Тождественное отображение. Обратимое отображение

Определение 50. Отображение Тождественное отображение. Обратимое отображение - student2.ru называется тождественным, если Тождественное отображение. Обратимое отображение - student2.ru , и обозначается Тождественное отображение. Обратимое отображение - student2.ru .

Замечание. Пусть Тождественное отображение. Обратимое отображение - student2.ru - функция, тогда Тождественное отображение. Обратимое отображение - student2.ru и Тождественное отображение. Обратимое отображение - student2.ru

Доказательство. Тождественное отображение. Обратимое отображение - student2.ru .

Тождественное отображение. Обратимое отображение - student2.ru

Определение 51. Отображение Тождественное отображение. Обратимое отображение - student2.ru называется обратимым, если существует отображение Тождественное отображение. Обратимое отображение - student2.ru , такое, что . fg= Тождественное отображение. Обратимое отображение - student2.ru и gf= Тождественное отображение. Обратимое отображение - student2.ru . В этом случае функция g называется обратной для функции f.

Замечание. Если в определении 51 выполняется 1-ое равенство то функция g называется правой обратной функцией для f, а если 2-ое то левой обратной функцией для f.

Лемма 1. Пусть Тождественное отображение. Обратимое отображение - student2.ru , Тождественное отображение. Обратимое отображение - student2.ru - функции. Если gf= Тождественное отображение. Обратимое отображение - student2.ru , то f – инъективная функция, а g – сюръективная функция.

Доказательство. 1) Покажем что f - инъективная функция. Проверим, что выполняется определение 46.

Пусть f( Тождественное отображение. Обратимое отображение - student2.ru ) = f( Тождественное отображение. Обратимое отображение - student2.ru ). Покажем, что Тождественное отображение. Обратимое отображение - student2.ru = Тождественное отображение. Обратимое отображение - student2.ru . Действительно, Тождественное отображение. Обратимое отображение - student2.ru Тождественное отображение. Обратимое отображение - student2.ru Тождественное отображение. Обратимое отображение - student2.ru ( Тождественное отображение. Обратимое отображение - student2.ru ) Тождественное отображение. Обратимое отображение - student2.ru gf( Тождественное отображение. Обратимое отображение - student2.ru ) Тождественное отображение. Обратимое отображение - student2.ru g(f( Тождественное отображение. Обратимое отображение - student2.ru ))= g(f( Тождественное отображение. Обратимое отображение - student2.ru )) Тождественное отображение. Обратимое отображение - student2.ru gf( Тождественное отображение. Обратимое отображение - student2.ru ) Тождественное отображение. Обратимое отображение - student2.ru Тождественное отображение. Обратимое отображение - student2.ru ( Тождественное отображение. Обратимое отображение - student2.ru ) Тождественное отображение. Обратимое отображение - student2.ru Тождественное отображение. Обратимое отображение - student2.ru Тождественное отображение. Обратимое отображение - student2.ru x-инъективна.

2) Покажем, что g-сюръективная функция.

Тождественное отображение. Обратимое отображение - student2.ru Тождественное отображение. Обратимое отображение - student2.ru Тождественное отображение. Обратимое отображение - student2.ru g - сюръективная функция.

Наши рекомендации