Измерения. Прямые и косвенные измерения

ИЗМЕРЕНИЯ. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ

В основе точных естественных наук, к числу которых относится и физика, лежат измерения. Измерения - это процедура, которая ставит в соответствие физической величине некоторое число. Мы говорим, что физическая величина А измерена, если известно сколько раз в А содержится некоторая единица а. Это и есть числовое значение а величины А. Само по себе число а не несет никакой информации. Указывая число а, необходимо указать и единицу измерения а. Тогда можно записать А= а. Например, если масса т тела в пять раз больше 1кг, значитт = 5кг.

Полученные в результате измерений значения различных величин могут зависеть друг от друга. Физика устанавливает связь между такими величинами и выражает ее в виде формул, которые показывают, как числовые значения одних величин могут быть найдены по числовым значениям других.

Измерения делятся на прямые и косвенные. Прямые измерения проводят с помощью приборов, которые измеряют саму исследуемую величину. Так, массу тел можно найти с помощью весов, длину измерить линейкой, а время - секундомером. Те же величины в других случаях могут быть найдены только с помощью косвенных измерений - пересчетом других величин, значения которых получены в результате прямых измерений. Так находят массуЗемли, расстояние от Земли до Солнца, продолжительность геологических периодов. Измерение плотности тел по их массе и объему, скорости поезда - по величине пути, пройденного за известное время, также принадлежат к косвенным измерениям.

Получение надежных числовых значений физических величин отнюдь не является простой задачей из-за многочисленных погрешностей, неизбежно возникающих при измерениях. Ниже мы отметим эти погрешности и приведем формулы для их оценки, а также обратим внимание на запись окончательного результата измерений.

Случайные и систематические погрешности. Обработка результатов прямых измерений. Запись окончательного результата

Говоря о погрешностях измерений, следует, прежде всего, упомянуть о грубых погрешностях (промах), возникающих вследствие недосмотра экспериментатора или неисправности аппаратуры. Такие погрешности происходят, если, например, экспериментатор неправильно прочтет номер деления на шкале, если в электрической цепи произойдет замыкание и вследствие других подобных причин. Грубых погрешностей следует избегать. Если установлено, что они имеют место, соответствующие измерения нужно отбрасывать.

Не связанные с вышеупомянутыми погрешности эксперимента делятся на случайные и систематические. Многократно повторяя одни и те же измерения, можно заметить, что довольно часто их результаты не в точности равны друг другу, а "пляшут" вокруг некоторого среднего. В подобных случаях мы имеем дело со случайными погрешностями.

Случайные погрешности могут быть связаны с сухим трением (из-за которого стрелка прибора вместо того, чтобы останавливаться в правильном положении, "застревает" вблизи него), с люфтами в механических приспособлениях, с тряской, которую в городских условиях трудно исключить, с несовершенством объекта измерений (например, при измерении диаметра проволочки, которая из-за случайных причин, возникающих при ее изготовлении, имеет не вполне круглое сечение). Рассмотрим последний случай.

Пусть измерения диаметра проволочки в различных ее местах, полученные при помощи микрометра, имеют следующие результаты:

№ опыта
диаметр (мм)	0,36	0,36	0,35	0,34	0,36	0,34	0,35

Вместо одного нужного нам результата мы получили семь. Что делать с полученными цифрами? Как оценить погрешности?

В качестве наилучшего значения для измеренной физической величиныХобычно принимают среднее арифметическое из всех полученных результатов

. (1)

В нашем случае получим

.

Этому результату следует приписать случайную погрешность, определяемую формулой

. (2)

В нашем случае

.

Отсутствие случайной погрешности отнюдь не означает, что измерение проведено абсолютно точно, так как на ряду со случайными погрешностями имеют место систематические.

Систематические погрешности могут быть связаны с несовершенством методики эксперимента (например, пренебрегая силами трения при колебании маятника, мы уже допускаем неточность), с ошибками приборов (неправильная шкала, неравномерно растягивающаяся пружина, неравномерный шаг микрометрического винта и т.д.).

Систематические погрешности сохраняют свои значения во время эксперимента.

Оценку систематической погрешности экспериментатор проводит, анализируя особенности методики эксперимента, паспортную точность приборов и делая контрольные опыты.

В дальнейшем в качестве систематической погрешностимы будем брать приборную погрешность, которая, как правило, равна половине цены деления шкалы измерительного прибора.

В рассматриваемом примере с проволочкой цена деления шкалы микрометра = 0.01мм. Следовательно,

= =0.005мм.

Полная погрешность определения физической величины находится через случайную и систематическуюпогрешности по формуле

= .

В нашем случае имеем:

Как записать теперь окончательный результат измерений?

Пусть в результате расчетов по формулам (1), (2) и (3) для и получены следующие значения:

=1.992205 (ед. измерения)

=0.003691 (ед. измерения)

Окончательный результат измерения физической величины записывается в виде

. (4)

Имейте в виду, что преждечем подставлять в формулу (4) численные значения и , необходимо провести округления.

Значение погрешностиокругляются до двух значащих цифр, если первая из них является единицей, и до одной значащей цифры во всех остальных случаях. С учетом этого =0,004 (ед. измерения). Анализируя значение погрешности, можно сделать вывод, что значение должно быть округлено до третьей цифры после запятой, т.е.

= 1.992 (ед. измерений).

Таким образом, окончательным результатом измерения является:

Х = 1.992 ± 0.004 (ед. измерений).

В рассматриваемом примере с изменением диаметра проволочки можно записать

d = (0.350 ± 0.006) мм.

Обработка результатов косвенных измерений

Пусть интересующая нас физическая величина X связана с величинами aи b некоторым физическим соотношением

Х= ,

причем величины aи b определены в результате прямых измерений, т.е. нам известны

Результат косвенного измерения величины Х записывается в виде

где в качестве наилучшего значения для Х принимается

(5)

а погрешностьрассчитывается через погрешностии поформуле

(6)

где и - частные производные функции f по переменным а и b.

Применение формулы (6) для конкретных функций приводит к следующим формулам для оценки погрешностей:

: ;

: ;

: ; (7)

Рассмотрим следующий пример. Предположим, что Вы хотите определить ускорение свободного падения g. Пренебрегая сопротивлением воздуха для свободно падающего стального шарика, можно записать:

,

гдеt- время падения, а h- высота, с которой падает шарик. Таким образом, измеряя высоту hи время падения t, можно рассчитать ускорение свободного g падения по формуле

.

Вы пять раз сбрасываете шарик с одной и той же высоты и измеряете время t. Пусть результаты измерений времени следующие:

с;с; с; с; с.

Измерение времени проводится секундомером, цена деления шкалы которого

с.

Измеряя высотуh, получили м.

Обработаем результаты измерений в соответствии с формулами (1),(2),(3),(5),(7) и определим ускорение свободного падения:

Таким образом, в рассмотренном эксперименте результатом измерения свободного падения является