Анализ цепей постоянного тока с нелинейными резистивными элементами

Нелинейными электрическими элементами являются элементы, параметры которых зависят от тока и напряжения. Цепи, содержащие такие элементы, именуемые электрическими нелинейными цепями, обладают рядом новых свойств, которые отсутствуют у линейных цепей. Эти свойства позволяют создать основанные на них автоматические системы управления и регулирования, устройства для преобразования электромагнитной энергии, устройства для производства электрических измерений и передачи информации, быстродействующие вычислительные машины и т.д. Особенностью и сложностью анализа нелинейных систем является невозможность применения принципа наложения.

К нелинейным электрическим цепям постоянного тока относятся электрические цепи, содержащие нелинейные сопротивления, обладающие нелинейными вольт-амперными характеристиками, т.е. зависимость напряжения на зажимах резистивного нелинейного элемента от тока в нем задается его вольтамперной характеристикой (ВАХ).

Вольт-амперные характеристики могут быть заданы в виде графиков, таблиц и аналитических выражений.

Статическими называют характеристики, в которых каждая точка дает значение постоянного напряжения при соответствующем значении постоянного тока. Из них определяют статическое сопротивление и статическую проводимость нелинейного элемента

.

Электрическое состояние нелинейных цепей постоянного тока описывается системой алгебраических уравнений, составленных по первому и второму закону Кирхгофа. Общих аналитических методов решения нелинейных уравнений не существует, поэтому решение таких задач осуществляется численными методами с использованием ЭВМ. Однако существуют наиболее простые методы расчета цепей постоянного тока с резистивными элементами - графические и графоаналитические: метод эквивалентных преобразований и метод пересечения характеристик.

Метод эквивалентных преобразований для нелинейных цепей, так же как и для линейных, основан на замене нескольких элементов одним и сводится к нахождению ВАХ эквивалентного нелинейного элемента.

При расчете электрических цепей с последовательным или параллельным включением нелинейных (или линейных и нелинейных) сопротивлений их вольт-амперные характеристики представляются в общей координатной системе и по ним строится общая вольт-амперная характеристика всей нелинейной электрической цепи.

а) При последовательном соединении нелинейных резистивных элементов, графически заданных своими вольт-амперными характеристиками, по оси абсцисс которых откладываются напряжения, а по оси ординат – ток, складываются ординаты этих кривых для различных значений тока. Абсцисса каждой точки эквивалентного элемента при заданном токе находится как сумма соответствующих падений напряжения на сопротивлениях, поскольку при последовательном соединении по сопротивлениям протекает один и тот же ток цепи (рис. 1).

Таким образом, по общей вольт-амперной характеристике нелинейной цепи при заданном значении напряжения Э.Д.С. легко определяют ток в нелинейной цепи I, а по заданному току, находят напряжение на каждом из последовательно соединенных сопротивлений, переходя к их вольт-амперным характеристикам.

б) При параллельном соединении нелинейных резистивных элементов складываются абсциссы ВАХ для различных значений напряжения. Ордината каждой точки вольт-амперной характеристики эквивалентного нелинейного сопротивления при заданном напряжении определяют как сумму токов в ветвях соответствующего сопротивления , так как при параллельном соединении на всех сопротивлениях действует одно и то же напряжение (рис.2).

Следовательно, при параллельном включении сопротивлений, по общей ВАХ и заданном токе источника тока, нетрудно определить падение напряжения на параллельном участке цепи, а по известному напряжению, переходя к ВАХ каждого элемента, найти ток в каждом сопротивлении.

Применение графического метода расчёта цепей со смешанным соединением нелинейных резистивных элементов основано на методе свёртывания. Для получения характеристики всей цепи при смешанном соединении нелинейных элементов используются те же приемы, осуществляемые поочередно.

В методе пересечения характеристик реализуется графическое решение уравнения, определяющего электрическое состояние цепи при заданной величине источника.

а) При последовательном соединении нелинейного и линейного резистивных элементов, графически заданных своими вольт-амперными характеристиками, решение задачи сводится к решению уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа, и будет определяться точкой пересечения нагрузочной прямой (ВАХ – линейного элемента) с ВАХ нелинейного элемента. Для построения нагрузочной прямой, достаточно определить координаты двух точек, из опыта холостого хода и короткого замыкания. При задании нулевого значения одной координаты, вторая находится из уравнения, составленного для цепи. Точка пересечения линейной и нелинейной ВАХ получила название рабочей точки (рис. 3).

По второму закону Кирхгофа:

при

при

Таким образом, из графика легко находятся ток в цепи и напряжение на нелинейном элементе, что представляют собой координаты точки пересечения.

б)При параллельном соединении нелинейного и линейного резистивных элементов, графически заданных своими вольт-амперными характеристиками, решение задачи сводится к решению уравнения, составленного по первому закону Кирхгофа, и будет определяться точкой пересечения нагрузочной прямой (ВАХ – линейного элемента).

При задании нулевого значения одной координаты, вторая находится из уравнения, составленного для цепи. По двум точкам проводится нагрузочная прямая, которая является ВАХ линейного сопротивления построенной в координатах ВАХ нелинейного элемента.

По первому закону Кирхгофа:

при

при

Координаты точки пересечения двух ВАХ линейной и нелинейной являются найденным решением задачи. Они определяют ток в нелинейном элементе и напряжение на нелинейном и линейном сопротивлении (рис.4).

Рис.4. Алгоритм расчета методом пересечений электрических цепей с параллельным включением нелинейного и линейного элементов.

ПРИМЕРЫ

Пример1.1. Нелинейные сопротивления и , включенные последовательно в электрическую цепь постоянного тока (рис. 4, а), имеют вольт-амперные характеристики и , приведенные на рис. 4, б. Определить ток в цепи и напряжения и на этих сопротивлениях, если приложенное к цепи напряжение В. В каких пределах измениться напряжение цепи при изменении тока от мА до мА?

Решение. Строят общую вольт-амперную характеристику указанных двух последовательно соединенных нелинейных элементов (рис. 4, б) исходя из условия, что подводимое к цепи напряжение при данном токе нагрузки равно сумме напряжений на сопротивлениях и , т.е. .

Ток в цепи при напряжении В согласно зависимости определяется ординатой , соответствующей мА.

Напряжение на участках цепи находят из графических зависимостей. При токе мА В (абсцисса 5-4), В (абсцисса 5-3). При токе мА напряжение, подводимое к цепи, В. Следовательно, изменение подводимого к цепи напряжения при изменении тока в заданных пределах согласно рис. 4, б составляет: В.

Пример1.2. В электрическую цепь постоянного тока (рис. 4, в) при напряжении В включены параллельно нелинейные сопротивления и , вольт-амперные характеристики и которых представлены на рис. 1, б. Определить общий ток в цепи, токи и в ветвях.

Решение. Общая вольт-амперная характеристика (рис. 4, б) при параллельном соединении нелинейных сопротивлений построена сложением токов (ординат) зависимостей и при соответствующем напряжении. Ток нелинейного сопротивления (рис. 4, а) при заданном напряжении В равен ординате : мА. Общий ток в неразветвленной части цепи равен ординате : мА.

Пример1.3. В электрическую цепь постоянного тока (рис. 5, а) включено нелинейное сопротивление . Определить ток в нелинейном сопротивлении и напряжение , действующее между точками и цепи. Вольт-амперная характеристика нелинейного сопротивления (кривая 3) приведена на рис. 5, б. ЭДС источника питания В, сопротивление резисторов: Ом; Ом; Ом; Ом.

Решение. Используя метод эквивалентного генератора, определяем напряжение , действующее между точками и электрической цепи в режиме холостого хода при отключенном нелинейном сопротивлении (рис. 5, а).

Ток в ветви резистора при отключенном нелинейном сопротивлении (выключатель В выключен): А.

Ток в ветви резистора при отключенном нелинейном сопротивлении : А.

ЭДС эквивалентного генератора определяют при отключенном нелинейном сопротивлении . По второму закону Кирхгофа из уравнения электрического равновесия, составленного для внешнего замкнутого контура электрической цепи (рис. 5, а):

или В, откуда В.

Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора относительно точек и электрической цепи рис. 5, а, при закороченном источнике ЭДС : Ом.

В соответствии со схемой замещения рассматриваемой нелинейной электрической цепи (рис. 5, в) исходя из уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа, имеем: , отсюда .

Полученное уравнение представляет аналитическое выражение зависимости . Поскольку ЭДС и , последнее уравнение является уравнением прямой в системе координат и (рис. 5, б, точка 1), проходящей через точки с координатами, которые определяются в режиме холостого хода (при ; В) и в режиме короткого замыкания ( ), ток А (точка 2).

Ток в цепи нелинейного сопротивления и напряжение на его зажимах определяют графическим способом как координаты точек пересечения вольт-амперной характеристики нелинейного элемента (рис. 5, б) с полученной прямолинейной зависимостью . При этом А; В.

Пример1.4. Для точки вольт-амперной характеристики нелинейного элемента (рис. 6) определить статическое и дифференциальное сопротивления.

Решение. Статическое сопротивление, соответствующее точке вольт-амперной характеристики: кОм. Статическое сопротивление пропорционально тангенсу угла , т.е. , где - масштаб сопротивлений.

Дифференциальное сопротивление, соответствующее вольт-амперной характеристики: кОм. Дифференциальное сопротивление пропорционально тангенсу угла .

МАГНИТНЫЕ ЦЕПИ

Магнитная цепь – часть электротехнического устройства, предназначенного для создания в определенном месте пространства магнитного поля требуемой интенсивности и направленности. Магнитные цепи составляют основу практически всех электротехнических устройств и многих измерительных приборов.

В составе магнитной цепи имеются элементы, возбуждающие магнитное поле (одна или несколько намагничивающих обмоток или постоянные магниты) и магнитопровод (сердечник), выполненный в основном из ферромагнитных материалов. Использование ферромагнетиков обусловлено их способностью многократно усиливать внешнее магнитное поле, создаваемое намагничивающими обмотками или постоянными магнитами. Ферромагнетики отличает высокая магнитная проницаемость по сравнению с окружающей средой, что дает возможность концентрировать и направлять магнитные поля.

Магнитными цепями с постоянной магнитодвижущей силой (МДС) называются цепи, в которых магнитное поле возбуждается постоянными токами намагничивающих обмоток или постоянными магнитами.

При анализе и расчете магнитных цепей пользуются следующими величинами, характеризующими магнитное поле, приведенными в таблице 1.

Таблица 1. Векторные величины, характеризующие магнитное поле

Наименование	Обозна-чение	Единицы измерения	Определение
Вектор магнитной индукции		Тл (Тесла)	Векторная величина, характеризующая интенсивность и направленность магнитного поля в данной точке пространства.
Вектор намагниченности		А/м	Магнитный момент единицы объема вещества.
Вектор напряженности магнитного поля		А/м	, где Гн/м – магнитная постоянная.

Основные скалярные величины, используемые при расчете магнитных цепей приведены в таблице 2.

Таблица 2. Основные скалярные величины, характеризующие магнитную цепь

Наименование	Обозна-чение	Единицы измерения	Определение
Магнитный поток		Вб (Вебер)	Поток вектора магнитной индукции через поперечное сечение магнитопровода .
Магнитодвижущая сила (МДС)		А	, где - ток в обмотке, - число витков обмотки.
Магнитное напряжение		А	, где и - граничные точки участка магнитной цепи, для которого определяется .