Векторное изображение синусоидальных ЭДС, напряжений и токов

Синусоидальные ЭДС, напряжения, токи могут изображаться в виде векторов на декартовой плоскости (рис.4.3 а).

Докажем, что векторы ЭДС, напряжения, тока, изображенные в виде векторов в плоскости с осями О_х, О_у являются синусоидальными величинами

Рис.4.3. Векторное изображение синусоидальных ЭДС:

а - вращающийся вектор; б - кривая изменения его проекции на ось Оу

Пусть в плоскости с осями О_х, О_у вращается с постоянной скоростью w вектор ОА, длина которого равна амплитуде синусоидальной ЭДС e = E_mахsin(wt + y_e), т. е. ОА = E_mах.

За положительное направление вращения вектора ОА примем направление, противоположное вращению часовой стрелки, а угол поворота вектора отсчитываем от оси О_х на угол y_е.

Тогда проекции вектора ОА при его вращении на ось О_у дадут мгновенные значения е; т. к . начальное положение вектора относительно оси О_х - y_e, то угол y_e - начальная фаза. Через время t = T синусоидальная величина е совершит полный цикл изменения от 0 до ±_. E_mах. – 0 (рис.4.2.б).

Так как при своем вращении вектор ОА содержит такие понятия, как максимальное и мгновенное значения синусоидальной величины, начальную фазу фазовый угол, частоту вращения, то синусоидальная величина может изображаться вектором. Так как е, u, i одной электрической цепи имеют одну и ту же частоту, а, следовательно, при вращении их взаимное расположение не меняется, то на практике векторы не вращают, а строят их, соблюдая углы между векторами, т. е. углы сдвига фаз. Отказавшись от вращения векторов, строят векторы не только максимального значения, но чаще всего действующих значений, не изображают осей координат, а начальный вектор располагают горизонтально.

Совокупность векторов E, U, I, относящихся к одной электрической цепи называют векторной диаграммой(рис.4.4).

Знак угла - сдвига фаз междувекторами U и I, определяется направлением от вектора тока к вектору напряжения.

На рис.4.4 угол положительный, так как отложен в направлении против вращения часовой стрелки.

Рис. 4.4. К определению угла сдвига фаз между напряжением и током

4.4. Комплексный метод расчета электрических цепей синусоидального тока

Все графические методы расчета цепей синусоидального тока не обеспечивают точного расчета электрических цепей, кроме того, они сложны и трудоемки.

Наиболее простым и точным методом расчета электрических цепей синусоидального тока является комплексный метод, основанный на теории комплексных чисел.

Синусоидальная величина изображается вращающимся вектором на комплексной плоскости с осями ±1 и ±j, где - мнимая единица, символ.

За положительное направление вращения вектора принято направление против часовой стрелки. За время, равное одному периоду, вектор совершает один оборот.

На рис.4.5 изображен вектор комплексного тока , которому соответствует комплексное число

Рис.4.5. Составляющие комплексного числа на комплексной плоскости

где I - модуль действующего значения тока, равный длине вектора;

где - действительная составляющая тока; - мнимая составляющая; y_i = arctg ( ) – аргумент тока, равный начальной фазе, т. е. угол между вектором и действительной полуосью +1 при t = 0.

Аргумент положительный, если вектор отложен в направлении против часовой стрелки, и отрицательный - если по часовой.

Комплексные значения синусоидальных величин обозначают несинусоидальных - z, S.

Над комплексными числами можно производить все алгебраические действия (при сложении и вычитании удобнее использовать алгебраическую форму, а при умножении, делении, возведении в степень, извлечении корня – показательную).

Алгебраическая форма записи:

.

Тригонометрическая форма записи:

İ = Icosy_i + jsiny_i .

Показательная форма записи:

İ = Ie^jyi .

Переход из одной формы записи в другую осуществляется по формуле Эйлера через тригонометрическую форму записи

e^±jα =cosα±j sinα.

Например: İ = 10e ^j37º = 10cos37˚ + j10sin37º = 10 · 0,8 + j10 0,6 = = 8 + j6 = (8² + 6²)^1/2e^+jarctg6/8 = 10e^+j37º (А).

Поскольку e^±j90º = cos90º ± jsin90º = ±j, то умножение комплексного числа на + j приводит к увеличению его аргумента на 90º и повороту вектора на 90º против часовой стрелки (в положительном направлении), умножение на -j – к уменьшению аргумента на 90º и повороту вектора на 90º в отрицательном направлении (по часовой стрелке).

При работе с комплексными числами используют и сопряженные комплексные величины, имеющие одинаковые модули и одинаковые по величине, но противоположные по знаку аргументы:

İ = 10e ^j37º, А; I* =10e^–j37º, А.

Произведение İ I* = 10e ^j37º 10e^–j37º = 100e^j0°, À.