Уравнение баланса мощностей электрической цепи

Правильность расчета электрической цепи проверяется составлением баланса мощностей.

В электрической цепи всегда сохраняется баланс мощностей: мощность, выработанная источником питания, равна мощности, потребляемой приемниками электрической энергии. Это положение вытекает из закона сохранения энергии.

Рист = Рпр.

Мощность источников электрической энергии:

Уравнение баланса мощностей электрической цепи - student2.ru

Мощность, потребляемая приемниками электрической энергии:

Уравнение баланса мощностей электрической цепи - student2.ru

Составим для электрической схемы рис. 3.10 баланс мощностей

 
  Уравнение баланса мощностей электрической цепи - student2.ru

Рис.3.10. Электрическая схема к состававлению баланса мощностей

E1I1 - E1I3 + E1I4 = (R1 + R2)I12 + R3I32 + R4I42 + R5I52 + R6I62 + R7I72.

При составлении баланса мощностей следует обратить внимание на направление тока и ЭДС источника питания: если направления тока и ЭДС совпадают, то их произведение учитывается со знаком «+» (источник питания), а если не совпадают - со знаком «-» (фактически, это не источник питания, а приемник электрической энергии – аккумуляторная батарея, работающая в режиме заряда и др.).

Потенциальная диаграмма

Потенциальная диаграмма – график распределения потенциала в цепи в функции сопротивления участков цепи φ = f(R).

Построим потенциальную диаграмму для внешнего контура 1-2-3-4–5‑6-1 электрической схемы (рис.3.11).

 
  Уравнение баланса мощностей электрической цепи - student2.ru

Рис. 3.11. Электрическая схема к построению потенциальной диаграммы

Примем потенциал φ точки 1 равным 0. Тогда φ1 = 0; φ2 = φ1 + E1;

φ3 = φ2 - R1I1; φ4 = φ3 - R2I1; φ5 = φ4 - R4I4; φ6 = φ5 + E3;

φ1 = φ6 + R7I7 = 0

Строим потенциальную диаграмму.

Уравнение баланса мощностей электрической цепи - student2.ru

Рис.3.12. Потенциальная диаграмма

ЛЕКЦИЯ № 4. Однофазные цепи синусоидального тока

Основные понятия и определения

В электрических цепях электро-, радио- и других установках широко применяются периодические ЭДС, напряжения и токи (рис.4.1).Периодические величины изменяются во времени по значению и направлению. Эти изменения повторяются через равные промежутки времени Т, называемые периодом.

           
    Уравнение баланса мощностей электрической цепи - student2.ru   Уравнение баланса мощностей электрической цепи - student2.ru
  Уравнение баланса мощностей электрической цепи - student2.ru
 




Уравнение баланса мощностей электрической цепи - student2.ru Уравнение баланса мощностей электрической цепи - student2.ru a б в

Уравнение баланса мощностей электрической цепи - student2.ru Уравнение баланса мощностей электрической цепи - student2.ru Уравнение баланса мощностей электрической цепи - student2.ru

e
e

       
    Уравнение баланса мощностей электрической цепи - student2.ru
  Уравнение баланса мощностей электрической цепи - student2.ru
 

г д

Рис. 4.1. Переменные периодические ЭДС е различной формы:

а – прямоугольной; б – трапецеидальной; в – треугольной;

г – произвольной; д – синусоидальной

На практике все источники энергии переменного тока (генераторы электростанций) создают ЭДС, изменяющуюся по синусоидальному закону (рис.4.1. д).

Основное преимущество такого закона изменения ЭДС и напряжения заключается в том, что в процессе передачи электроэнергии на большие расстояния (сотни и даже тысячи километров) от источника до потребителя при многократной трансформации напряжения временная зависимость напряжения остается неизменной, т. е. синусоидальной.

Электрические цепи, в которых действуют синусоидальные ЭДС и токи, называются электрическими цепями синусоидального тока.К ним относятся понятия схемы цепи, контура, ветви и узла, которые были даны для цепей постоянного тока.

В линейных электрических цепях синусоидального тока ЭДС, напряжения и токи изменяются во времени по синусоидальному закону, например,

e = Emахsin(wt ± Ye),

u = Umах sin(wt ± Yu),

i = Imах sin(wt ± Yi),

где e, u, i - мгновенные значения синусоидальных величинв рассматриваемый момент времени t; Emах, Umах, Imах - максимальные значения синусоидальных величин, так называемые амплитуды;

Фаза (фазовый угол) - аргумент синусоидальной величины, определяет мгновенное значение синусоидальной величины при заданной амплитуде с течением времени:

(wt ± Y),

где w- угловаячастота синусоидального тока, показывающая число радианов, на которое увеличивается текущая фаза за 1 секунду. За время одного периода Т фаза синусоидальноготока изменится на2π=wТ, т. е.

w = 2π /T = 2πƒ,

где ƒ – частота – величина обратная периоду 1/Т,т. е. число полных изменений синусоидальной величины за 1 с, Гц.

Уравнение баланса мощностей электрической цепи - student2.ru = ψui,,

где Уравнение баланса мощностей электрической цепи - student2.ru - сдвиг фаз - разность начальных фаз синусоид напряжения и тока; Y - начальная фазав момент времени t = 0; ψu -начальная фаза напряжения, ψi - начальная фаза тока.

Наглядное представление об изменениях синусоидальных e, u, i дают временные диаграммы e = f(ωt), u = f(ωt), i = f(ωt) (рис.4.2).

На временных диаграммахначальная фаза – это угол между началом координат и началом положительной полуволны.Положительная начальная фаза откладывается влево от начала координат, а отрицательная - вправо. Знак начальной фазы определяется знаком мгновенного значения при t = 0 (рис.4.2).

u = Umахsin(ωt + ψu),,

i = Imахsin(ωt - ψi).

Уравнение баланса мощностей электрической цепи - student2.ru

Рис.4.2. Синусоидальные напряжения и ток, сдвинутые по фазе наугол φ

Во всех энергосистемах в качестве стандартной промышленной частоты принята частота f = 50 Гц, а в Японии и США f = 60 Гц. Это обеспечивает получение оптимальных частот вращения электродвигателей переменного тока и отсутствие заметного для глаза мигания источников света.

Однако находят применение и другие частоты: 175–200 Гц для работы электродвигателей привода средств автоматики и электроинструмента; для горячей штамповки и ковки применяют частоту от 500 до 10 000 Гц, в установках поверхностного нагрева металла от 2000 до 106 Гц; в радиотехнических устройствах от 105 до 3 ·1010 Гц; в металлургической промышленности от 5 до 10 Гц.

Синусоидальный ток используется так же, как постоянный ток – для совершения работы, в процессе которой электрическая энергия преобразуется в другие виды энергии.

Для количественной оценки синусоидального тока используют значение эквивалентного ему постоянного тока - эквивалентное значению синусоидального тока по совершаемой работе. Такое значение называется действующим.

Действующим значением синусоидального тока называют такое значение постоянного тока, при прохождении которого по одному и тому же сопротивлению R завремя одного периода Т выделяется столько же теплоты, сколько при прохождении синусоидального тока.

Количество теплоты Q, выделяемое в резисторе R за время Т при синусоидальном токе:

Q~ = і2Rdt,

а при постоянном токе

Q_ = RI2T.

Согласно определению, Q~ = Q_, тогда действующее значение тока I равно

Уравнение баланса мощностей электрической цепи - student2.ru

Таким образом, действующее значение синусоидального тока является его среднеквадратичным значением.

Для определения соотношения между максимальным и действующим значениями синусоидального тока, вычислим интеграл :

Уравнение баланса мощностей электрической цепи - student2.ru

так как Уравнение баланса мощностей электрической цепи - student2.ru получим

Уравнение баланса мощностей электрической цепи - student2.ru

Подставляя это выражение в формулу , получаем

Уравнение баланса мощностей электрической цепи - student2.ru Уравнение баланса мощностей электрической цепи - student2.ru ; Уравнение баланса мощностей электрической цепи - student2.ru .

Электрические приборы, работающие в цепях синусоидального тока, используют принцип теплового, или электродинамического, эффекта. Поэтому они показывают действующее значение измеряемых величин.

Приборы магнитоэлектрическойсистемы показывают среднеарифметическое значение синусоидального тока, которое называют средним значением. За среднее значение синусоидального тока принимают такое значение постоянного тока, при котором за половину периода переносится такой же электрический заряд, что и при синусоидальном токе.

Согласно этому

Уравнение баланса мощностей электрической цепи - student2.ru

где Iср– среднее значение тока.

Для синусоидального тока Iср= Imaxsinωt, тогда

Уравнение баланса мощностей электрической цепи - student2.ru

Таким образом,

Iср = 2Imax/ π = 0,637 Imax

Аналогично

Еср =2Еmах/π=0,637Еmах,

Uср =2Umах/π = 0,637Umах.

Наши рекомендации