Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии

При расчете электрических цепей в большинстве случаев известны параметры источников ЭДС, сопротивления элементов электрической цепи. Задача расчета электрической цепи сводится к определению токов в ветвях. По найденным токам можно рассчитать напряжения на элементах цепи, мощность отдельных элементов и электрической цепи в целом, мощность источников, сечения проводников.

Для расчета электрических цепей с одним источником энергии применяется метод эквивалентных преобразований, заключающийся в постепенном преобразовании и замене последовательно и параллельно соединенных элементов эквивалентными. Всю группу элементов цепи заменяют одним эквивалентным. Преобразования начинают в ветвях, наиболее удалённых от источника. Затем в преобразованной (предельно простой) цепи по закону Ома определяют ток. Полученные в процессе преобразования расчетные схемы позволяют определить токи во всех остальных ветвях.

Пример 1: Рассчитать эквивалентное сопротивление цепи Rэкв и, токи в каждом резисторе.

Дано: R1 = 3 Ом; R2 = 2 Ом; R3 = 5 Ом; R4 = 10 Ом; E = 50 В.

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru
Рис. 2.9 - Пример эквивалентных преобразований:
а) схема электрической цепи до преобразования;
б) расчетная схема после первого преобразования;
в) - расчетная схема после второго (окончательного) преобразования

Определить токи в ветвях схемы, представленной на рис. 2.9, а.

Выбираем направления токов в ветвях. Преобразуем параллельно соединенные резисторы R2 и R3, заменяя их эквивалентным элементом R2, 3

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru

Расчетная схема после первого преобразования показана на рис. 2.9, б.

Проводим второе преобразование. Для этого последовательно соединенные резисторы R1, R2, 3, R4 заменяем одним эквивалентным RЭКВ.

RЭКВ = R1 + R2, 3 + R4 = 3 + 1,43 + 10 = 14,43 Ом.

Теперь исходная схема сведена к простейшей, показанной на рис. 2.9, в, в которой

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru

Для определения токов I2 и I3, необходимо определить напряжение Uаб, рис. 2.9, а, которое рассчитываем по рис. 2.9, б

Uаб = R2, 3·I1 = 1,43·3,47 = 4,96 В.

Возвращаясь к схеме рис 2.9, а, получим

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru

Для проверки правильности расчета токов составляем баланс мощности. Мощность, вырабатываемая всеми источниками энергии в цепи, должна быть равна мощности, потребляемой всеми приёмниками электрической энергии (нагрузкой). Относительная погрешность расчета не должна превышать одного процента.

Мощность, вырабатываемая источником ЭДС

РИ = Е·I1 = 50·3,47 = 173,5 Вт.

Мощность, потребляемая нагрузкой

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru

Погрешность баланса мощности

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru

Если баланс сходится с допустимой погрешностью, то расчет токов выполнен верно.

Пример выполнения задачи 1.

Для электрической цепи постоянного тока, приведенной на рис. 4:

1. Рассчитать эквивалентное сопротивление цепи.

2. Рассчитать ток в каждом резисторе.

3. Проверить выполнение первого закона Кирхгофа во всех узлах схемы и второго Закона Кирхгофа для одного из контуров.

4. Определить мощности, рассеиваемые на резисторах схемы.

5. Проверить выполнение баланса мощностей

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru

Рис. 4. Электрическая цепь постоянного тока

1. Расчет эквивалентного сопротивления цепи проводим методом последовательных эквивалентных преобразований..

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru

а) б) в)

Рис. 5. "Этапы эквивалентного преобразования электрической цепи

Эквивалентное сопротивление ветвей R3 и R4 соединенных параллельно определяем по формуле:

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru ,

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru .

Эквивалентное сопротивление элементов R2, R34 и R5, соединенных последовательно находим по формуле:

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru ,

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru .

Эквивалентное сопротивление всей цепи (R2345 и R1 -соединены параллельно):

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru ,

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru .

2. Рассчитаем токи во всех ветвях.

Ток, потребляемый цепью от источника питания:

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru ,

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru .

Ток в ветви R1:

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru

Ток в ветви R2345:

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru ,

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru .

Определяем потенциал узла «б»:

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru ,

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru .

Определяем потенциал узла «в»:

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru .

Очевидно, что I5 = I2, откуда

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru .

Определяем разность потенциалов между узлами «б» и «в»:

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru ,

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru .

Определяем токи в ветвях R3 и R4:

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru ,

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru ;

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru ,

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru .

3. Проверяем выполнение первого закона Кирхгофа для токов в узлах.

Для узла «а»: Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru ,

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru .

Для узла «б»: Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru ,

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru .

Для узла «в»: Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru ,

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru .

Проверяем выполнение второго закона Кирхгофа для контура R5, R3, R2, R1:

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru ,

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru ,

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru .

4. Определяем мощности, рассеиваемые на резисторах:

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru ,

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru ;

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru ,

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru ;

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru ,

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru ;

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru ,

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru ;

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru ,

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru .

5. Проверяем выполнение баланса мощностей.

Мощность, потребляемая цепью от источника питания:

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru ,

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru .

Составляем уравнение для проверки баланса мощностей:

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru ,

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru ,

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru .

Баланс мощностей выполняется.

Методические указания к выполнению задания 2.

Методы расчета цепей постоянного тока

Под расчетом цепи, в общем случае, понимают нахождение токов во всех ветвях схемы.

Основные методы расчета:

1. Метод токов ветвей или метод непосредственного применения законов Кирхгофа..

2.Метод контурных токов.

3. Метод узловых напряжений.

4. Метод наложения.

5. Метод эквивалентных преобразований

Метод токов ветвей

• В общем случае токи сложной электрической цепи могут быть определены в результате совместного решения уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа. Для однозначного нахождения всех токов необходимо составить в уравнений, где в- число ветвей схемы (без источников тока).

• Последовательность расчета следующая:

1. Проводят топологический анализ схемы.

1.1. обозначают токи во всех ветвях (I1, I2, …,Iв), произвольно выбирают их положительное направление и показывают на схеме стрелками. Число токов -в.

1.2. подсчитывают общее число узлов у и определяют число независимых узлов Nу=у-1 и показывают их на схеме;

1.3. подсчитывают число независимых контуров Nk = в-у+1, и показывают их на схеме дугой.

2. По первому закону Кирхгофа для независимых узлов и по второму закону Кирхгофа для независимых контуров относительно токов ветвей записывают уравнения. После приведения подобных членов они сводятся к системе линейных алгебраических уравнений (ЛАУ)

 
  Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru

где xi =Ii– искомые токи ветвей; aji – постоянные коэффициенты, зависящие от параметров пассивных элементов схемы; вi – постоянные величины, зависящие от параметров активных элементов схемы.

3. Решая систему из в уравнений относительно токов, по методу Крамера находят токи во всех ветвях схемы:

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru

где D – главный определитель системы; Di – определитель, получается из главного D путем замены i-го столбца на столбец свободных членов вi.

Если значения некоторых токов отрицательные, то действительные направления их будут противоположны первоначально выбранным направлениям. I1

Пример 1. Для электрической цепи рис. 1.1 n = 2, m = 3, и расчет токов цепи осуществляется путем решения следующей системы уравнений

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru

Пример 2 . Методом непосредственного применения законов Кирхгофа рассчитать токи в схеме на рис.

Число ветвей обозначим m, а число узлов n. Произвольно выбираем положительные направления токов в ветвях и направления обхода контуров. Поскольку в каждой ветви протекает свой ток, то число токов, которое следует определить, а следовательно, и число уравнений, которое нужно составить, равно m. По первому закону Кирхгофа составляем n-1 уравнений. Недостающие m-(n-1) уравнений следует составить по второму закону Кирхгофа для взаимно независимых контуров.

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru
Рис. 2.20. Схема замещения сложной электрической
цепи с несколькими источниками энергии:
I, II, III – номера контуров

1. Проводим топологический анализ.

Она содержит пять ветвей и три узла, m = 5, n = 3. Составляем два уравнения по первому закону Кирхгофу, т. к. n – 1 = 2 (например, для узлов а и б).

2. Составляем уравнения по певому и второму законам Кирхгофа

Для узла "а" - I1 - I2 + I4 = 0.

Для узла "б" - I1 + I2 - I3 - I5 = 0.

Остальные m - (n - 1) = 3 уравнения составляем по второму закону Кирхгофа.

Для контура I - R1·I1 - R2·I2 = - E1 + E2.

Для контура II - R2·I2 + R3·I3 + R4·I4 = - E2 - E3.

Для контура III - - R3·I3 + R5·I5 = E3.

Решив систему, состоящую из пяти уравнений, находим пять неизвестных токов. Если какие-либо значения токов оказались отрицательными, то это означает, что действительные направления этих токов противоположны первоначально выбранным.

При расчётах сложных цепей с использованием ЭВМ удобна матричная форма записи. Уравнения, составленные по законам Кирхгофа, запишем в виде

- I1 - I2 + 0 + I4 + 0 = 0

I1 + I2 - I3 + 0 - I5 = 0

R1·I1 - R2·I2 + 0 + 0 + 0 = - E1 + E2

0 + R2·I2 + R3·I3 + R4·I4 + 0 = - E2 - E3

0 + 0 + - R3·I3 + 0 + R5·I5 = E3.

В матричной форме

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru

или [R]·[I] = [Е],

где [R] – квадратная (5 х 5) матрица, элементами которой являются коэффициенты при неизвестных токах в исходных уравнениях;

[I] – матрица - столбец неизвестных токов;

[E] – матрица - столбец, элементами которой могут быть алгебраическая сумма ЭДС.

Решение матричного уравнения ищут в виде

[I] = [R]-1·[E],

где [R]-1 – матрица, обратная матрице [R].

Рассмотренный метод расчета неудобен, если в цепи имеется большое количество узлов и контуров, поскольку потребуется решать громоздкую систему уравнений. В таких случаях рекомендуется применять метод контурных токов, позволяющий значительно сократить число расчетных уравнений 2.

Метод контурных токов

Метод основан на 2-м законе Кирхгофа. При его использовании в составе анализируемой схемы выбирают независимые контуры и предполагают, что в каждом из контуров течет свой контурный ток. Для каждого из независимых контуров составляют уравнение по 2-му закону Кирхгофа и их решают. Токи в ветвях находят как алгебраическую сумму контурных токов, протекающих по данной ветви.

Все источники сигналов, представленные источниками тока, заменяют источниками ЭДС (рис. 4.29).

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru Эта схема эквивалентна, если

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru а) E = IZiI;

б) ZiII = ZiI.

1) Топологический анализ схемы.

а) определяют число ветвей b.

б) определяют число узлов у.

в) подсчитывают число независимых контуров Nk = b – y + 1.

Все независимые контура показывают дугой со стрелкой на них, которая показывает положительное направление обхода контура.

Все контуры нумеруют и каждому контуру присваивают свой контурный ток: Ik1; Ik2; IkNk.

За положительное направление контурного тока принимают положительное направление обхода контура.

2) По второму закону Кирхгофа относительно контурных токов записывают уравнения, которые после приведения подобных членов образуют систему линейных уравнений Nk = Nk порядка:

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru

где Iki – контурный ток i-го контура;

Zii – собственное сопротивление i-го контура и равно алгебраической сумме сопротивлений, входящих в i-й контур;

Zji – сопротивление смежных ветвей между i-м и j-м контурами. Оно представляет собой алгебраическую сумму, причем ее члены берутся со знаком «+», если контурные токи направлены одинаково, и со знаком «–», если они направлены встречно;

Eki – контурная ЭДС i-ого контура. Она равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в i-й контур. Контурная ЭДС Eki берется со знаком «+», когда направление источника ЭДС и направление тока совпадают, и со знаком «–», если они направлены встречно.

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru 3) По правилу Крамера находят контурные токи Iki= Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru .

4) Токи в ветвях находят как алгебраическую сумму контурных токов, протекающих через данную ветвь. В алгебраической сумме контурные токи берутся со знаком «+» , если ток ветви и совпадает с контурным током и «–» если не совпадает.

Если токи ветви оказались положительными, то выбранное направление тока совпадает с истинным и наоборот.

Пример. Дана комплексная схема замещения электрической цепи (рис. 4.30). Определить токи во всех ветвях.

1. Проводим топологический анализ

а) b = 6; б) y = 4; в) Nk = 6 – 4 + 1=3.

2) Составим систему уравнений по методу МКТ

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru где: Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru E11= E1; E22 = 0; E33 = 0.

3) По методу Крамера находим контурные токи Iki = Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru .

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru 4) Находим токи в ветвях: I1 = Ik1; I2 =
= Ik1 – Ik2; I3 = Ik1 – Ik3; I4 = –Ik2 + Ik3; I5 = Ik2; I6 = Ik3.

Пример 2. Пример расчета по заданию №2

На рис. 1 приведена исходная схема замещения цепи постоянного тока, параметры которой заданы

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru

Рис. 1.

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru

1. Выполнение первого пункта задания [1, 2, 5, 6].

1.1. Проводим эквивалентные преобразования с целью упрощения расчетов. Объединяем последовательно соединенные Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru -элементы (рис. 2)

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru

1.2. Произвольно задаем положительные направления токов в ветвях схемы (рис.2).

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru

Рис. 2.

1.3. Составляем часть уравнений расчетной системы, используя только первый закон Кирхгофа. Выбираем Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru узлов на схеме (данная схема содержит Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru узла, которые отмечены арабскими цифрами) и для каждого из них составляем уравнение по первому закону Кирхгофа

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru

1.4. Всего необходимо составить Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru уравнений в расчетной системе ( Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru - число неизвестных токов, равное числу ветвей на схеме). Поэтому число уравнений, которое необходимо составить, используя второй закон Кирхгофа, равно Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru (для данной схемы Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru и Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru ).

1.4.1. Выбираем Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru независимых контуров на схеме, в каждом из них произвольно задаем направление обхода контура (отмечено круглыми стрелками на рис.2).

1.4.2. Для каждого из выбранных контуров составляем уравнение, используя второй закон Кирхгофа, а также закон Ома ( Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru )

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru

1.5. Полученные уравнения объединяем в систему, которую упорядочиваем

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru

и представляем в матричной форме записи, подставив численные значения параметров схемы

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru .

Первый пункт задания выполнен.

2. Выполнение второго пункта задания [1, 2, 5, 6].

2.1. Используя эквивалентно преобразованную схему (рис.2), произвольно задаем положительное направление токов в каждой ветви схемы (рис.3) (в данном примере они оставлены без изменения).

2.2. Выбираем Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru независимых контуров на схеме, в каждом из них произвольно задаем направление контурного тока Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru (отмечено круглыми стрелками на рис.3).

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru

Рис. 3.

2.3. Определяем составляющие системы контурных уравнений:

·собственные сопротивления контуров

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru ; Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru ; Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru ;

·общие сопротивления между контурами

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru Ом; Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru Ом; Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru Ом;

·контурные ЭДС, действующие в выбранных контурах

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru В.

Знаки слагаемых при определении контурных ЭДС определяются совпадением (+) или несовпадением (–) положительного направления ЭДС источника, входящего в рассматриваемый контур, с направлением контурного тока этого же контура.

2.4. Составляем систему контурных уравнений. При этом используем для каждого контура второй закон Кирхгофа и принцип наложения (суперпозиции)

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru

На первом месте в левой части уравнений стоят составляющие полного напряжения в контуре, представляющие собой частичное напряжение, вызванное протеканием в рассматриваемом контуре собственного контурного тока. Знак этих слагаемых всегда положителен (+) (условно это можно обосновать тем, что контурный ток рассматриваемого контура «сам с собой всегда совпадает»). Остальные слагаемые представляют собой частичные напряжения, вызванные протеканием контурных токов смежных контуров на общих ветвях с рассматриваемым контуром. Знак этих слагаемых определяется совпадением (+) или несовпадением (–) контурных токов смежных контуров на их общих ветвях.

2.5. Полученную систему упорядочиваем

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru

и представляем в матричной форме записи, подставив численные значения составляющих системы контурных уравнений

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru .

2.6. Решаем полученную систему контурных уравнений, используя правило Крамера [1]:

2.6.1. Вычисляем главный определитель системы, разворачивая квадратную матрицу контурных сопротивлений по первой строке (следует заметить, что величина определителя не зависит от того, по какой строке или столбцу его разворачивают)

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru

2.6.2. Вычисляем дополнительные определители системы, последовательно заменяя столбцы матрицы контурных сопротивлений матрицей-столбцом контурных ЭДС. Каждый дополнительный определитель рассчитываем, разворачивая его по первой строке аналогичным образом

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru ;

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru ;

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru ;

2.6.3. Определяем контурные токи

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru ; Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru ; Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru .

2.7. Используя рассчитанные контурные токи, определяем реальные токи в ветвях схемы. Руководствуемся правилом: реальные токи в независимых ветвях схемы (принадлежащих только одному контуру) определяются только контурным током рассматриваемого контура

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru .

Реальные токи в общих ветвях между смежными контурами определяются по принципу наложения: алгебраической суммой смежных контурных токов. При этом знак каждого контурного тока определяется совпадением (+) или несовпадением (–) его направления с заданным положительным направлением реального тока в рассматриваемой ветви.

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru .

Второй пункт задания выполнен.

3. Выполнение третьего пункта задания [1, 2, 5, 6].

Рассматриваемая схема замещения содержит четыре узла, поэтому к заданной схеме метод двух узлов непосредственно не применим.

3.1. Используя эквивалентное преобразование участка схемы Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru , соединенного по схеме «треугольник», в участок Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru , соединенный по схеме «звезда» (отмечен на рис. 4 пунктиром), приводим начальную схему к схеме, содержащей два узла (рис.5).

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru

Рис. 4. Рис. 5.

При этом Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru .

Эквивалентно объединяя последовательно соединенные Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru -элементы в каждой ветви, получаем исходную схему для расчета методом двух узлов (рис. 6).

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru

Рис. 6.

При этом

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru

3.2. Произвольно задаем положительное направление токов в ветвях схемы и положительное направление узлового напряжения Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru (рис. 6).

3.3. Рассчитываем проводимости ветвей схемы

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru .

3.4. Используя основную формулу метода, определяем узловое напряжение Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru :

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru .

Знак слагаемых числителя определяется несовпадением (+) или совпадением (–) положительного направления Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru и положительного направления ЭДС рассматриваемой ветви.

3.5. Рассчитываем неизвестные токи в ветвях, используя обобщенный закон Ома

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru

Проанализируем результаты расчета. На рис. 5 в каждой ветви источник ЭДС и Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru -элементы соединены последовательно. Поэтому токи в этих ветвях равны рассчитанным. Однако участки схемы в окрестности источников не были охвачены преобразованием. Следовательно, в соответствии с условием эквивалентности преобразования участков схем величина этих токов должна остаться такой же, как и до преобразования. Сравниваем по модулю значения токов, рассчитанных настоящим методом и методом контурных токов

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru

Видно, что значения токов практически совпадают. Следовательно, оба расчета проведены корректно. Третий пункт задания выполнен.

4. Выполнение четвертого пункта задания [1, 2, 5, 6].

4.1. Разрываем шестую ветвь и произвольно задаем положительное направление токов в остальных ветвях, положительное направление напряжения холостого хода Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru и напряжения Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru между узлами Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru и Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru (рис. 7).

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru

Рис.7.

4.2. Определяем величину Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru . Для этого предварительно рассчитываем Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru методом двух узлов.

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru .

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru .

Используя основную формулу метода, определяем узловое напряжение Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru .

Рассчитываем токи Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru и Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru , используя обобщенный закон Ома

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru

Для контура, включающего Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru , составляем уравнение по второму закону Кирхгофа (направление обхода контура указано круглой стрелкой) и рассчитываем Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru ,

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru .

4.3. Определяем входное сопротивление схемы со стороны зажимов разомкнутой ветви Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru . Для этого эквивалентно преобразуем участок схемы Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru , соединенный звездой, в участок, соединенный треугольником Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru .

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru

Рис. 8.

Преобразованная схема будет иметь вид (рис. 9)

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru

Рис. 9.

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru .

Используя свойства параллельного последовательного соединения Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru - элементов, определяем

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru ;

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru .

4.4. Определяем искомый ток, используя закон Ома для замкнутой цепи

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru .

Аналогичный ток, рассчитанный методом контурных токов, составляет

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru .

Они практически совпадают. Расчет проведен верно. Четвертый пункт задания выполнен.

5. Выполнение пятого пункта задания [1, 2, 5, 6]

Составим уравнение баланса мощностей для преобразованной схемы (рис. 2) с учетом выбранного на ней положительного направления токов.

5.1. Определяем режим работы каждого активного элемента, руководствуясь правилом. Если истинное положительное направление тока, протекающего через источник ЭДС (которое можно определить только в результате расчета), совпадает с положительным направлением ЭДС этого источника, то активный элемент работает в режиме генератора. В противном случае он работает в режиме приемника.

Сопоставляя на рис. 2 заданное положительное направление токов, знаки рассчитанных токов и положительное направление ЭДС активных элементов, определяем их режим работы:

источник ЭДС Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru - генератор, Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru ;

источник ЭДС Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru - приемник, Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru ;

источник ЭДС Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru - генератор, Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru .

5.2. Составляем и численно проверяем корректность уравнения баланса мощностей (значения токов берем посчитанными методом контурных токов; мощность на пассивных приемниках определяем по закону Джоуля – Ленца)

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru ,

где

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru

= 545,124 Вт.

Видно, что значения суммарных мощностей практически совпадают. В то же время на примере баланса мощностей покажем проверку корректности расчета любого параметра, указанного в задании. Воспользуемся абсолютным значением относительной погрешности

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru

Расчет считается корректным, если Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru . Итак пятый пункт задания и все задание выполнены.

Метод узловых потенциалов (МУП)

Метод основан на применении первого закона Кирхгофа. В нем за неизвестные величины принимают потенциалы узлов. По закону Ома определяют токи во всех ветвях схемы.

Все источники ЭДС, имеющиеся в схеме, заменяют источниками тока (рис. 4.31).

а) I = E/ZiI;

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru

б) ZiII = ZiI.

1) Топологический анализ.

а) Подсчитывают число ветвей b и число узлов y. Определяется количество независимых узлов Ny = y – 1.

б) Нумеруют все узлы. Один из узлов, к которому сходится наибольшее число ветвей, считают нулевым, где Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru – потенциал нулевого узла.

2) По 1-му закону Кирхгофа составляют уравнения для N узлов схемы и решают их относительно потенциалов узлов:

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru ,

где Yii – собственная узловая проводимость. Она равна сумме проводимостей всех ветвей, сходящихся в i-м узле, все они берутся со знаком «+»;

Yij – межузловая проводимость между i-м и j-м узлами. Проводимости всех узлов берутся со знаком «–»;

Iii – алгебраическая сумма токов источников тока, сходящихся в i-м узле. Втекающие токи записываются в эту сумму со знаком «+», а вытекающие – со знаком «–».

3) Потенциалы узлов находят по формуле Крамера

Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии - student2.ru .

4) Токи в ветвях находят по закону Ома

I = (j1 – j2)/Z.

Пример. Дана электрическая цепь (рис. 4.32). Рассчитать токи во всех ветвях.

Z2
I2
Предварительно преобразуем все источники напряжения (рис. 4.32) в источники тока (рис. 4.33).

Z4
Z3
Z1
I1
I3
I
I
I4
I2
I1
E2

Наши рекомендации