Типы задач, решаемых с помощью метода зеркальные изображений

Задача 1. Двухпроводная линия передачи электроэнергии или сигналов связи, расположенная над плоской проводящей средой (земля) (рис. 5), причем радиус проводов значительно меньше расстояния между ними и от земли.

Для расчета поля рассматривается вспомогательная система из двух пар проводов (1-3 и 2-4), расположенных в однородной диэлектрической среде, причем каждая пара состоит из истинного и вспомогательного, зеркально отображенного относительно земли провода.

Затем поля от каждой пары проводов слагаются векторно (напряженности) или скалярно (потенциалы), что позволяет ответить на все поставленные в задании вопросы.

Задача 2. Два металлических цилиндра с заданными радиусами и находятся в среде с диэлектрической проницаемостью . Известно также расстояние между геометрическими осями цилиндров (рис. 6).

Для расчета поля необходимо определить положение электрических осей, т.е. их смещение относительно геометрических осей. В соответствии с принятыми обозначениями можно записать следующие соотношения, известные из описания поля двух разноименно заряженных осей, при которых за цилиндрические поверхности равного потенциала радиусов и принимается радиусы заданных металлических цилиндров:

,

.

Решая эту систему уравнений, при условии, что , получим размеры , и , определяющие положение электрических осей.

Задача 3. В конструкции кабеля, изображенной на рис. 7, внутренняя жила смещена относительно наружной оболочки на заданное расстояние , причем размеры радиусов и соизмеримы друг с другом, поэтому смещением электрических осей пренебречь нельзя. В соответствии с картиной поля двух разноименно заряженных осей, приняв поверхности внутреннего проводника и наружной оболочки за цилиндрические поверхности равного потенциала с известными радиусами, можно написать следующие уравнения:

,

.

Учитывая, что (заданная величина), находим расстояния , и , а следовательно и положение электрических осей в точках 1 и 2.

Задача 4. Электрический кабель состоит из тонкого провода и наружной оболочки. Оболочка представляет собой полуцилиндрическую и плоскую поверхность (рис. 8).

Если радиус внутреннего провода много меньше расстояния его от оболочки кабеля, смещением электрической оси внутреннего провода можно пренебречь.

Положение дополнительных зарядов рассчитывается из условий теоремы единственности решения и ее следствий. Заряд в т. 2 определится как зеркально отраженный заданному заряду в т. 1 относительно плоской проводящей поверхности. Заряд в т. 3 определится из соотношения . Основанием для этого служат расчетные формулы для линий равного потенциала в системе двух тонких равноименно заряженных осей (задачи 2 и 3). Для выполнения граничных условий заряду в т.3 должен соответствовать зеркально отраженный относительно плоской стенки заряд , помещенный в т. 4. В этом легко убедиться, построив векторы напряженности от всех четырех зарядов, например в точке А. Как видно из рис. 7, и вектор , направлен перпендикулярно границе раздела металл-диэлектрик.

В итоге получим четыре тонкие заряженные оси, расположенные в точках
1, 2, 3, 4 . Это дает возможность рассчитать искомое электростатическое поле кабеля между жилой и оболочкой.

Задача 5. Полусферический заземлитель (рис. 9) находится в земле с удельной проводимостью . На расстоянии от заземлителя проходит плоская вертикальная граница раздела, за которой земля имеет удельную проводимость
. Известен ток, подводимый к заземлителю . Радиус полусферы заземлителя .

Расчет всех характеристик электрического поля постоянного тока в средах с удельными проводимостями и производится на основе метода зеркальных изображений относительно горизонтальной границы проводник-диэлектрик, а также в соответствии с рекомендациями к рис. 2. При этом используется метод аналогий между полем электростатики и полем постоянного тока.

Задача 6. Достаточно тонкий проводник радиуса с линейной плотностью электрических зарядов расположен на биссектрисе угла 60°, образованного проводящими поверхностями (рис. 10) на расстоянии от вершины угла. Радиус проводника намного меньше расстояния его от проводящей поверхности.

Использование метода зеркальных изображений в данной задаче состоит в построении системы зарядов в однородной диэлектрической среде, эквивалентной с точки зрения соблюдения граничных условий заданной системе.

Применяя зеркальное отражение от проводящих поверхностей, находящихся под углом 60°, получим систему из шести заряженных проводов, расположенных симметрично друг другу. Модуль каждого заряда равен заданному, а знаки отраженных зарядов чередуются на противоположные. Если, например, заданный заряд положителен, то заряды и будут также положительными, а заряды , и – отрицательными. Расчет поля в пространстве между проводящими поверхностями производится с учетом всех зарядов.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Вариант 1

Цилиндрический анаксиальный кабель (рис. 11) имеет указанные в таблице 1 размеры.

Задание:

1. Найти допустимое напряжение между жилой и оболочкой при заданной максимальной напряженности электрического поля.

2. Рассчитать емкость на единицу длины. Сравнить полученное значение емкости с емкостью такого же конденсатора при совмещении осей жил и кабеля, т.е. при .

3. Рассчитать и построить график распределения напряженности электрического поля и потенциала в плоскости АВ.

Таблица 1

Номер группы	, мм	, мм	, мм		, кВ/мм
AT 1
АЭП 1
ЭКТ 1
ЭАГ 1

Вариант 2

Полусферический заземлитель радиуса находится в среде с удельной проводимостью на расстоянии от плоской границы, отделяющей эту среду от среды с проводимостью (рис. 12, табл.2). Ток короткого замыкания равен 1 А.

Задание:

1. Определить потенциал заземлителя относительно бесконечно удаленной точки.

2. Построить график изменения потенциала и напряженности поля вдоль оси .

3. Рассчитать радиус опасной зоны для случая, когда вся среда имеет одинаковую проводимость ( В; м).

Таблица 2

Номер группы	, м	, м	, (Ом·см)-1	, (Ом·см)-1	, А
AT 1	0,5
	0,4
	0,3
АП 1	0,2
	0,6
АЭП 1	0,5
	0,4
ЭКТ 1	0,3
	0,2
	0,3
ЭАГ 1	0,4
	0,5

Вариант 3

Металлический цилиндр расположен в проводящей среде между двумя металлическими стенками, образующими угол 60°(рис. 13, табл. 3).

Задание:

1. Рассчитать проводимость между цилиндром и стенками на единицу длины.

2. Построить график изменения потенциала вдоль биссектрисы угла, если потенциал провода относительно стенок равен .

3. Рассчитать и построить вектор напряженности электрического поля в т. А.

Таблица 3

Номер группы	, В			, (Ом см)-1
мм
АТ 1				0,1
				0,2
				0,3
				0,4
АЭП 1				0,5
				0,6
ЭКТ 1				0,5
				0,4
ЭАГ 1				0,3
				0,2
АП 1				0,1
				0,6

Вариант 4

Металлический цилиндрический стержень находился в среде проводимостью (рис. 14. табл. 4).

Задание:

1. Найти ток утечки на единицу длины между стержнем и металлической поверхностью проводящего полупространства ( ), если потенциал стержня относительно этой поверхности .

2. Найти проводимость на единицу длины между стержнем и металлической поверхностью без учета влияния непроводящей стенки, т.е. когда .

3. Построить график изменения потенциала вдоль линии ВС .

4. Определить плотность тока в точках А и B.

Таблица 4

Номер группы	, В	, (Ом×см)-1			, см
м
AT 1		0,9	1,5	1,0
			1,0	0,9
			1,2	0,8
			1,4	0,7
АЭП 1			1,6	0,6
			1,8	0,5
ЭКТ 1			1,9	0,4
			1,2	0,6
ЭАГ 1			1,3	0,8
			1,4	1,0
АП 1			1,5	0,8
			1,6	0,6

Вариант 5

В полукруглой трубе, заполненной несовершенной изоляцией с электрической проводимостью , проложена цилиндрическая жила (рис. 15). Между жилой и трубой приложено напряжение (табл. 5).

Задание:

1. Сосчитать проводимость между трубой и жилой на единицу длины.

2. Рассчитать и построить распределение напряженности электрического поля и потенциала в направлении .

3. Рассчитать удельную мощность, рассеиваемую в изоляции вблизи точки А.

Таблица 5

Номер группы	, кВ				, (Ом×см)-1
мм
АТ 1
АЭП 1
ЭКТ 1
ЭАГ 1
АП 1

Вариант 6

В табл. 6 заданы параметры высоковольтной линии (рис. 16).

Задание:

1. Рассчитать частичные емкости.

2. Определить рабочую емкость линии с учетом земли.

3. Рассчитать заряд, приходящийся на 1 км длины каждого провода.

4. Построить распределение потенциала вдоль оси АВ.

5. Рассчитать плотность поверхностных зарядов в т. М и N.

Таблица 6

Номер группы			, см
м	кВ
AT 1			1,0	+10	-15
			1,2	+10	-20
		1,5	1,4	+10	-5
			1,6	+20	-10
АЭП 1			1,8	+20	-15
		2,5	2,0	+20	-30
ЭКТ 1			1,8	-10	+5
			1,6	-10	+10
ЭАГ 1		2,5	1,4	-10	+12
			1,2	-20	+10
АП 1			1,0	-20	+15
			0,8	-20	+30

Вариант 7

Коаксиальная линия имеет дефект - ось жилы смещена по отношению к оси оболочки (рис. 17, табл. 7).

Задание:

1. Найти допустимое напряжение при заданной допустимой напряженности электрического поля. Сравнить полученное значение с допустимым напряжением для линии без дефекта ( ).

2. Рассчитать проводимость между жилой и оболочкой на единицу длины. Сравнить полученный результат с проводимостью линии без дефекта.

3. Рассчитать и построить распределение напряженности поля и потенциала вдоль оси АВ .

Таблица 7

Номер группы				, (Ом·см)-1	, кВ/см
мм
AT 1			0,5
			1,0
			1,0
			1,0	4.
АЭП 1			1,5
			2,0
ЭКТ 1			1,5
			1,0
ЭАГ 1			0,5
			1,0
АП 1			0,8
			0,7

Вариант 8

Над поверхностью масла проходит цилиндрический провод (рис. 18). Потенциал провода относительно проводящей стенки (табл. 8).

Задание:

1. Найти емкость единицы длины провода относительно металлической стенки. Сравнить ее с емкостью провода относительно стенки при отсутствии масла.

2. Построить график изменения потенциала на границе раздела воздух-масло.

3. В т. А по обе стороны границы раздела воздух-масло построить векторы и .

Таблица 8

Номер группы			, мм	, кВ
см
AT 1
АЭП 1
ЭКТ 1
ЭАГ 1
АП 1

Вариант 9

Двужильный кабель с металлической оболочкой имеет указанные в таблице размеры (рис, 19), Между жилами кабеля приложено напряжение U0 (табл. 9).

Задание:

1. Рассчитать рабочую емкость на единицу длины кабеля. Сравнить полученный результат с емкостью между жилами без учета влияния оболочки.

2. Рассчитать и построить график распределения напряженности электрического поля и потенциала вдоль направления X.

3. Рассчитать плотность поверхностных зарядов в точке А.

Таблица 9

Номер группы	, кВ
мм
AT 1
АЭП 1
ЭКТ 1
ЭАГ 1
АП 1

Вариант 10

В табл. 10 заданы параметры высоковольтной линии, изображенной на рис. 20.

Задание:

1. Рассчитать частичные емкости.

2. Определить рабочую емкость линии.

3. Рассчитать заряд, приходящийся на 1 км длины каждого провода.

4. Рассчитать и построить на одном графике распределение потенциала напряженности поля в плоскости AВ.

5. Определить плотность поверхностных зарядов в точке М.

Таблица 10

Номер группы			, см	, кВ
м
AT 1		1,2	1,0	+10
		1,8	1,2	+20
		2,8	1,4	+30
		1,8	1,6	-10
АЭП 1		1,5	1,0	-20
		1,5	1,2	-30
ЭКТ 1		1,5	1,4	+10
			1,6	+20
ЭАГ 1		2,5	1,4	+30
			1,2	+20
АП 1			1,0	+10
				+5

Вариант 11

Две металлические трубы расположены в среде с проводимостью (рис. 21). Между трубами приложено напряжение (табл. 11).

Задание:

1. Рассчитать проводимость между трубами на единицу длины. Сравнить ее с проводимостью, вычисленной без учета влияния границы среды.

2. Рассчитать ток между трубами на единицу длины.

3. Построить график изменения потенциала вдоль направления X.

4. Определить плотность тока в точке М.

Таблица 11

Номер группы	, кВ			, см	, (Омсм)-1
м
AT 1		0,5	2,5	1.0
		0,8	1,0	1,2
		1,0	0,8	1,4
		2,5	0,5	1,6
АЭП 1		0,5	2,5	1,8
		0,8	1.0	2,0
ЭКТ 1		1,2	0,8	2,0
			2,5	1,8
ЭАГ 1		2,5	1,5	1,6
		1,8	0,8	1,4
АП 1		1,8	1,0	1,2
		1,0	1,2	1,0

Вариант 12

В табл. 12 заданы параметры высоковольтной линии, изображенной на рис. 22.

Задание:

1. Рассчитать частичные емкости.

2. Рассчитать рабочую емкость линии. Выяснить на сколько процентов рабочая емкость линии больше емкости 2-х проводной линии, имеющей те же геометрические размеры, но рассчитанной без учета влияния земли.

3. Определить заряд, приходящийся на единицу длины провода.

4. Построить график изменения потенциала вдоль оси АВ.

5. Рассчитать напряженность поля в точке М.

Таблица 12

Номер группы			, см	, кВ
м
AT 1		2,0	0,6
			0,8
			1,0
			1,2
АЭП 1			1,3
			1,4
ЭКТ 1			1,5
			1,6
ЭАГ 1			1,7
			1,8
АП 1			1,9
			2,0

Вариант 13

Двужильный кабель с металлической оболочкой, изображенный на рис. 23, имеет размеры, указанные в табл. 13. Между жилами кабеля приложено напряжение .

Задание:

1. Рассчитать проводимость на единицу длины между жилами кабеля. Полученный результат сравнить со значением проводимости между жилами кабеля без учета оболочки.

2. Рассчитать и построить график распределения напряженности электрического поля и потенциала в направлении X .

3. Найти мощность, теряемую в изоляции на единицу длины.

Таблица 13

Номер группы	, кВ				, (Ом×см)-1
мм
AT 1	0,5
			2,5
	1,5
			3,5
AЭП 1	2,5
			4,5
ЭКТ 1	3,5
			4,5
ЭАГ 1	3,5		6,0
			5,5
АП 1	2,5

Вариант 14

Две металлические трубы радиусом и наводятся в среде с проводимостью (рис. 24). Разность потенциалов между трубами , (табл. 14).

Задание:

1. Рассчитать ток между трубами на единицу длины.

2. Рассчитать и построить вектор напряженности электрического поля в т. А.

3. Рассчитать и построить график изменения потенциала и напряженности электрического поля вдоль оси X.

Таблица 14

Номер группы	, В				, (Ом×см)-1
см
AT 1			0,4	2,0
			0,5	2,0
			0,6	2,5
			0,7	3,0
АЭП 1			0,8	3,5
			0,9	4,0
ЭКТ 1			1,0	4,0
			1,2	4,0
ЭАГ 1			1,3	3,0
			1,4	3,0
АП 1			1,5	2,0
			1,6	2,0

Вариант 15

Две металлические трубы расположены в среде с проводимостью (рис. 25). Между трубами приложено напряжение (табл. 15).

Задание:

1. Рассчитать ток между трубами на единицу длины трубы.

2. Рассчитать и построить график распределения потенциалов и напряженности поля в земле у поверхности.

3. Рассчитать проводимость между трубами на единицу длины. Сравнить ее со значением проводимости, вычисленной без учета влияния границы среды.

Таблица 15

Номер группы	, В			, см	, (Ом×см)-1
м
AT 1		2,0	1,0		0,8
		2,0	0,8		0,6
		2,5	0,6
		2,4	0,4
АЭП 1		2,2	0,2
		1,2	0,4
ЭКТ 1		1,4	0,6
		1,6	0,8
ЭАГ 1		1,8	1,0
		2,0	1,2
АП 1		2,2	1,4
		2,4	1,6	1,2

Вариант 16