Доказательство и опровержение

Доказательство - это рассуждение, состоящее из одного или нескольких умозаключений. Целью доказательства является установление истинности какого-нибудь утверждения путем выведения его из других утверждений, истинность которых уже установлена.

В доказательстве выделяют три элемента:

· тезис

· основание (аргументы)

· форма доказательства (демонстрация).

Тезис - суждение, истинность которого требуется доказать.

Основание (аргументы)- истинные суждения, из которых путем умозаключений выводится тезис.

Форма доказательства (демонстрация) - способ логической связи между тезисом и основаниями, т.е. виды применяемых при выводе умозаключений.

Для наглядности операцию доказательства можно представить следующей схемой:

Т . . . . . . . . Тезис

. . . . . . . . . . . Демонстрация

а₁, а₂, а₃...а_n . . . . . . Аргументы

Или то же самое : (а₁, а₂, а₃...а_n) Т

т.е. тезис Т логически следует из аргументов (а₁, а₂, а₃...а_n)

Пример: В простом категорическом силлогизме средний термин должен быть распределен хотя бы в одной из посылок. Термины бывают распределены, когда они являются субъектами общих суждений либо предикатами отрицательных. Значит, в силлогизме средний термин должен быть взят либо в качестве субъекта общего, либо предиката отрицательного суждения.

Тезисом здесь является положение: «В силлогизме средний термин должен быть взят либо в качестве субъекта общего, либо предиката отрицательного суждения». Аргументами для этого тезиса выступают два других положения, истинность которых известна: «В силлогизме средний термин должен быть распределен хотя бы в одной из посылок» и «Всегда распределены субъекты общих и предикаты отрицательных суждений».

Из этих аргументов по четвертой фигуре силлогизма (modus Bramantip) с необходимостью следует наш тезис.

Доказательства делятся на прямые и косвенные.

· Прямое доказательство. Здесь истинность выдвинутого тезиса непосредственно обосновывается аргументами (как в нашем примере).

· Косвенное доказательство. Здесь истинность тезиса обосновывается путем доказательства ложности антитезиса.

Косвенные доказательства бывают двух видов:

1. Апагогическое косвенное доказательство обосновывает тезис путем установления ложности противоречащего ему допущения (это называют доказательством «от противного»).

_ _

ТàС, С

=

Т

Такое доказательство применимо только в том случае, если тезис и антитезис находятся в отношении противоречия. При других видах несовместимости тезиса и антитезиса, включая и их противоположность, апагогическое доказательство несостоятельно.

2. Разделительное косвенное доказательство обосновывает тезис, являющийся членом дизъюнкции, путем установления ложности и исключения всех других конкурирующих членов дизъюнкции.

_ _

Т Ñ В ÑС, В,С

Т

Опровержение- это логический прием, при помощи которого устанавливается ложность или недоказуемость выдвинутого положения (тезиса).

Различают три основных вида опровержений:

· опровержение тезиса

· опровержение аргумента

· опровержение связи тезиса с аргументами.

Опровержение тезиса. Оно может быть прямым доказательством антитезиса. По отношению к опровергаемому тезису (суждению А) выдвигают противоречащее ему суждение - антитезис (не-А). Доказывая истинность (не-А), опровергают истинность (А).

Опровержение тезиса может быть достигнуто и путем «сведения к абсурду», когда из данного тезиса выводят следствия, противоречащие истине.

Опровержение аргументов. Оно может быть достигнуто путем обоснования их ложности (аргументы только кажутся истинными). Опровержением аргументов будет и показ того, что для доказательства тезиса приведенных аргументов мало. Опровержением аргументов будет и выявление того, что сами они нуждаются еще в доказательстве, т.е. не являются достаточно обоснованными или очевидными. Опровержением аргументов будет и установление недостоверности, недоброкачественности их источника (например фальшивые документы, псевдолетописи, мемуары и пр.).

Опровержение связи тезиса с аргументами (опровержение демонстрации). Оно возможно путем отыскания логических ошибок в выводе тезиса из аргументов.

Основные правила и ошибки в доказательстве и опровержении.

Логические ошибки могут быть непреднамеренные (паралогизмы) и преднамеренные (софизмы).

По отношению к тезису

Правила	Ошибки
1.Тезис должен быть четким и ясным.	1.Выдвижение неопределенного, неясного, неточного тезиса.
2.Тезис должен оставаться неизменным.	2.1.Потеря тезиса. 2.2.Полная подмена тезиса: а)доказательство другого тезиса, вместо выдвинутого первоначально; б) «довод к личности»; в) довод к публике. 2.3.Частичная подмена тезиса.

По отношению к аргументам

Правила	Ошибки
1.Аргументы должны быть истинными.	1.1.Принятие за истину ложного аргумента. 1.2. «Предвосхищение основания», когда в обосновании аргумента предполагается уже истинность тезиса.
2.Аргументы должны быть суждениями, истинность которых установлена независимо от тезиса.	2.1. «Круг в доказательстве», когда в обосновании аргумента участвует тезис.
3.Аргументы не должны противоречить друг другу.	3.1.Выдвижение аргументов, противоречащих друг другу.
4.Аргументы должны быть достаточными для данного тезиса.	4.1. «Слишком поспешное доказательство». 4.2. «Чрезмерное» доказательство.

По отношению к демонстрации

Правила	Ошибки
1.Доказательство и опровержение должны следовать правилам соответствующего вида умозаключений.	1.1.Нарушение применяемых умозаключений. 1.2. «Мнимое следование».

ЗАДАНИЕ 22. В приведенном доказательстве найти тезис, аргументы, определить форму доказательства.

Варианты:

1. Требуется доказать, что во второй фигуре силлогизма одна из посылок должна быть отрицательной. Допустим, что в нем обе посылки утвердительны. Тогда средний термин не будет распределен ни в одной из них как предикат утвердительных суждений, что противоречит второму правилу терминов. Следовательно, чтобы это правило выполнялось, необходимо, чтобы одна из посылок была отрицательным суждением.

2. Требуется доказать, что 1972 год был годом високосным. Високосным называется год, в числовом выражении которого десятки с единицами делятся на 4. 72 делится на 4. Следовательно, 1972 год является високосным годом.

3. «На планете Венера нет жизни, так как температура ее атмосферы равна приблизительно 485 ^оС, а при такой температуре все живое гибнет».

4. Число 221 не делится на 6. Если предположить, что число 221 делится на 6, то придется признать, что оно делится на 2 и на 3. Но оно не делится на 2. Значит допущение ложно, и истинно, что число 221 не делится на 6.

5. Всякий, кому суждено умереть, - умрет, всякий, кому суждено выздороветь, - выздоровеет. И умрет, и выздоровеет он независимо от того, будет вызван к нему врач или нет. Поэтому не стоит вызывать врача к больному и вообще что-то делать.

6. Всякое парообразование сопровождается поглощением теплоты, так как при парообразовании молекулы поверхностного слоя жидкости вырываются в пространство над жидкостью, преодолевая сопротивление сил сцепления. На преодоление всякого сопротивления надо затратить энергию. Энергия, необходимая для парообразования, заимствуется из кинетической энергии беспорядочного движения молекул всякого испаряющегося тела.

7. Число 221 является непростым. Если бы оно было простым, то делилось бы только на единицу и на самого себя. Однако оно делится на 13, следовательно, ложно, что оно делится только на единицу и на самого себя. Поэтому ложно, что оно является простым. Следовательно, оно непростое.

8. Рассуждение о «буридановом осле». Осел находится между двумя одинаково удаленными от него охапками сена одинакового качества и одинаковой величины. Если бы он не обладал свободой воли, то умер бы от голода, не отдав предпочтения ни одной из этих охапок сена, поскольку оснований для того, чтобы отдать предпочтение одной из них, нет. Следовательно, поскольку на практике в таких случаях ослы не умирают, то они обладают свободой воли.

9. Общеотрицательное суждение обращается в такое же общеотрицательное потому, что в общеотрицательном суждении и субъект и предикат всегда распределены, и перестановка их местами не меняет количественных (объемных) показателей этих понятий.

10.Пешеход в разговоре с инспектором ГАИ: «Я вижу, что дело оборачивается для меня штрафом. А чем я хуже других? Посмотрите, вон сколько человек переходят улицу тоже на красный сигнал светофора! Так почему же именно меня штрафуете?».

Пример косвенного доказательства геометрической теоремы: «Два перпендикуляра к одной и той же прямой не могут пересечься, сколько бы их не продолжали». Допустим противоположное: «Два перпендикуляра к одной и той же прямой при продолжении пересекаются.» Отсюда следует, что из точки, лежащей вне прямой, можно опустить на эту прямую два перпендикуляра. Но это следствие ложно, так как существует доказанная теорема, что «из точки, лежащей вне прямой, можно опустить на эту прямую только один перпендикуляр». Из ложности этого следствия делаем вывод о ложности его основания, т.е. принятого допущения о пересечении двух перпендикуляров к одной и той же прямой. Если из двух противоречащих суждений одно является ложным, то по закону исключенного третьего утверждаем об истинности исходной теоремы: «Два перпендикуляра к одной и той же прямой не могут пересечься, сколько бы их ни продолжали».

СИМВОЛИЧЕСКАЯ ЛОГИКА

ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Рассмотренные выше таблицы истинности сложных суждений (будем называть их в дальнейшем высказываниями) показывают, что различные по своей логической структуре формулы могут получать в выходных столбцах таблиц одинаковые истинностные значения.

Некоторые формулы и соответствующие им сложные высказывания являются истинными всегда, т.е. при любых истинностных значениях входящих в них простых высказываний в силу только своей структуры и значения логических союзов.

Например, всегда истинным будет выражение: (а +в) & а àв

а	_ а	в	а +в	_ (а + в) &а	_ (а +в) &а à в

Некоторые формулы являются всегда ложными тоже в силу своей структуры.

_ _

Например, всегда ложным будет выражение: а& (а +в)

а	_ а	в	_ а + в	_ а + в	_ _ а& (а + в)

Приведенные выражения называют тождественно истинными и тождественно ложными формулами. Первые еще определяют как логические законы или тавтологии. Поэтому одной из задач логики является отыскание среди всех формул тождественно истинных, т.е. отыскание законов логики.

Различные формулы, но с одинаковым распределением на выходе истинностных значений называют логически тождественными или просто тождественными. Это свойство тождественности различных формул используют при решении логических задач.

Примером такого тождества могут быть выражения :

_

а à в; а & в

а	в	а à в	_ а & в
1	1
1	0	0	0
	1	1	1
0	0	1	1