Часть 2. Финансовые вычисления и оценка доходности ценных бумаг

Простые и сложные проценты. Эффективная и номинальная процентные ставки

Прежде чем приступить к финансовым вычислениям по ценным бумагам, ознакомимся с основными понятиями финансовой математики. Рассмотрим начисление процентов по простой и сложной процентной ставкам.

Современная стоимость денег — PV (сокращение от "present value") — сумма, которой владелец обладает сегодня; FV— ("future value" — будущая стоимость денег) — сумма, которую владелец получит спустя определенное время.

(1)

где — процентная ставка банка.

Например, если банковская процентная ставка равна 10%, то через год сумма на счете вырастет в 1,1 раза. Доход обладателя счета составит .

Существует два способа начисления процентов: по простой процентной ставке и по сложной.

При начислении дохода по простой процентной ставке доход каждый раз начисляется на первоначально вложенную сумму (через год доход составит , через два года , через 5 лет - , через n лет - .Таким образом, при начислении дохода по простой процентной ставке через n лет на счете у владельца будет сумма:

(2)

При начислении дохода по простой процентной ставке промежуточные доходы не реинвестируются, т.е. на них не начисляется процент.

Соотношение (2) описывает линейную зависимость будущей стоимости денег FV от времени n. Таким образом, при начислении дохода по простой процентной ставке деньги на счете растут по линейному закону.

При начислении дохода по сложной процентной ставке i доход начисляется не на первоначальную, а на накопленную сумму. Промежуточные доходы в этом случае инвестируются или, как говорят, происходит начисление процента на процент. Если в конце первого года сумма на счете составляла , то в конце второго года она составит , в конце третьего — и т.д. По прошествии n лет сумма на счете владельца составит:

(3)

Коэффициент (4)

входящий в правую сторону соотношения (3), называется коэффициентом наращения.

Посмотрим, как изменяется сумма на банковском счете со временем при начислении дохода по простой и сложной процентным ставкам. К концу первого года доходы, полученные по обеим ставкам, одинаковы. В дальнейшем сумма растет быстрее (причем существенно), если начисление дохода происходит по сложной процентной ставке.

Если известна начальная стоимость денег PV и будущая стоимость денег FV, то доходность (сложная процентная ставка) за n лет составит:

(5)

Если мы интересуемся простой процентной ставкой, то ее можно определить с помощью соотношения:

(6)

Последнее выражение имеет простой смысл. Величина FV - PV, стоящая в числителе (6), — доход, полученный за все время п. Разделив доход на первоначальные инвестиции PV, получим доходность за весь срок. Чтобы получить годовую доходность, следует разделить еще на время n. Это метод расчета простой доходности сохраняется и в более сложных случаях, например, если производятся промежуточные выплаты.

Выбор простой или сложной ставки начисления, как правило, зависит от договоренности между кредитором и заемщиком. Однако, если инвестор хочет получить более точную и непротиворечивую оценку эффективности своих инвестиций, ему следует пользоваться сложными процентными ставками, так как данный подход является строго математическим, в то время как подход с использованием простых процентных ставок для оценки инвестиций является приближенным.

Приближенные расчеты с использованием простых процентных ставок существенно проще и их можно использовать для экспресс-оценок. Точные расчеты по сложной процентной ставке и приближенные по простой могут несущественно отличаться друг от друга, если величина доходности невелика, или если рассматриваются небольшие периоды времени.

Пример 1.

1000 руб. помещается в банк под 10% годовых. Определить стоимость вклада через 10 лет, если проценты начисляются:

а) по простой ставке, б) по сложной?

Решение:

а) При начислении дохода по простой ставке будущая сумма составит:

б) При начислении дохода с применением сложных процентных ставок

Пример 2.

Банк №1 начисляет доход из расчета 13% годовых. В рекламе банка №2 говорится, что сумма, помещенная на счет, удваивается каждые 6 лет. В каком банке выгоднее держать сбережения?

Решение: За 6 лет каждый рубль, вложенный в банк №2, превратится в , т.е. банк №2 предлагает более выгодные условия для инвестирования. Если мы хотим вычислить годовую доходность по вкладам в банке №1, то можно воспользоваться соотношением (5), подставив в него , , :

, т.е. мы опять убеждаемся, что доходность банка № 1 ниже доходности банка №2.

Перейдем теперь к определению таких понятий как эффективная и номинальная процентные ставки.

До сих пор мы рассматривали случай, когда процентная ставка начисляется один раз в году. Величина показывает, во сколько раз выросла сумма за один год. Такая процентная ставка называется эффективной(в дальнейшем эффективную процентную ставку будем обозначать буквой i ).

В действительности проценты могут начисляться несколько раз в году, например, ежеквартально (четыре раза в году), ежемесячно (12 раз), ежедневно (365 раз в году) и т.д. В этом случае мы имеем дело со сложной номинальной процентной ставкойj. Если указывается номинальная процентная ставка j, то всегда еще указывается, сколько раз в году начисляются проценты.

Рассмотрим пример, когда проценты начисляются ежемесячно. Тогда через месяц на счете у владельца будет сумма:

В течение следующего месяца проценты начисляются на эту сумму, поэтому в конце второго месяца сумма на счете составит:

через три месяца:

и т.д. Таким образом, через год сумма на счете составит:

(7)

Последнее соотношение можно записать, используя эффективную процентную ставку i:

(8)

Приравнивая (7) и (8), получим связь между эффективной и номинальной процентными ставками (при начислении процентов 12 раз в году):

(9)

Если номинальная ставка j начисляется траз в году, то в конце первого года сумма на счете составит:

(10)

При этом, эффективная процентная ставка равна:

(11)

Соотношение (11) устанавливает связь между эффективной и номинальной ставками процента.

При финансовых вычислениях можно пользоваться как эффективной i, так и номинальной процентной ставкой j. При этом результаты расчетов не должны зависеть от выбора процентной ставки.

Пример 3. Банк начисляет доход на вложенную сумму из расчета 1,5% в месяц. Определить номинальную ставку и эффективную ставку начисления процентов.

Решение: Номинальная процентная ставка

Эффективная процентная ставка , или в процентах .

Современная стоимость денег, дисконтирование. Текущая стоимость аннуитета

Рассмотрим теперь задачу, обратную той, что рассматривалась в предыдущем разделе. Через год требуется накопить сумму денег FV. Банк принимает вклады по ставке i. Какую сумму надо иметь сегодня, для того чтобы при помещении ее в банк по ставке i иметь через год заданную сумму FV. Ответ на этот вопрос дает соотношение (1), переписанное в виде:

(12)

Если бы требовалось накопить нужную сумму FV не через один год, а через n лет, то согласно (3):

(13)

Соотношения (12), (13) решают поставленную задачу, т.е. позволяют определить современную или текущую стоимость денег исходя из будущей стоимости и сложной процентной ставки.

Процесс приведения будущей суммы денег к современной стоимости называется дисконтированием.

Коэффициент, входящий в (13)

(14)

является обратным коэффициенту наращения (4) и называется коэффициентом дисконтирования. В задачах о дисконтировании процентную ставку i принято называть ставкой дисконтирования. Другие названия ставки дисконтирования — стоимость привлечения капитала, пороговая доходность, ставка альтернативного капитала, ставка альтернативного вложения или ставка альтернативной доходности.

Для того чтобы расшифровать последнее название (ставка альтернативного капитала, ставка альтернативного вложения или доходности), рассмотрим простой пример.

Вы собираетесь инвестировать средства в определенный проект, который спустя n лет принесет доход, равный FV. Какую сумму денег следует вложить? Чтобы ответить на этот вопрос, следует сравнить предлагаемый проект с другими альтернативными вложениями. Пусть i — средняя рыночная ставка доходности (ставка альтернативного вложения). Для того чтобы получить такую же сумму FV через n лет при осуществлении альтернативного проекта, сегодня следует вложить сумму PV, определяемую соотношением (13). Следовательно, инвестировать в предлагаемый проект следует сумму, не превышающую

Данную сумму называют современной, или рыночной, стоимостью инвестиционного проекта.

Приведенные примеры отвечают на вопрос, почему ставку дисконтирования называют ставкой альтернативного вложения или ставкой альтернативной доходности.

Дисконтирование — важная процедура при проведении финансовых расчетов. Метод дисконтирования широко используется для определения современной рыночной стоимости объекта инвестиций, в частности, для определения текущей стоимости ценных бумаг.

Процесс дисконтирования позволяет также сравнивать различные доходы, полученные в разное время, путем приведения стоимости этих будущих потоков к настоящему моменту. Например, будущие доходы распределяются следующим образом: 1500 руб. будут получены через год, 2000 руб. — через 2 года; 3000 руб. — через 5 лет. Как сравнить "ценность" этих денежных поступлений (или, как еще говорят, потоков денежных средств)? Пусть средняя рыночная процентная ставка составляет 20%. Рассчитаем современную стоимость потоков денежных средств.

Для первого платежа современная стоимость составит:

,

для второго:

,

для третьего:

Теперь можно сравнить различные потоки, полученные в разное время. Наибольшую современную стоимость (т.е., наибольшую "ценность") имеет второй платеж (1388,89 руб.), полученный в конце второго года. Наименьшую — доход, полученный в конце пятого года (1205,63 руб.), хотя величина денежного потока (3000 руб.) была максимальной среди трех платежей.

Пример 4. Какую сумму нужно поместить в банк, для того чтобы через 6 лет накопить сумму 200000 руб.? Депозитная процентная ставка банка равна 25%,

Решение: Согласно (13) имеем

Для того чтобы через 6 лет накопить 200000 руб. при ставке 25%, следует поместить на счет 52428,8 руб.

Пример 5. По векселю через 3 месяца должна быть выплачена сумма 350000 руб. Найти текущую стоимость векселя, если ставка дисконтирования выбрана 28,5 %. Решение:Считаем FV = 350000, n = 0,25 лет. Рыночная стоимость векселя определяется с помощью дисконтирования:

Если бы мы оценивали стоимость векселя исходя из простой ставки доходности, то получили бы:

Расхождение в расчетах с использованием простой и сложной ставок невелико, так как срок невелик.

Теперь рассмотрим такое понятие финансового анализа, как аннуитет. Аннуитетом или рентой называется постоянный доход, получаемый через равные промежутки времени.

Примерами аннуитета являются: доход, приносимый облигацией с постоянным купоном без погашения (см. подробнее раздел 6), дивиденды по привилегированным акциям, доход, приносимый сданной в аренду недвижимостью. Как уже отмечалось, доходы, получаемые в разные моменты времени, имеют разную "ценность" сегодня. Современная стоимость аннуитета, таким образом, складывается из современных стоимостей всех будущих доходов:

(15)

Здесь PV — современная стоимость аннуитета, РМТ — регулярный ежегодный доход, n — количество лет, в течение которых поступали доходы, i — ставка дисконтирования. Просуммировав геометрическую прогрессию в правой стороне (15), находим:

(16)

Коэффициент, входящий в правую часть последнего соотношения

(17)

представляет собой коэффициент дисконтирования аннуитета. Соотношение (16) определяет стоимость аннуитета в том случае, когда постоянные доходы поступают один раз в конце года. Иначе можно утверждать, что формула (16) определяет рыночную стоимость объекта, приносящего ежегодный постоянный доход.

' Если постоянные выплаты РМТ происходят несколько раз в году (каждый раз в конце периода), например m раз в году, то можно записать:

(18)

где j — номинальная процентная ставка при условии начисления процентов т раз в году, п — количество лет, пока происходят выплаты; всего за n лет будет произведено выплат.

Пример 6. Согласно долговой бумаге на протяжении 5 лет будут производиться ежегодные выплаты в размере 1000 руб. Какова текущая стоимость долговой бумаги, если ставка дисконтирования выбрана 19,25%?

Решение:

Пример 7. В условиях предыдущего примера считать, что выплаты происходят ежеквартально, т.е. по 250 руб. каждые три месяца. Доход от ценной бумаги поступает в течение 5 лет. Ставка дисконтирования (номинальная при ежеквартальном начислении процентов m=4) равна j = 18%[14]. Какова текущая стоимость ценной бумаги?

Решение: Имеем:

Итак, стоимость ценной бумаги выше, чем в предыдущем примере. Это произошло из-за того, что выплаты приблизились к сегодняшнему дню.

Финансовые вычисления по облигациям. Общие положения

Основные параметры облигации — дата покупки облигации (settlement date), дата погашения (redemption date), номинальная цена или номинал облигации (nominal value, face value, par value), цена погашения (redemption value), если она отличается от номинала (такая ситуация бывает, как правило, в случае нескольких дат погашения), годовой купонный доход (annual coupon), купонная процентная ставка (coupon rate), количество выплат купонов в году. По облигациям выплачивается купонный доход, а в конце срока происходит погашение номинала.

Облигация может иметь две или больше даты погашения. В этом случае, как правило, ставка купонного дохода увеличивается к каждой следующей дате погашения. При этом возможны следующие варианты: в первом случае владелец облигации сам выбирает, когда погасить облигацию; во втором — эмитент оставляет за собой право погасить облигацию в любой из указанных сроков.

Возможна также ситуация, когда эмитент имеет право досрочного выкупа облигаций (call provision). Рейтинг таких облигаций ниже, чем у облигаций с запретом досрочного выкупа (call protection), так как высока неопределенность для инвестора.

Введем обозначения основных параметров облигаций:

N — номинал облигации (nominal value, face value, par value). Выплачивается при погашении;

P — рыночная цена (price);

— курс облигации (quote, quoted price). Определяет текущую стоимость облигации в процентах от номинала;

g — годовая купонная процентная ставка (coupon rate) в процентах или десятичных долях;

— годовой купонный доход (annual coupon) в руб. Определяет суммарный годовой доход, выплаченный по купонам;

— текущая или купонная доходность (current, running yield). Для аннуитетов (см. раздел 5) совпадает с полной доходностью облигации;

i — полная доходность облигации (yield). Если владелец облигации держит ее вплоть до погашения в конце срока, то величина i показывает доходность к погашению (yield to maturity, yield to redemption). Буквой i будем обозначать также ставку дисконтирования.

Если облигация куплена по цене, равной номинальной, то говорят, что она куплена по номиналу; если облигация куплена по цене ниже номинала, то говорят, что она куплена с дисконтом; если по цене выше номинала — с премией (последнее не означает, что доход по такой облигации не может быть получен).

Доход, полученный за все время владения облигацией, складывается из купонных выплат и цены погашения облигации, выплачиваемой в конце срока владения (как правило, эта цена совпадает с номинальной ценой).

Обозначим через купонные доходы, полученные владельцем в течение владения облигацией. В конце срока облигация погашается по номиналу N. Сюда относятся выплаты по купонам и цена погашения облигации. Тогда современная (рыночная) стоимость облигации Р равна сумме всех дисконтированных доходов:

(19)

где i — доходность облигации к погашению.

Соотношение (19) связывает рыночную цену облигации с доходностью к погашению или со ставкой дисконтирования. Если будущие доходы известны, фиксированы, то соотношение (19) позволяет решать две основные задачи:

o определять цену облигации, если известна доходность (ставка дисконтирования),

o определять доходность облигации, если известна ее цена.

Как видно из (19), если будущие доходы по облигации фиксированы, то цена облигации тем выше, чем ниже ставка доходности. Таким образом, в зависимости от рыночных тенденций доходность облигации и цена изменяются в противоположных направлениях, т.е. при повышении рыночных процентных ставок цена облигации падает, и наоборот — при понижении рыночных процентных ставок цена облигации возрастает.

Ниже приведены финансовые расчеты для основных видов облигаций.

Бескупонные (дисконтные) облигации

Для облигаций такого типа устанавливается дата погашения и номинал. Купонный доход не начисляется и не выплачивается. Поэтому такие облигации называются бескупонными или облигациями с нулевым купоном {zero coupon bond).

Бескупонные облигации приносят доход только в том случае, если куплены по цене ниже номинала или, что то же самое, по курсу ниже 100. В связи с этим данные облигации называются также дисконтными.

В России ценными бумагами подобного вида являются государственные краткосрочные бескупонные облигации (ГКО), которые выпускаются с 1993 г.

Поскольку здесь только одна выплата — погашение номинала N, то цена облигации определяется:

(20)

где n — время владения облигацией (в годах) до момента погашения (величина n не обязательно целое число лет). Курс облигации определяется соотношением:

(21)

Если известна цена бескупонной облигации или ее курс, то доходность облигации к погашению равна:

(22)

Как видно из последнего соотношения, доходность облигации положительна, если цена облигации ниже номинала или курс меньше 100.

Если срок облигации меньше года или величины рыночных ставок невелики, доходность облигации определяют по простой процентной ставке:

(23)

Последнее соотношение согласуется с общей идеологией простых процентных ставок: в числителе (23) стоит доход , полученный владельцем за весь период владения облигацией. Разделив доход на цену облигации, получим доходность за весь срок. Если теперь разделить последнюю доходность на срок n, то получится годовая доходность облигации.

Пример 8. Облигация будет погашена через 5 лет и 3 месяца. Текущий курс 45,64. Найти доходность к погашению.

Решение: Доходность к погашению находится с помощью соотношения (23):

, или

Пример 9. До погашения бескупонной дисконтной облигации осталось 1,5 года. Найти рыночный курс облигации, если ставка дисконтирования — 15%.

Решение: В соответствии с соотношением (21) курс облигации равен:

Пример 10. Найти доходность к погашению бескупонной облигации, если рыночная цена сегодня — 790 руб., облигация погашается по номиналу 1000 руб. через 2 года 2 месяца или 2,167 года.

Какова простая ставка доходности?

Решение: Доходность облигации (сложная и простая) определяется с помощью соотношений (22), (23):

или ,

или

Облигации с выплатой процентов и номинала в конце срока

Подобные облигации обеспечивают начисление купонного дохода (по сложной процентной ставке g), однако текущие выплаты купонного дохода не производятся. Накопленный купонный доход выплачивается в момент погашения вместе с номинальной стоимостью. Таким образом, владелец облигации в конце срока получает сумму, равную . Если n — срок владения облигацией в годах (п — не обязательно целое число лет), то цена облигации и ее курс связаны с доходностью к погашению следующими соотношениями:

, . (24)

Доходность к погашению:

. (25)

Пример 11. По облигации производится начисление 15% годовых с выплатой их в конце срока. Облигация куплена по курсу 75. Срок до погашения 5 лет. Определить доходность к погашению.

Решение: В соответствие с (25)

или .

Пример 12. По облигации начисляется 3% раз в квартал. Проценты выплачиваются в момент погашения облигации. Облигация куплена по курсу 120. Срок до погашения 6 лет. Найти доходность к погашению.

Решение: Номинальная ставка начисления процентов j =12%, проценты начисляются т=4 раз в год. Эффективная процентная ставка согласно (11) равна:

Доходность облигации определяется согласно (25):

или .

Пример 13. Определить рыночную стоимость облигации, по которой ежегодно начисляется 12% с выплатой процентов в конце срока. Ставка дисконтирования равна 14%, номинал облигации — 2000 руб., срок — 6 лет.

Решение: Используя соотношение (24), найдем стоимость облигации:

Аннуитеты (облигации без погашения)

Если номинал облигации не погашается, мы имеем дело с аннуитетом или рентой (см. раз. 2). В роли аннуитета может выступать любая долговая бумага, по которой производятся постоянные периодические выплаты. В узком смысле слова аннуитет — это бумага, по которой выплаты будут производиться бесконечно.

В качестве аннуитетов можно рассматривать привилегированные акции, а также облигации без определенного срока выкупа. Примером такого бессрочного аннуитета являются британские консоли (consoles), являющиеся результатом объединения нескольких займов, сделанных государством в разное время, начиная с 18-го века. Купонный доход консолей колеблется от 2,5% до 5%, в то время как доходность их составляет около 7%. Так как цена консолей ниже номинала (см. пример 10), то государству выкупать их невыгодно. Поэтому при оценке данные облигации рассматривают как вечную ренту.

Рассмотрим случай, когда выплаты происходят один раз в году на протяжении большого срока. Можно воспользоваться соотношением (16), приняв в нем за выплаты РМТ годовой купонный доход С, за современную стоимость PV рыночную цену облигации Р. Так как выплаты происходят бесконечно долго, можно положить . Таким образом, доходность и цена аннуитета связаны соотношениями:

, (26)

Итак, полная доходность для бесконечного аннуитета равна текущей доходности.

Аналогично можно записать соотношения, связывающие курс и доходность облигации, приносящей доход в течение бесконечно долгого времени:

, . (27)

Соотношения (26), (27) позволяют оценивать доходность и цену привилегированных акций, а также облигаций, для которых не определен срок выкупа, и их можно рассматривать как бесконечную ренту.

Если выплаты производятся т раз в год, то удобнее пользоваться номинальной процентной ставкой j (при начислении процентов т раз в году). Цена и доходность такого аннуитета связаны соотношениями:

, (28)

Пример 14. Британские консоли имеют купон 2,5% от номинала, доходность 6,71%. Найти текущий курс облигации, предположив, что облигация не будет выкуплена правительством Великобритании.

Решение:

Пример 15. Найти доходность британских консолей с 5% купоном, если курс равен 68,12.

Решение:

Пример 16. Привилегированная акция приносит ежеквартальный доход 750 руб., рыночная цена акции 17850 руб. Найти доходность акции, считая, что дивиденды по ней не будут меняться, и будут выплачиваться достаточно долго.

Решение: Из (28) находим номинальную ставку доходности при условии ежеквартального начисления процентов:

или

Эффективную ставку доходности можно найти, использовав соотношение (11):

или

Облигации с фиксированным купоном

Доход складывается из периодических купонных выплат и выплаты номинальной стоимости в конце срока. Доходы по купонам выплачиваются, как правило, один или два раза в год.

Таким образом, современная стоимость облигации с фиксированным купоном складывается из современной стоимости аннуитетаи современной стоимости номинала.Если выплаты купонов происходят ежегодно (один раз в год), то рыночная цена облигации равна:

, (29)

где С — годовой купонный доход (в рублях), N — номинал облигации (в рублях), п — срок облигации (в годах), i — доходность к погашению или ставка дисконтирования.

Соотношения (29) связывают стоимость облигации или курс с доходностью к погашению. Если известна доходность i, то стоимость (или курс) можно определить с помощью соотношения (29). Обратная задача — определение доходности по курсу — в общем виде аналитически неразрешима. Поэтому доходность к погашению облигаций с фиксированным купоном находят с помощью численного решения уравнения (29).

Укажем на следующие особенности облигаций с постоянным купоном. Если облигация приобретена по номиналу (по курсу 100), то доходность к погашению i равна ставке купонного дохода д. Если облигация приобретена с дисконтом (по курсу меньше 100), то доходность больше купонного дохода (I > g). Если же облигация приобретена с премией (К > 100), доходность меньше купонного дохода (i < g). В последнем случае (при покупке с премией) владелец облигации также может получить доход, если не произойдет досрочного выкупа облигации эмитентом.

Если купонные выплаты происходят два раза в год то для финансовых расчетов используется номинальная процентная ставка доходности у при условии начисления процентов 2 раз вгод. При этом каждый раз выплачивается половина купона, т.е. величина . Для определения текущей стоимости облигации следует продисконтировать все купонные выплаты и выплату в погашение номинала. Можно воспользоваться результатом (18) и получить выражение:

(30)

При расчетах часто используют простую процентную ставку доходности для облигаций с фиксированным купоном. Напомним, что при начислении дохода по простой процентной ставке, доход каждый раз начисляется на первоначальную сумму, т.е. Предполагается, что промежуточные доходы по. процентам не реинвестируются (можно считать, что все купонные доходы получены в конце срока). Поэтому можно записать:

(31)

откуда можно получить

(32)

В числителе (32) — доход, полученный владельцем за весь период владения облигацией. Разделив доход на цену облигации, получим доходность за весь срок. Если теперь разделить последнюю доходность на срок n, то получится годовая доходность облигации.

Простая доходность в некоторых случаях может существенно отличаться от сложной процентной ставки i.

Полная доходность i совпадает с простой , если облигация куплена по номиналу {К=100). В этом случае . Также , если срок облигации равен одному году (n=1). Если срок облигации равен нескольким годам, то пользуются также другой приближенной формулой:

(33)

Соотношение (33) отличается от (32) тем, что в (32) в знаменателе фигурирует не цена облигации, а средняя арифметическая между начальной ценой облигации Р и конечной ценой N.

Пример 17. Срок облигации с фиксированным купоном равен 7 годам. Купонный доход выплачивается ежегодно по норме 12% от номинала в год. Найти курс облигации, если ставка дисконтирования равна 16%.

Решение.

Пример 18. Годовой купонный доход облигации равен 240 руб., купонный доход выплачивается 2 раза в год, номинал облигации равен 1300 руб., срок до погашения 6 лет. Найти цену облигации, если доходность к погашению (номинальная процентная ставка при условии начисления процентов 2 раза в год) равна 14,47 %.

Решение: Согласно (30) цена облигации равна:

Пример 19. Облигация с фиксированным купоном, равным 20% от номинала и выплачиваемым ежегодно, куплена по курсу 90. Срок облигации — 10 лет. Найти простую доходность и доходность по приближенной формуле (33).

Решение:

или

или

Численное решение уравнения (29) приводит к следующему значению для доходности по сложной ставке: i=22_:6%. В данном случае лучшим приближением для i является доходность , рассчитанная по приближенной формуле (33).

Реализованный процент

Решение о покупке купонной облигации в ряде случаев целесообразно принимать не на основе значения доходности до погашения, а на основе реализованного процента. Реализованный процент рассчитывается с учетом всех поступлений, которые инвестор сможет получить за время владения облигацией.

Общая сумма средств, которые вкладчик получит по облигации, складывается из трех элементов: 1)суммы погашения при выкупе облигации или суммы от ее продажи; 2)купонных процентов; 3)процентов от реинвестирования купонов

Пример 20. Инвестор покупает облигацию по номиналу, номинал равен 1000 руб., купон - 15%, выплачивается один раз в год. До погашения остается 6 лет. Инвестор полагает, что за этот период он сможет реинвестировать купоны под 12% годовых. Определить общую сумму средств, которые вкладчик получит по данной бумаге, если продержит ее до погашения.

Решение.

Через шесть лет инвестору выплатят номинал облигации. Сумма купонных платежей и процентов от их реинвестирования составит:

Общая сумма средств, которые получит инвестор за шесть лет, равна:

Реализованный процент - это процент, позволяющий приравнять сумму всех будущих поступлений, которые инвестор планирует получить по облигации, к ее сегодняшней цене. Он определяется по формуле:

Акции

Дивидендная доходность акций

Доходы по акциям поступают в виде дивидендов. Кроме того, владелец акции может п