ставки:

(33)

(34)

б) срока:

(35)

(36)

где d₁, d₂, …, d_m – простые учетные ставки, по которым соответственно суммы F₁, F₂,…,F_m учитываются за сроки где n₁, n₂, …, n_m.

· Формула наращения простыми процентами с учетом уплаты налога:

(37)

где q – ставка налога на проценты.

· Формула наращения по простой учетной ставке с учетом уплаты налога:

(38)

где q – ставка налога на проценты.

· Индекс цен (индекс инфляции):

(39)

где P₁, P₂ – стоимости потребительской корзины в начале и в конце периода длительностью t.

· Темп инфляции:

(40)

где P₁, P₂ – стоимости потребительской корзины в начале и в конце периода длительностью t.

· Соотношение между индексом инфляции и темпом инфляции:

(41)

· Формула определения индекса инфляции за период при известных индексах инфляции за составляющие его подпериоды:

(42)

где I_p^(t_i⁾ ,(h_ti) – индекс инфляции (темп инфляции) за подпериод t_i, подпериоды расположены последовательно друг за другом и t = t₁ + t₂ +…+t_k.

· Формула наращения простыми процентами учетом инфляции:

(43)

где I_p⁽ⁿ⁾ – индекс инфляции за период n.

· Формулы определения простой годовой процентной ставки, обеспечивающей в условиях инфляции реальную доходность согласно первоначальной ставке r:

(44)

(45)

где h_n – темп инфляции за период n,

I_p⁽ⁿ⁾ – индекс инфляции за период n.

· Формулы определения реальной годовой процентной ставки, при объявленной номинальной процентной ставке в условиях инфляции:

(46)

· Формулы определения простой годовой учетной ставки, обеспечивающей в условиях инфляции реальную доходность согласно первоначальной ставке d:

(47)

· Формулы определения реальной годовой учетной ставки, при объявленной номинальной учетной ставке в условиях инфляции:

(48)

· Формула для вычисления величины нового платежа при использовании простой процентной ставки:

(49)

где P₁ и n₁ – первоначальный платеж и срок его выплаты, n₀ – срок выплаты нового платежа.

· Формула для вычисления срока нового платежа при использовании простой процентной ставки:

(50)

где P₁ и n₁ – первоначальный платеж и срок его выплаты, P₀ – величина нового платежа.

· Формула определения срока консолидированного платежа при использовании простой процентной ставки:

(51)

где платежи P₁, P₂,…,P_m, уплачиваемые соответственно через время n₁, n₂,…, n_m заменяются одним платежом P₀.

· Формула для вычисления величины нового платежа при использовании простой учетной ставки:

(52)

где P₁ и n₁ – первоначальный платеж и срок его выплаты, n₀ – срок выплаты нового платежа.

· Формула для вычисления срока нового платежа при использовании простой учетной ставки:

(53)

где P₁ и n₁ – первоначальный платеж и срок его выплаты, P₀ – величина нового платежа.

· Формула определения срока консолидированного платежа при использовании простой учетной ставки:

(54)

где платежи P₁, P₂,…,P_m, уплачиваемые соответственно через время n₁, n₂,…, n_m заменяются одним платежом P₀.

· Формула наращения сложными процентами:

(55)

где n - число периодов начисления сложных процентов.

· Формула наращения сложными процентами по переменной процентной ставке:

(56)

где n_k –количество периодов начисления сложных процентов по процентной ставке i_k , n – общий срок наращения.

· Формула наращения по смешанной схеме:

(57)

где w – целое число периодов начисления сложных процентов, f – дробная часть периода, n = w+f.

· Формула наращения сложными процентами при начислении процентов несколько раз в год:

(58)

где n – число лет, m – количество начислений в год.

· Формула наращения по смешанной схеме при начислении процентов несколько раз в год:

(59)

где n – число лет, ‑ целое число периодов начисления сложных процентов в n годах, ‑ дробная часть периода,

· Формула определения срока ссуды (при использовании сложной процентной ставки):

(60)

· Формулы для определения номинальной годовой процентной ставки:

(61)

(62)

где r_ef – эффективная годовая процентная ставка.

· Формулы определения эффективной годовой процентной ставки:

(63)

(64)

· Формула приведенной стоимости (при использовании сложной ставки):

(65)

· Формула приведенной стоимости (при m-кратном начислении процентов в год):

(66)

· Формула дисконтирования по сложной учетной ставке:

(67)

где n – число периодов дисконтирования.

· Формула дисконтирования по смешанной схеме:

(68)

где w – целое число периодов дисконтирования по сложной учетной ставке, f – дробная часть периода, n = w+f.

· Формула дисконтирования по сложной учетной ставке, осуществляемого несколько раз в год:

(69)

где n – число лет, m – количество осуществлений операции дисконтирования в год.

· Формула дисконтирования по смешанной схеме при дисконтировании несколько раз в год:

(70)

где n – число лет, ‑ целое число периодов дисконтирования в n годах, ‑ дробная часть периода,

· Формула для определения срока ссуды (при использовании сложной учетной ставки):

(71)

· Формулы для определения номинальной годовой учетной ставки:

(72)

(73)

где d_ef – эффективная годовая процентная ставка.

· Формулы определения эффективной учетной ставки:

(74)

(75)

· Формула наращения сложными процентами по учетной ставке:

(76)

где n – число периодов начисления сложных процентов.

· Формула наращения сложными процентами по учетной ставке при начислении процентов несколько раз в год:

(77)

где n – число лет, m – количество начислений в год.

· Формула наращения непрерывными процентами:

(78)

где δ – сила роста.

· Формула для определения срока ссуды (при непрерывном начислении процентов):

(79)

· Формула для определения силы роста:

(80)

· Эквивалентность простых и сложных ставок:

(81)

(82)

(83)

(84)

(85)

(86)

(87)

(88)

где r, d – простые ставки.

· Эквивалентность сложных ставок:

(89)

(90)

(91)

(92)

· Эквивалентность силы роста и простых ставок:

(93)

(94)

(95)

(96)

где r, d – простые ставки.

· Эквивалентность силы роста и сложных ставок:

(97)

(98)

(99)

(100)

· Формулы наращения сложными процентами с учетом уплаты налога:

а) если налог на все полученные проценты выплачивается один раз в конце срока:

(101)

б) если налог на полученные проценты выплачивается каждый год:

(102)

где q – ставка налога на проценты, a – коэффициент наращения, равный либо , либо , либо .

· Формулы для вычисления величины налога за каждый год при наращении сложными процентами, если налог на полученные процентами выплачивается каждый год:

(103)

где k – номер года, за который взимается налог.

· Формула наращения сложными или непрерывными процентами с учетом инфляции:

(104)

где I_p⁽ⁿ⁾ – индекс инфляции за период n, a – равно либо , либо , либо .

· Формула определения номинальной годовой процентной ставки, обеспечивающей в условиях инфляции реальную доходность согласно первоначальной номинальной годовой ставке r^(m):

(105)

· Формула определения реальной номинальной годовой процентной ставки при объявленной исходной процентной ставке r^(m) в условиях инфляции:

(106)

· Формула определения номинальной годовой учетной ставки, обеспечивающей в условиях инфляции реальную доходность согласно первоначальной номинальной годовой ставке d^(m):

(107)

· Формула определения реальной номинальной годовой учетной ставки при объявленной исходной учетной ставке d^(m) в условиях инфляции:

· Формула определения силы роста, обеспечивающей в условиях инфляции реальную доходность согласно первоначальной силе роста δ:

(109)

· Формула определения реальной силы роста при объявленной исходной силе роста δ в условиях инфляции:

(110)

· Формула Фишера:

(111)

где h – годовой темп инфляции.

· Формула для вычисления величины нового платежа при использовании сложных ставок:

(112)

где P₁ и n₁ – первоначальный платеж и срок его выплаты, n₀ – срок выплаты нового платежа, a – равно либо , либо , либо .

· Формула для вычисления срока нового платежа при использовании сложных ставок:

(113)

где P₁ и n₁ – первоначальный платеж и срок его выплаты, P₀ – величина нового платежа.

· Формула для определения величины консолидированного платежа при использовании сложных ставок:

(114)

где P₁, P₂,…,P_l, ‑ платежи, выплачиваемые соответственно через время n₁, n₂,…, n_l; n₀ – срок консолидированного платежа.

· Формула для определения срока консолидированного платежа при использовании сложных ставок:

(115)

где платежи P₁, P₂,…,P_l, уплачиваемые соответственно через время n₁, n₂,…, n_l; P₀ – величина консолидированного платежа.

· Будущая стоимость переменного аннуитета постнумерандо:

(116)

· Приведенная стоимость переменного аннуитета постнумерандо:

(117)

· Будущая стоимость переменного аннуитета пренумерандо:

(118)

· Приведенная стоимость переменного аннуитета пренумерандо:

(119)

· Будущая стоимость постоянного срочного аннуитета постнумерандо:

(120)

· Приведенная стоимость постоянного срочного аннуитета постнумерандо:

(121)

· Оценка постоянного p-срочного аннуитета постнумерандо:

а) будущая стоимость аннуитета: (122)

б) приведенная стоимость аннуитета: (123)

в) приведенная стоимость бессрочного аннуитета:

(124)

где A – величина каждого денежного поступления, r – ставка за базовый период начисления процентов, m – количество начислений сложных процентов в периоде, p – количество денежных поступлений в периоде, n – количество периодов.

· Приведенная стоимость постоянного отсроченного аннуитета постнумерандо:

(125)

где h – число периодов, через которое начинает поступать первый из потока платежей.

· Оценка постоянного p-срочного аннуитета пренумерандо:

а) будущая стоимость аннуитета:

(126)

б) приведенная стоимость аннуитета:

(127)

в) приведенная стоимость бессрочного аннуитета:

(128)

где ‑ будущая и приведенная стоимости соответствующих аннуитетов постнумерандо.

· Будущая стоимость постоянного p-срочного аннуитета постнумерандо с начислением простых процентов в течение периода:

(129)

· Будущая стоимость постоянного p-срочного аннуитета пренумерандо с начислением простых процентов в течение периода:

(130)

· Оценка постоянного аннуитета постнумерандо в случае начисления непрерывных процентов:

а) будущая стоимость аннуитета: (131)

б) приведенная стоимость аннуитета: (132)

в) приведенная стоимость бессрочного аннуитета:

(133)

где A – величина каждого денежного поступления, δ– сила роста за базовый период начисления процентов, p – количество денежных поступлений в периоде, n – количество периодов.

· Оценка непрерывного аннуитета:

а) будущая стоимость аннуитета:

(134)

б) приведенная стоимость аннуитета:

(135)

в) приведенная стоимость бессрочного аннуитета:

(136)

где – суммарная величина денежных поступлений за базовый период начисления процентов.

· Оценка непрерывного аннуитета в случае начисления непрерывных процентов:

а) будущая стоимость аннуитета:

(137)

б) приведенная стоимость аннуитета:

(138)

в) приведенная стоимость бессрочного аннуитета:

(139)

где – суммарная величина денежных поступлений за базовый период начисления процентов, δ– сила роста за базовый период начисления процентов.

· Оценка переменного аннуитета постнумерандо, платежи которого образуют арифметическую прогрессию:

а) будущая стоимость аннуитета:

(140)

б) приведенная стоимость аннуитета:

(141)

в) приведенная стоимость бессрочного аннуитета:

(142)

где A – первый член прогрессии, z – разность прогрессии.

· Оценка переменного аннуитета постнумерандо, платежи которого образуют геометрическую прогрессию:

а) будущая стоимость аннуитета:

(143)

б) приведенная стоимость аннуитета:

(144)

в) приведенная стоимость бессрочного аннуитета:

(145)

где A – первый член прогрессии, q – знаменатель прогрессии.

· Оценка постоянного аннуитета постнумерандо, период которого больше базового периода начисления процентов:

а) будущая стоимость аннуитета: (146)

б) приведенная стоимость аннуитета:

(147)

в) приведенная стоимость бессрочного аннуитета:

(148)

где A – величина каждого денежного поступления, r – ставка за базовый период начисления процентов, m – количество начислений сложных процентов в периоде, u – количество периодов, через которое осуществляются денежные поступления, n – количество периодов.

· Оценка постоянного аннуитета постнумерандо, период которого больше базового периода начисления процентов, в случае начисления непрерывных процентов:

а) будущая стоимость аннуитета:

(149)

б) приведенная стоимость аннуитета:

(150)

в) приведенная стоимость бессрочного аннуитета:

(151)

где A – величина каждого денежного поступления, δ– сила роста за базовый период начисления процентов, u – количество периодов, через которое осуществляются денежные поступления, n – количество периодов.

· Оценка постоянного аннуитета пренумерандо, период которого больше базового периода начисления процентов:

а) будущая стоимость аннуитета:

(152)

б) приведенная стоимость аннуитета:

(153)

· Оценка постоянного аннуитета пренумерандо, период которого больше базового периода начисления процентов, в случае начисления непрерывных процентов:

а) будущая стоимость аннуитета: (154)

б) приведенная стоимость аннуитета: (155)

Приложение 2