Соединение конденсаторов

При последовательном соединении конденсаторов заряды всех конденсаторов одинаковы, а напряжения складываются.

Соединение конденсаторов - student2.ru q1 = q2 = q3; U1 = U1 + U2 + U3;

При последовательном соединении конденсаторов величина обратная емкости батареи равна сумме обратных емкостей отдельных конденсаторов

Соединение конденсаторов - student2.ru .

Соединение конденсаторов - student2.ru При параллельном соединении конденсаторов емкость батареи равна сумме емкостей отдельных конденсаторов. Заряды отдельных конденсаторов пропорциональны емкостям, а суммарный заряд равен сумме зарядов отдельных конденсаторов

C = C1 + C2 + C3. q = q1 + q2 + q3.

U = U1 = U2 = U3.

Энергия заряженного проводника и конденсатора

Заряд, находящийся на проводнике можно рассматривать, как систему взаимодействующих между собой точечных зарядов. Такая система обладает потенциальной энергией. Потенциальной энергией, которой обладает заряженный проводник в отсутствии внешнего электрического поля, называется собственной энергией проводника. Энергия уединенного заряженного проводника может быть определена по одной из формул

Соединение конденсаторов - student2.ru ,

где Соединение конденсаторов - student2.ru - заряд проводника, Соединение конденсаторов - student2.ru - потенциал проводника, Соединение конденсаторов - student2.ru - электроемкость проводника.

Энергия конденсатора, т.е. системы, состоящей из двух проводников, может быть определена по следующим формулам

Соединение конденсаторов - student2.ru ,

где Соединение конденсаторов - student2.ru - величина заряда одной обкладки конденсатора, Соединение конденсаторов - student2.ru - разность потенциалов между обкладками конденсатора, Соединение конденсаторов - student2.ru - электроемкость конденсатора.

В случае плоского конденсатора энергия модет быть вычислена следующим образом

Соединение конденсаторов - student2.ru

Энергия электрического поля

Пространственное распределение энергии характеризуется объемной плотностью энергии Соединение конденсаторов - student2.ru - это энергия поля, приходящаяся на единицу объема. Если энергия распределена равномерно, то плотность энергии вычисляется по формуле

Соединение конденсаторов - student2.ru

Зная пространственное распределение плотности энергии, можно решить задачу нахождения энергии поля, заключенной в объеме V:

Соединение конденсаторов - student2.ru

Порядок решения задач

Задачи этого раздела связаны с изменением емкости конденсаторов за счет внешнего воздействия на них, могут изменяться размеры конденсатора или среда между обкладками конденсатора. Изменения могут производиться как при включенном источнике, так и при отключенном. При этом изменение емкости может сопровождаться перемещением зарядов по системе. При изменении емкости изменяется и энергия поля конденсатора.

Порядок решения задач:

1. Нарисовать систему конденсаторов или один конденсатор в различных ситуациях.

2. Проанализировать соединение конденсаторов, понять, какие изменения происходят с системой и при этом подключен источник или нет.

Поняв это, записать, какие характеристики системы изменяются, а какие остаются постоянными.

3. Используя основные определения и законы, составить систему уравнений, позволяющую найти неизвестные.

4. Решить систему уравнений, найти искомые величины.

Примеры решения задач

Пример 3. Площадь пластин плоского воздушного конденсатора S = 0,01 м2, расстояние между ними d = 5 мм. К пластинам приложена разность потенциалов U1 = 300 B. После отключения конденсаторов от источника напряжения пространство между пластинами заполняется эбонитом. Какова будет разность потенциалов U2 между пластинами после заполнения? Найти емкости конденсатора С1 и С2 и поверхностные плотности заряда s1 и s2 на пластинах до и после заполнения. Диэлектрическая проницаемость эбонита e = 2,6.

Соединение конденсаторов - student2.ru Дано:

S = 0,01 м2

d = 5 мм = 0,005 м;

U1 = 300 В;

e = 2,6

___________

C1 - ? C2 - ? Анализ: Конденсатор заполняют эбонитом при

s1 - ? s2 - ? U2 - ? отключенном источнике, следовательно, заряд не изменяется q1 = q2. Поверхностная плотность зарядов также не изменяется: Соединение конденсаторов - student2.ru

Емкость плоского конденсатора зависит прямо пропорционально от диэлектрической проницаемости среды между обкладками конденсатора Соединение конденсаторов - student2.ru , поэтому при внесении эбонита в пространство между обкладками, емкость конденсатора увеличивается в Соединение конденсаторов - student2.ru раз.

Решение : Определим емкости конденсатора до и после внесения диэлектрика.

Емкость конденсатора можно вычислить по формуле Соединение конденсаторов - student2.ru .

В первом случае среда между обкладками - воздух, т.е. e1 = 1, а во втором - эбонит (e2 = 2,6).

Соединение конденсаторов - student2.ru

Подставив численные значения, получаем:

Соединение конденсаторов - student2.ru

Для определения разности потенциалов после внесения диэлектрика в конденсатор воспользуемся формулами для вычисления напряженности поля плоского конденсатора Соединение конденсаторов - student2.ru и формулой, связывающей напряженность поля с разностью потенциалов Соединение конденсаторов - student2.ru

До внесения диэлектрика среда между обкладками – воздух, следовательно, e1 = 1 и поэтому Соединение конденсаторов - student2.ru и Соединение конденсаторов - student2.ru

После внесения эбонита диэлектрическая проницаемость станет равной e2 = 2,6.

Учитывая это, можно написать Соединение конденсаторов - student2.ru и Соединение конденсаторов - student2.ru

Сравнивая эти формулы, получаем Соединение конденсаторов - student2.ru

Подставив численные значения, получаем Соединение конденсаторов - student2.ru

Осталось определить поверхностную плотность заряда на обкладках конденсатора. Мы уже отмечали, что заряд на конденсаторе не изменяется, т.к. источник питания отключен, поэтому определим величину s1 из формулы для разности потенциалов в первом случае

Соединение конденсаторов - student2.ru или Соединение конденсаторов - student2.ru

Вычислим численное значение поверхностной плотности заряда

Соединение конденсаторов - student2.ru

Ответ: после заполнения конденсатора эбонитом установилось напряжение, равное 115 В, емкости конденсатора до и после заполнения соответственно равны 17,7пФ и 46 пФ, поверхностные плотности заряда будут одинаковы и равны 531 нКл/м.

Пример 3.

Пластины плоского воздушного конденсатора, расположенного горизонтально, заряжены одинаковым по модулю разноимённым зарядом и отсоединены от источника напряжения. Между пластинами находится в равновесии маленькая капелька, имеющая точечный заряд q0 = 10-8 Кл. и массу m = 0.010 кг.

1) Определите поверхностную плотность заряда пластин конденсатора σ.

2) Чему равна работа электростатических сил А при раздвижении пластин друг от друга от расстояния d1=3см до d2= 5см. Площадь одной пластины S = 200 см2.

Дано:
q0= 10-8 Кл
d1= 3см
d2= 5см
m= 10мг=10-5г
S= 200 см2
Найти:
Соединение конденсаторов - student2.ru -? -?
A
     

Соединение конденсаторов - student2.ru Анализ: Заряд находится в равновесии в поле конденсатора, следовательно, сила действия электрического поля равна силе тяжести капельки и противоположно направлена. Отсюда следует, что верхняя пластинка заряжена отрицательно, а нижняя – положительно. Выполним рисунок: на нем показано сечение конденсатора, ход силовых линий, положение заряженной капельки и действующие на нее силы.

Решение: Поскольку заряд находится в равновесии, то можно записать условие равновесия капельки в векторном виде:

Соединение конденсаторов - student2.ru .

В проекции на вертикальную ось OУ. направленную вверх,получим:

Соединение конденсаторов - student2.ru или Соединение конденсаторов - student2.ru

Отсюда можем выразить E:

Соединение конденсаторов - student2.ru

Напряженность поля плоского конденсатора запишем один раз из условия равновесия, а другой раз из выражения для напряженности поля плоского конденсатора Соединение конденсаторов - student2.ru или Соединение конденсаторов - student2.ru .

Приравняв правые части этих уравнений получим выражение из которого можно найти поверхностную плотность заряда пластины конденсатора:

Соединение конденсаторов - student2.ru , Соединение конденсаторов - student2.ru т.к. конденсатор воздушный.

Вычислим искомую величину: Соединение конденсаторов - student2.ru Кл.

Поле конденсатора однородное, т.е. вектор Соединение конденсаторов - student2.ru одинаков во всех точках пространства. Будем считать, что одна пластина создает поле, и оно действует на заряд другой пластины. Напряженность поля одной пластины находится

следующим образом: Соединение конденсаторов - student2.ru , но Соединение конденсаторов - student2.ru =1, т.к. конденсатор воздушный, т.е. между пластинами воздух. Сила, с которой электрическое поле одной пластины действует на заряд другой равна:

Соединение конденсаторов - student2.ru , где Соединение конденсаторов - student2.ru - заряд одной пластины по модулю.

Поскольку поле однородное, тo, Соединение конденсаторов - student2.ru = constи работу можно считать следующим образом:

Соединение конденсаторов - student2.ru

Угол между силой и перемещением равен 180°, т.к. пластины заряжены разноимёнными зарядами.

Соединение конденсаторов - student2.ru

Соединение конденсаторов - student2.ru

Соединение конденсаторов - student2.ru

Ответ: 1) Соединение конденсаторов - student2.ru Кл

2) Соединение конденсаторов - student2.ru .

Пример 3.11

Площадь пластин плоского воздушного конденсатора S = 0,01 м2, расстояние между ними d1 = 2 см. К пластинам конденсатора приложена разность потенциалов U = 3 кВ. Какова будет напряженность E2 поля конденсатора, если, не отключая его от источника напряжения, пластины раздвинуть до расстояния d2 = 5 см? Найти энергии W1 и W2 конденсатора до и после раздвижения пластин.

 
  Соединение конденсаторов - student2.ru

Дано: Соединение конденсаторов - student2.ru

S = 0,01 м2;

d1 = 2 см = 0,02 м;

U = 3 кВ = 3 103 В;

d2 = 5 см = 0,05 м Анализ:Изменение параметров конденсатора ________________ производят не отключая от источника, следовательно E2 - ? U = U1 = U2 = э.д.с. Заряд изменяется: q1 ¹ q2. поскольку при W1 - ? W2 -? увеличении расстояния между пластинами электроемкость конденсатора изменяется. По условию, среда между обкладками – воздух, поэтому Соединение конденсаторов - student2.ru .

Решение: Емкость конденсатора при раздвижении пластин уменьшается, т.к. увеличивается расстояние между пластинами.

Чем больше d, тем меньше емкость.

Соединение конденсаторов - student2.ru

Найдем напряженность поля после раздвижения пластин

Соединение конденсаторов - student2.ru

Энергия конденсатора до раздвижения пластин

Соединение конденсаторов - student2.ru

После раздвижения пластин энергия конденсатора

Соединение конденсаторов - student2.ru

Ответ: напряженность поля в конденсаторе после раздвижения пластин Е2 = 6×104 В/м; энергии конденсатора до раздвижения и после раздвижения пластин соответственно равны W1 = 2×10-5 Дж и W2 =8×10-6 Дж.

Пример 3.12

Заряженный шар 1 радиусом R1 = 2 см приводится в соприкосновение с незаряженным шаром 2, радиус которого R2 = 3 см. После того как шары разъединили, энергия шара 2 оказалась равной W2 = 0,4 Дж. Какой заряд q1 ,был на шаре 1 до соприкосновения с шаром 2?

Соединение конденсаторов - student2.ru Дано : R1 = 2 см = 0,02 м;

R2 = 3 см = 0,03 м;

q2 = 0

W2 = 0,04 Дж;

_______________

q1 - ?

Анализ:В начальный момент первый шар имел заряд, а второй был незаряженным. При соприкосновении шаров заряд перераспределяется по поверхностям двух шаров так, чтобы потенциалы всех точек обеих поверхностей стали одинаковы. j1¢ = j2¢.

Суммарный заряд шаров после разъединения по закону сохранения заряда равен заряду первого шара до соединения, поскольку система является электроизолированной. q1 = q1¢+ q2¢.

Решение :

Потенциал каждого шара после перераспределения заряда можно вычислить следующим образом:

Соединение конденсаторов - student2.ru

Шары, соединенные проволочкой, представляют собой единую металлическую поверхность, а любая заряженная поверхность является эквипотенциальной поверхностью, поэтому потенциалы шаров равны между собой.

Соединение конденсаторов - student2.ru или Соединение конденсаторов - student2.ru

Получим формулу для вычисления заряда первого шара после разведения шаров Соединение конденсаторов - student2.ru

Заряд второго шарика можно определить, поскольку известна энергия этого шара после разъединения шаров.

Соединение конденсаторов - student2.ru где С2 = 4pe0R2 - емкость шара.

Отсюда заряд второго шара после разъединения шаров равен

q2¢ = 2С2W2 = 2×4pe0R2 W2.

Теперь можно найти заряд q1¢

Соединение конденсаторов - student2.ru

Система проводников является электроизолированной и полный заряд системы не изменяется, поэтому начальный заряд первого шара равен сумме зарядов двух шаров после разъединения: q1 = q1¢ + q2¢

Окончательно имеем:

Соединение конденсаторов - student2.ru

Подставив численные значения, получим

Соединение конденсаторов - student2.ru

Ответ: первый шар в начальный момент имел заряд q1 = 2,7 мкКл.

Пример 3.13

Пластины плоского конденсатора площадью S = 100 см2
каждая притягиваются друг к другу с силой F =4,9×10-3Н. Пространство
между пластинами заполнено слюдой. Найти: 1) величину заряда, находящегося на каждой пластин q; 2) напряженность поля между пластинами Е; 3) энергию в единице объема поля конденсатора v, диэлектрическая проницаемость слюды eсл = 6.

Дано:

S = 0,01 м2 Анализ: Пластины конденсатора заряжены F = 4,9×10-3 Н разноименными зарядами и поэтому

eел = 6 притягиваются друг к другу. Взаимодействие пластин можно рассматривать следующим образом: заряд одной

_______________ пластины создает поле с напряженностью Соединение конденсаторов - student2.ru и это поле действует на заряд другой пластины с силой F = q×E1.

E - ? q - ? v - ? , где E1 - напряженность поля одной пластины, а q – заряд другой пластины.

Решение: Для нахождения заряда одной из пластин вспомним формулу для нахождения напряженности поля бесконечно протяженной заряженной пластины

Соединение конденсаторов - student2.ru где Соединение конденсаторов - student2.ru - поверхностная плотность заряда пластины.

Подставив формулу для напряженности поля одной пластины в формулу для силы взаимодействия пластин равна, получим Соединение конденсаторов - student2.ru

Отсюда найдем заряд одной пластины

Соединение конденсаторов - student2.ru

Подставим численные данные Соединение конденсаторов - student2.ru

Зная заряд, определим напряженность поля конденсатора

Соединение конденсаторов - student2.ru

Получим численный ответ Соединение конденсаторов - student2.ru

Объемная плотность энергии равна

Соединение конденсаторов - student2.ru

Подставим выражение для q в формулу для определения объемной плотности энергии, получим

Соединение конденсаторов - student2.ru

Вычислим численные значения заряда одной пластины, напряженность поля конденсатора и объемную плотность энергии поля конденсатора:

Соединение конденсаторов - student2.ru

Соединение конденсаторов - student2.ru

Ответ: а) на одной пластине находится заряд равный 10-7 Кл, напряженность поля равна 1,9×105 В/м, объемная плотность энергии равна 1,9×107 Дж/м3 .

Наши рекомендации