Электрическое поле диполя

Рассмотрим поле простейшей системы точечных зарядов. Простейшей системой точечных зарядов является электрический диполь. Электрическим диполем называется совокупность равных по величине, но противоположных по знаку двух точечных зарядов –q и +q, сдвинутых друг относительно друга на некоторое расстояние. Пусть Электрическое поле диполя - student2.ru – радиус-вектор, проведенный от отрицательного заряда к положительному. Вектор

Электрическое поле диполя - student2.ru

называется электрическим моментом диполя или дипольным моментом, а вектор Электрическое поле диполя - student2.ru – плечом диполя. Если длина Электрическое поле диполя - student2.ru пренебрежимо мала по сравнению с расстоянием от диполя до точки наблюдения, то диполь называется точечным.

Электрическое поле диполя - student2.ru

Вычислим электрическое поле электрического точечного диполя. Поскольку диполь точечный, то безразлично в пределах точности расчета от какой точки диполя отсчитывается расстояние r до точки наблюдения. Пусть точка наблюдения А лежит на продолжении оси диполя (рис. 1.13). В соответствии с принципом суперпозиции для вектора напряженности, напряженность электрического поля в этой точке будет равна

Электрическое поле диполя - student2.ru ,

при этом предполагалось, что Электрическое поле диполя - student2.ru , Электрическое поле диполя - student2.ru .

В векторной форме

 

Электрическое поле диполя - student2.ru .

Электрическое поле диполя - student2.ru

Допустим теперь, что точка наблюдения А лежит на перпендикуляре, восстановленном к оси диполя из его центра О (рис. 1.13), тогда

Электрическое поле диполя - student2.ru ,

где Электрическое поле диполя - student2.ru и Электрическое поле диполя - student2.ru – напряженности полей, возбуждаемых точечными зарядами –q и +q. Из рис 1.14 видно, что вектор Электрическое поле диполя - student2.ru антипараллелен вектору Электрическое поле диполя - student2.ru и его модуль для точечного диполя определится выражением

Электрическое поле диполя - student2.ru ,

здесь учтено, что при сделанных предположениях Электрическое поле диполя - student2.ru .

В векторной форме последнее выражение перепишется следующим образом

Электрическое поле диполя - student2.ru .

Не обязательно, чтобы перпендикуляр АО проходил через центр точечного диполя. В принятом приближении полученная формула остается верной и тогда, когда за точку О принята любая точка диполя.

Электрическое поле диполя - student2.ru

Общий случай сводится к разобранным частным случаям (рис. 1.15). Опустим из заряда +q перпендикуляр СD на линию наблюдения ВА. Поместим в точку D два точечных заряда +q и –q. Это не изменит поля. Но полученную совокупность четырех зарядов можно рассматривать как совокупность двух диполей с дипольными моментами Электрическое поле диполя - student2.ru и Электрическое поле диполя - student2.ru . Диполь Электрическое поле диполя - student2.ru мы можем заменить геометрической суммой диполей Электрическое поле диполя - student2.ru и Электрическое поле диполя - student2.ru . Применяя теперь к диполям Электрическое поле диполя - student2.ru и Электрическое поле диполя - student2.ru полученные ранее формулы для напряженности на продолжении оси диполя и на перпендикуляре, восстановленном к оси диполя, в соответствии с принципом суперпозиции получим:

Электрическое поле диполя - student2.ru .

Учитывая, что Электрическое поле диполя - student2.ru Электрическое поле диполя - student2.ru , получим:

Электрическое поле диполя - student2.ru Электрическое поле диполя - student2.ru ,

здесь использовано, что Электрическое поле диполя - student2.ru .

Таким образом, характерным для электрического поля диполя является то, что оно убывает во всех направлениях пропорционально Электрическое поле диполя - student2.ru , то есть быстрее, чем поле точечного заряда.

Электрическое поле диполя - student2.ru

Рассмотрим теперь силы, действующие на диполь в электрическом поле. В однородном поле заряды +q и –q окажутся под действием равных по величине и противоположных по направлению сил Электрическое поле диполя - student2.ru и Электрическое поле диполя - student2.ru (рис. 1.16). Момент этой пары сил будет:

Электрическое поле диполя - student2.ru .

Момент Электрическое поле диполя - student2.ru стремится повернуть ось диполя в положение равновесия, то есть в направлении вектора Электрическое поле диполя - student2.ru . Существует два положения равновесия диполя: когда диполь параллелен электрическому полю и антипараллелен ему. Первое положение будет устойчиво, а второе нет, так как в первом случае при малом отклонении диполя от положения равновесия возникнет момент пары сил, стремящийся вернуть его в исходное положение, во втором случае возникающий момент уводит диполь ещё дальше от положения равновесия.

Теорема Гаусса

Как было сказано выше, силовые линии условились проводить с такой густотой, чтобы количество линий, пронизывающих единицу поверхности, перпендикулярной к линиям площадки, было бы равно модулю вектора Электрическое поле диполя - student2.ru . Тогда по картине линий напряженности можно судить не только о направлении, но и величине вектора Электрическое поле диполя - student2.ru в различных точках пространства.

Рассмотрим силовые линии неподвижного положительного точечного заряда. Они представляют собой радиальные прямые, выходящие из заряда и заканчивающиеся на бесконечности. Проведем N таких линий. Тогда на расстоянии r от заряда число силовых линий, пересекающих единицу поверхности сферы радиуса r, будет равно Электрическое поле диполя - student2.ru . Эта величина пропорциональна напряженности поля точечного заряда на расстоянии r. Число N всегда можно выбрать таким, чтобы выполнялось равенство

Электрическое поле диполя - student2.ru ,

откуда Электрическое поле диполя - student2.ru . Поскольку силовые линии непрерывны, то такое же число силовых линий пересекает замкнутую поверхность любой формы, охватывающую заряд q. В зависимости от знака заряда силовые линии либо входят в эту замкнутую поверхность, либо выходят наружу. Если число выходящих линий считать положительным, а входящих – отрицательным, то можно опустить знак модуля и записать:

  Электрическое поле диполя - student2.ru . (1.4)

Поток вектора напряженности.Поместим в электрическое поле элементарную площадку, имеющую площадь Электрическое поле диполя - student2.ru . Площадка должна быть настолько малой, чтобы напряженность электрического поля во всех ее точках можно было считать одинаковой. Проведем нормаль Электрическое поле диполя - student2.ru к площадке (рис. 1.17). Направление этой нормали выбирается произвольно. Нормаль Электрическое поле диполя - student2.ru составляет угол Электрическое поле диполя - student2.ru с вектором Электрическое поле диполя - student2.ru . Потоком вектора напряженности электрического поля Электрическое поле диполя - student2.ru через выделенную поверхность называется произведение площади поверхности Электрическое поле диполя - student2.ru на проекцию вектора напряженности электрического поля на нормаль к площадке:

Электрическое поле диполя - student2.ru ,

Электрическое поле диполя - student2.ru

где Электрическое поле диполя - student2.ru – проекция вектора Электрическое поле диполя - student2.ru на нормаль Электрическое поле диполя - student2.ru к площадке Электрическое поле диполя - student2.ru .

Поскольку число силовых линий, пронизывающих единичную площадку, равно модулю вектора напряженности в окрестности выделенной площадки, то поток вектора напряженности через поверхность Электрическое поле диполя - student2.ru пропорционален числу силовых линий, пересекающих эту поверхность. Поэтому, в общем случае, наглядно поток вектора напряженности поля через площадку Электрическое поле диполя - student2.ru можно интерпретировать как величину, равную числу силовых линий, пронизывающих эту площадку:

Электрическое поле диполя - student2.ru . (1.5)  

Заметим, что выбор направления нормали Электрическое поле диполя - student2.ru условен, ее можно направить и в другую сторону. Следовательно, поток – величина алгебраическая: знак потока зависит не только от конфигурации поля, но и от взаимной ориентации вектора нормали и вектора напряженности. Если эти два вектора образуют острый угол, поток положителен, если тупой – отрицателен. В случае замкнутой поверхности принято нормаль Электрическое поле диполя - student2.ru брать наружу области, охватываемой этой поверхностью, то есть выбирать внешнюю нормаль.

Если поле неоднородно и поверхность произвольна, то поток определяется так. Всю поверхность надо разбить на малые элементы площадью Электрическое поле диполя - student2.ru , вычислить потоки напряженности через каждый из этих элементов, а потом просуммировать потоки через все элементы:

Электрическое поле диполя - student2.ru .

Таким образом, напряженность поля характеризует электрическое поле в точке пространства. Поток напряженности зависит не от значения напряженности поля в данной точке, а от распределения поля по поверхности той или иной площади.

Силовые линии электрического поля могут начинаться только на положительных зарядах и заканчиваться на отрицательных. Они не могут начинаться или обрываться в пространстве. Поэтому, если внутри некоторого замкнутого объема нет электрического заряда, то полное число линий, входящих в данный объем и выходящих из него, должно равняться нулю. Если из объема выходит больше линий, чем входит в него, то внутри объема находится положительный заряд; если входит линий больше, чем выходит, то внутри должен быть отрицательный заряд. При равенстве полного заряда внутри объема нулю или при отсутствии в нем электрического заряда линии поля пронизывают его насквозь, и полный поток равен нулю.

Эти простые соображения не зависят от того, как электрический заряд распределен внутри объема. Он может находиться в центре объема или вблизи поверхности, ограничивающей объем. В объеме может находиться несколько положительных и отрицательных зарядов, распределенных внутри объема любым способом. Только суммарный заряд определяет полное число входящих или выходящих линий напряженности.

Как видно из (1.4) и (1.5), поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность, охватывающую заряд q, равен Электрическое поле диполя - student2.ru . Если внутри поверхности находится n зарядов, то, согласно принципу суперпозиции полей, полный поток будет складываться из потоков напряженностей полей всех зарядов и будет равен Электрическое поле диполя - student2.ru , где под Электрическое поле диполя - student2.ru в этом случае подразумевается алгебраическая сумма всех зарядов, охватываемых замкнутой поверхностью.

Теорема Гаусса. Гаусс первым обнаружил тот простой факт, что поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность должен быть связан с полным зарядом, находящимся внутри этого объема:

Наши рекомендации