Непериодические сигналы. Спектральная плотность

При анализе непериодических (импульсных) сигналов их формально заменяют периодическими сигналами с бесконечно большим интервалом (периодом) следования Непериодические сигналы. Спектральная плотность - student2.ru .

Положим, что некоторая заданная функция Непериодические сигналы. Спектральная плотность - student2.ru аналитически описывает одиночный импульсный (иногда называют финитным) сигнал конечной длительности (рисунок 1.5, а). Мысленно дополнив его такими же импульсными сигналами, следующими с некоторым интервалом Непериодические сигналы. Спектральная плотность - student2.ru (рисунок 1.5, б), получим периодическую последовательность аналогичных импульсов Непериодические сигналы. Спектральная плотность - student2.ru .

 
  Непериодические сигналы. Спектральная плотность - student2.ru

а)

б)

Рисунок 1.5 − Непериодические сигналы:

а) − один импульс; б) − условное периодическое представление

Для того чтобы вне искусственно введенного интервала Непериодические сигналы. Спектральная плотность - student2.ru исходный сигнал был равен нулю, необходимо увеличить период повторения импульсов. При увеличении периода и Непериодические сигналы. Спектральная плотность - student2.ru все импульсы уйдут вправо и влево в бесконечность и периодическая последовательность Непериодические сигналы. Спектральная плотность - student2.ru вновь станет одиночным импульсом Непериодические сигналы. Спектральная плотность - student2.ru .

Периодическая функция для этого случая запишется так

Непериодические сигналы. Спектральная плотность - student2.ru . (1.14)

Так как период следования Непериодические сигналы. Спектральная плотность - student2.ru , то

Непериодические сигналы. Спектральная плотность - student2.ru . (1.15)

В предельном случае, когда период Непериодические сигналы. Спектральная плотность - student2.ru , равные расстояния между спектральными линиями уменьшаться настолько, что спектр станет сплошным, а амплитуды отдельных спектральных составляющих окажутся бесконечно малыми. При этом частота следования импульсов Непериодические сигналы. Спектральная плотность - student2.ru и превращается в Непериодические сигналы. Спектральная плотность - student2.ru , дискретная переменная Непериодические сигналы. Спектральная плотность - student2.ru − в мгновенную (текущую) частоту Непериодические сигналы. Спектральная плотность - student2.ru , а сумма трансформируется в интеграл. Периодическая последовательность импульсов Непериодические сигналы. Спектральная плотность - student2.ru станет одиночным импульсом Непериодические сигналы. Спектральная плотность - student2.ru и выражение (1.15) запишется в виде

Непериодические сигналы. Спектральная плотность - student2.ru . (1.16)

Здесь интеграл в скобках является комплексной функцией частоты. Обозначив его

Непериодические сигналы. Спектральная плотность - student2.ru , (1.17)

получим

Непериодические сигналы. Спектральная плотность - student2.ru . (1.18)

Соотношения (1.17) и (1.18) называют соответственно прямым и обратным преобразованиями Фурье. Они связывают между собой вещественную функцию времени (сигнал) Непериодические сигналы. Спектральная плотность - student2.ru и комплексную функцию частоты Непериодические сигналы. Спектральная плотность - student2.ru .

Таким образом, интеграл Фурье (1.17) содержит непрерывную (сплошную) последовательность спектральных составляющих сигнала с бесконечно малыми амплитудами. Функцию Непериодические сигналы. Спектральная плотность - student2.ru называют спектральной плотностью. Она характеризует интенсивность сплошного распределения амплитуд гармоник непериодического сигнала вдоль оси частот Непериодические сигналы. Спектральная плотность - student2.ru . В этом основное отличие спектральной плотности непериодического сигнала от дискретного спектра периодического сигнала, в котором каждая гармоническая составляющая имеет вполне определенное значение частоты и отстоит от соседней на величину Непериодические сигналы. Спектральная плотность - student2.ru . Дискретный спектр имеет размерность амплитуды ( Непериодические сигналы. Спектральная плотность - student2.ru или Непериодические сигналы. Спектральная плотность - student2.ru ). Спектральная плотность имеет размерность Непериодические сигналы. Спектральная плотность - student2.ru или Непериодические сигналы. Спектральная плотность - student2.ru .

Определим спектральную плотность прямоугольного импульса. Пусть имеется прямоугольный импульс с амплитудой Непериодические сигналы. Спектральная плотность - student2.ru и длительностью Непериодические сигналы. Спектральная плотность - student2.ru (рисунок 1.6, а). Так как анализируемый сигнал расположен на временном интервале Непериодические сигналы. Спектральная плотность - student2.ru , то, в соответствии с (1.17), получим

Непериодические сигналы. Спектральная плотность - student2.ru

(1.19)

Непериодические сигналы. Спектральная плотность - student2.ru На рисунке 1.6, б) показан модуль спектральной плотности прямоугольного импульса напряжения.

а) б)

Рисунок 1.6 − Прямоугольный импульс:

а) − временная диаграмма; б) − спектральная плотность

Сравнив выражения для спектральной плотности одиночного прямоугольного импульса (1.19) и спектра периодической последовательности таких же импульсов (1.9) можно сделать заключение, что модуль спектральной плотности и огибающая гармоник дискретного спектра совпадают по форме и отличаются лишь масштабом по оси амплитуд.

Наши рекомендации