Метод кусочно–линейной аппроксимации

Данный метод основан на замене характеристики нелинейного элемента отрезками прямых, на основании чего осуществляется переход от нелинейного дифференциального уравнения к нескольким (по числу прямолинейных отрезков) линейным, которые отличаются друг от друга только значениями входящих в них коэффициентов. Необходимо помнить, что каждое из линейных уравнений справедливо для того временного интервала, в течение которого рабочая точка перемещается по соответствующему линеаризованному участку. Временные границы для каждого участка определяются исходя из достижения одной (любой) из переменных, определяющих характеристику нелинейного элемента, своих граничных значений для рассматриваемого прямолинейного участка. В соответствии с законами коммутации значения тока в ветви с катушкой индуктивности или напряжения на конденсаторе в эти моменты времени являются начальными значениями соответствующих переменных для соседних прямолинейных участков, на основании чего определяются постоянные интегрирования. Значение параметра линеаризуемого нелинейного элемента для каждого участка ломаной определяется тангенсом угла, образованного рассматриваемым прямолинейным отрезком с соответствующей осью системы координат.

В качестве примера рассмотрим применение данного метода для решения предыдущей задачи.

1. Заменим рабочий участок зависимости Метод кусочно–линейной аппроксимации - student2.ru (см. рис. 2) двумя прямолинейными отрезками Метод кусочно–линейной аппроксимации - student2.ru и Метод кусочно–линейной аппроксимации - student2.ru . Первому из них соответствует уравнение Метод кусочно–линейной аппроксимации - student2.ru , второму – Метод кусочно–линейной аппроксимации - student2.ru . При этом начальная точка Метод кусочно–линейной аппроксимации - student2.ru определяется током Метод кусочно–линейной аппроксимации - student2.ru , а конечная точка Метод кусочно–линейной аппроксимации - student2.ru - током Метод кусочно–линейной аппроксимации - student2.ru .

Соответствующие этим участкам индуктивности

Метод кусочно–линейной аппроксимации - student2.ru ;

Метод кусочно–линейной аппроксимации - student2.ru .

2. В соответствии с указанной линеаризацией нелинейное дифференциальное уравнение состояния цепи

Метод кусочно–линейной аппроксимации - student2.ru

заменяется двумя линейными:

Метод кусочно–линейной аппроксимации - student2.ru ;

Метод кусочно–линейной аппроксимации - student2.ru .

3. Решением первого уравнения является

Метод кусочно–линейной аппроксимации - student2.ru

и второго -

Метод кусочно–линейной аппроксимации - student2.ru ,

где Метод кусочно–линейной аппроксимации - student2.ru ; Метод кусочно–линейной аппроксимации - student2.ru ; Метод кусочно–линейной аппроксимации - student2.ru ; Метод кусочно–линейной аппроксимации - student2.ru .

Время t1, соответствующее моменту перехода с первого участка на второй, определим из уравнения

Метод кусочно–линейной аппроксимации - student2.ru ,

откуда

Метод кусочно–линейной аппроксимации - student2.ru .

Литература

  1. Бессонов Л.А.Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
  2. Теоретическиеосновы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.2. Жуховицкий Б.Я., Негневицкий И.Б. Линейные электрические цепи (продолжение). Нелинейные цепи. –М.:Энергия- 1972. –200с.
  3. Основытеории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

Контрольные вопросы и задачи



  1. В чем заключаются особенности расчета переходных процессов в нелинейных цепях?
  2. В чем состоит сущность метода условной линеаризации? С чем связана его невысокая точность?
  3. В чем заключается основное преимущество метода аналитической аппроксимации?
  4. Следует ли применять метод кусочно-линейной аппроксимации для расчета переходных процессов в цепях с питанием от источника переменного напряжения?
  5. Аппроксимируя зависимость Метод кусочно–линейной аппроксимации - student2.ru выражением Метод кусочно–линейной аппроксимации - student2.ru , определить ток в цепи на рис. 1 при ее включение на постоянное напряжение Метод кусочно–линейной аппроксимации - student2.ru .

Ответ: Метод кусочно–линейной аппроксимации - student2.ru .

  1. Заменив в цепи на рис. 1 нелинейную катушку индуктивности на нелинейный конденсатор с характеристикой Метод кусочно–линейной аппроксимации - student2.ru , подобной Метод кусочно–линейной аппроксимации - student2.ru на рис. 2, методом кусочно-линейной аппроксимации определить зависимость Метод кусочно–линейной аппроксимации - student2.ru .

Лекция N 40

Наши рекомендации